Страница 210, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Что называют приближённым значением числа по недостатку?

1.

Приближенным значением числа $x$ по недостатку называют наибольшее число $a$ с заданной точностью (например, целое, или с одним знаком после запятой, или с двумя и т.д.), которое не превосходит число $x$. Математически это записывается как $a \le x$.

Для положительных чисел это означает, что для нахождения приближения по недостатку до определенного разряда нужно просто отбросить все последующие (более младшие) разряды. Этот процесс также называют усечением.

Примеры для положительного числа:
Возьмем число $5.8273$.

• Приближенным значением по недостатку до целых будет 5. (Отбрасываем 8, 2, 7, 3). Действительно, 5 — это наибольшее целое число, которое меньше или равно 5.8273, т.е. $5 \le 5.8273$.
• Приближенным значением по недостатку до десятых будет 5.8. (Отбрасываем 2, 7, 3). Действительно, 5.8 — это наибольшее число с одним знаком после запятой, которое меньше или равно 5.8273, т.е. $5.8 \le 5.8273$.
• Приближенным значением по недостатку до сотых будет 5.82. (Отбрасываем 7, 3). $5.82 \le 5.8273$.

Пример с бесконечной дробью:
Рассмотрим число $\frac{2}{3} = 0.6666...$

• Приближение по недостатку до десятых: 0.6.
• Приближение по недостатку до сотых: 0.66.
• Приближение по недостатку до тысячных: 0.666.

Важное замечание для отрицательных чисел:
Для отрицательных чисел простое отбрасывание дробной части не работает, так как оно даст число, которое больше исходного. Нужно по-прежнему искать наибольшее число с нужной точностью, которое меньше исходного.
Например, для числа $-4.6$:

• Приближенным значением по недостатку до целых будет -5, а не -4, потому что $-5 \le -4.6$. Число -4 было бы приближением по избытку, так как $-4 > -4.6$.

Таким образом, приближение по недостатку всегда дает значение, которое либо равно исходному числу, либо находится левее него на числовой оси.

Ответ: Приближенным значением числа по недостатку называют наибольшее число с заданной точностью (целое, десятичная дробь с определенным числом знаков и т.п.), которое не превышает (то есть меньше или равно) данное число.

2. Что называют приближённым значением числа по избытку?

Приближённым значением числа по избытку называют такое число, которое больше (превосходит) точное значение данного числа, но при этом является наиболее близким к нему из возможных значений с заданной точностью (например, до определенного разряда).

Если $x$ — это точное значение некоторого числа, а $a$ — его приближённое значение по избытку, то всегда выполняется неравенство $a > x$. При этом стремятся к тому, чтобы разница $a - x$ была как можно меньше.

Процесс нахождения приближённого значения по избытку также называют округлением с избытком или округлением в большую сторону. При округлении числа до некоторого разряда с избытком, все цифры справа от этого разряда отбрасываются, а цифра в данном разряде увеличивается на единицу (если только число не является точным до этого разряда, то есть все отбрасываемые цифры не равны нулю).

Примеры:

• Для числа $7.23$ приближённым значением по избытку до десятых будет число $7.3$, так как $7.3 > 7.23$. Приближённым значением по избытку до целых будет число $8$, так как $8 > 7.23$.
• Рассмотрим число $\pi \approx 3.14159...$. Его приближённым значением по избытку с точностью до сотых будет $3.15$, так как $3.15 > 3.14159...$.
• При делении $20$ на $7$ получается бесконечная дробь $2.85714...$. Приближённым значением этого частного по избытку до тысячных будет $2.858$.
• Пример из жизни: если для пошива костюма нужно $4.5$ метра ткани, в магазине придётся купить $5$ метров. Число $5$ является приближением числа $4.5$ по избытку.

Данное понятие противопоставляется приближению по недостатку, при котором приближённое значение всегда меньше точного.

Ответ: Приближённым значением числа по избытку называют число, которое больше исходного (точного) числа и является ближайшим к нему большим числом с заданной точностью. Если $x$ — точное число, а $a$ — его приближение по избытку, то выполняется неравенство $a > x$.

3. Что называют округлением числа?

Округление числа — это замена точного значения числа на его приближённое значение, представленное с меньшим количеством значащих цифр. Эта операция используется для упрощения чисел, чтобы сделать их более удобными для расчетов, запоминания или представления, когда абсолютная точность не является необходимой.

Процесс округления выполняется по определенным правилам.

Правила округления

1. Определяется разряд, до которого необходимо округлить число. Цифра, стоящая в этом разряде, является последней сохраняемой цифрой.
2. Нужно посмотреть на цифру, следующую справа от разряда округления.
3. Если следующая цифра меньше 5 (то есть 0, 1, 2, 3 или 4), то последняя сохраняемая цифра остается без изменений.
4. Если следующая цифра равна 5 или больше (то есть 5, 6, 7, 8 или 9), то последняя сохраняемая цифра увеличивается на единицу.
5. Все цифры, стоящие правее разряда округления, отбрасываются (если это дробная часть) или заменяются нулями (если это целая часть числа).

Примеры

1. Округление десятичной дроби до сотых.
Возьмём число $\pi \approx 3.14159$. Округлим его до сотых (до второго знака после запятой).
Последняя сохраняемая цифра находится в разряде сотых — это $4$.
Следующая цифра справа — $1$.
Так как $1 < 5$, цифру $4$ оставляем без изменений.
Все последующие цифры ($1$, $5$, $9$) отбрасываем.
Результат: $3.14159 \approx 3.14$.

