Номер 38.9, страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 38. Приближённые значения действительных чисел. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 38.9, страница 210.

Условие.

38.9 Оцените погрешность приближённого равенства:

а) $\sqrt{2} \approx 1,4$;

б) $\pi \approx 3,14$;

в) $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$;

г) $\sqrt{3} \approx 1,73$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для того чтобы оценить погрешность приближенного равенства $ \sqrt{2} \approx 1,4 $, необходимо найти верхнюю границу для абсолютной величины разности (абсолютной погрешности) $ |\sqrt{2} - 1,4| $. Приближение $1,4$ является приближением с недостатком, так как $ \sqrt{2} \approx 1,414... > 1,4 $. Для нахождения более точных границ для $ \sqrt{2} $, возведем в квадрат числа, уточняющие приближение: $ 1,41^2 = 1,9881 $ и $ 1,42^2 = 2,0164 $. Поскольку $ 1,9881 < 2 < 2,0164 $, мы можем заключить, что $ 1,41 < \sqrt{2} < 1,42 $. Используя это двойное неравенство, оценим погрешность: $ |\sqrt{2} - 1,4| = \sqrt{2} - 1,4 < 1,42 - 1,4 = 0,02 $. Таким образом, погрешность данного приближения меньше $0,02$.

Ответ: $ |\sqrt{2} - 1,4| < 0,02 $.

б) Чтобы оценить погрешность приближенного равенства $ \pi \approx 3,14 $, найдем верхнюю границу для $ |\pi - 3,14| $. Известно, что число $ \pi $ является иррациональным и его значение $ \pi \approx 3,14159... $. Следовательно, $3,14$ — это приближение с недостатком. Мы знаем, что выполняется неравенство $ 3,141 < \pi < 3,142 $. Исходя из этого, оценим абсолютную погрешность: $ |\pi - 3,14| = \pi - 3,14 < 3,142 - 3,14 = 0,002 $. Значит, погрешность приближения меньше $0,002$.

Ответ: $ |\pi - 3,14| < 0,002 $.

в) Для оценки погрешности приближенного равенства $ \frac{\pi}{2} \approx 1,57 $ найдем верхнюю границу для $ |\frac{\pi}{2} - 1,57| $. Можно заметить, что $ 1,57 = \frac{3,14}{2} $. Следовательно, задача сводится к оценке величины $ |\frac{\pi}{2} - \frac{3,14}{2}| $. Преобразуем это выражение: $ |\frac{\pi}{2} - \frac{3,14}{2}| = |\frac{\pi - 3,14}{2}| = \frac{1}{2}|\pi - 3,14| $. В предыдущем пункте б) мы установили, что $ |\pi - 3,14| < 0,002 $. Используем эту оценку: $ \frac{1}{2}|\pi - 3,14| < \frac{1}{2} \cdot 0,002 = 0,001 $. Таким образом, погрешность этого приближения меньше $0,001$.

Ответ: $ |\frac{\pi}{2} - 1,57| < 0,001 $.

г) Для оценки погрешности приближенного равенства $ \sqrt{3} \approx 1,73 $, найдем верхнюю границу для $ |\sqrt{3} - 1,73| $. Значение $ \sqrt{3} \approx 1,73205... $, поэтому $1,73$ является приближением с недостатком. Для получения более точной оценки найдем границы для $ \sqrt{3} $, возведя в квадрат числа с большим количеством знаков после запятой: $ 1,732^2 = 2,999824 $ и $ 1,733^2 = 3,003289 $. Так как $ 2,999824 < 3 < 3,003289 $, верно неравенство $ 1,732 < \sqrt{3} < 1,733 $. Теперь оценим погрешность: $ |\sqrt{3} - 1,73| = \sqrt{3} - 1,73 < 1,733 - 1,73 = 0,003 $. Следовательно, погрешность приближения меньше $0,003$.

Ответ: $ |\sqrt{3} - 1,73| < 0,003 $.