2. Округление целого числа до сотен.
Возьмём число $7862$. Округлим его до сотен.
Последняя сохраняемая цифра находится в разряде сотен — это $8$.
Следующая цифра справа — $6$.
Так как $6 \ge 5$, цифру $8$ увеличиваем на единицу ($8 + 1 = 9$).
Все последующие цифры ($6$ и $2$) заменяем нулями.
Результат: $7862 \approx 7900$.

3. Округление с переходом через разряд.
Возьмём число $49.8$. Округлим его до целых (до единиц).
Последняя сохраняемая цифра находится в разряде единиц — это $9$.
Следующая цифра справа — $8$.
Так как $8 \ge 5$, цифру $9$ нужно увеличить на единицу. Получается $10$. В разряд единиц записываем $0$, а $1$ переносится в старший разряд (десятки), увеличивая его: $4 + 1 = 5$.
Дробную часть отбрасываем.
Результат: $49.8 \approx 50$.

Ответ: Округление числа — это замена его на приближенное значение с меньшей точностью (меньшим количеством значащих цифр) по определённым правилам. Правило основано на анализе цифры, следующей за разрядом, до которого производится округление: если эта цифра от 0 до 4, то предыдущая цифра не меняется; если от 5 до 9 — то предыдущая цифра увеличивается на единицу.

4. Сформулируйте определение погрешности приближения (абсолютной погрешности).

Погрешность приближения (абсолютная погрешность) — это мера отклонения приближённого значения величины от её точного значения. Она показывает, насколько велико это отклонение, независимо от того, в большую или меньшую сторону оно направлено.

Математически абсолютная погрешность определяется как модуль разности между точным значением величины и её приближённым значением.

Если обозначить точное значение величины через $x$, а её приближённое значение через $a$, то абсолютная погрешность (которую часто обозначают греческой буквой дельта, $Δ$) вычисляется по формуле:

$Δ = |x - a|$

Использование модуля гарантирует, что погрешность всегда будет неотрицательным числом, так как для оценки ошибки важна величина расхождения, а не её знак.

Пример: Возьмём число $π$. Его точное значение является иррациональным числом: $x = π ≈ 3,14159265...$ В практических расчётах часто используют его приближённое значение: $a = 3,14$. Найдём абсолютную погрешность этого приближения: $Δ = |π - 3,14| ≈ |3,14159265 - 3,14| = 0,00159265...$ Таким образом, абсолютная погрешность приближения числа $π$ значением $3,14$ составляет примерно $0,0016$.

Часто точное значение $x$ неизвестно, и тогда найти точную абсолютную погрешность невозможно. В таких случаях находят её оценку сверху — границу абсолютной погрешности. Это любое положительное число $h$, не меньшее, чем абсолютная погрешность: $|x - a| ≤ h$.

Ответ: Абсолютной погрешностью приближения называется модуль разности между точным значением величины ($x$) и её приближённым значением ($a$). Она вычисляется по формуле $Δ = |x - a|$.

5. Сформулируйте правило округления.

Округление числа — это замена его приблизительным значением, записанным с меньшим количеством значащих цифр. Округление используется для упрощения чисел и расчетов, когда высокая точность не требуется или невозможна.

Правило округления

Для округления числа до определенного разряда (например, до десятых, до целых, до сотен) необходимо следовать простому алгоритму:

1. Найдите цифру в том разряде, до которого нужно округлить число. Эту цифру называют округляемой.

2. Посмотрите на цифру, стоящую непосредственно справа от округляемой цифры.

3. Если справа стоит цифра 0, 1, 2, 3 или 4, то округляемую цифру оставляют без изменений. Такое округление называют округлением с недостатком.

4. Если справа стоит цифра 5, 6, 7, 8 или 9, то округляемую цифру увеличивают на единицу. Такое округление называют округлением с избытком.

5. Все цифры, стоящие правее округляемого разряда, отбрасывают (если они находятся в дробной части) или заменяют нулями (если они находятся в целой части числа).

Примеры:

1. Округление десятичной дроби до десятых.

Округлим число $15,782$ до десятых.

• Разряд десятых — это первая цифра после запятой, то есть 7.

• Цифра справа от нее — 8.

• Так как $8 \ge 5$, мы увеличиваем округляемую цифру (7) на единицу: $7 + 1 = 8$.

• Цифры, стоящие правее (8 и 2), отбрасываем.

Результат: $15,782 \approx 15,8$.

2. Округление целого числа до сотен.

Округлим число $48\;345$ до сотен.

• Разряд сотен — это цифра 3.

• Цифра справа от нее — 4.

• Так как $4 < 5$, мы оставляем округляемую цифру (3) без изменений.

• Цифры, стоящие правее (4 и 5), заменяем нулями.

Результат: $48\;345 \approx 48\;300$.

3. Случай с переходом через разряд.

Округлим число $2,96$ до десятых.

• Округляемая цифра в разряде десятых — это 9.

• Цифра справа — 6.

• Так как $6 \ge 5$, мы должны увеличить 9 на единицу: $9 + 1 = 10$.

• В разряде десятых мы пишем 0, а единицу "переносим" в следующий, более старший разряд (разряд единиц). Получаем $2 + 1 = 3$.

Результат: $2,96 \approx 3,0$. (Ноль в конце важен, так как он показывает, что округление производилось именно до десятых).

Ответ: Правило округления состоит в следующем: чтобы округлить число до определенного разряда, нужно посмотреть на цифру в следующем, более младшем разряде. Если эта цифра меньше 5 (то есть 0, 1, 2, 3 или 4), то цифра в округляемом разряде остается неизменной, а все последующие цифры отбрасываются (для дробной части) или заменяются нулями (для целой части). Если же цифра в следующем разряде равна 5 или больше (то есть 5, 6, 7, 8 или 9), то цифра в округляемом разряде увеличивается на единицу, а все последующие также отбрасываются или заменяются нулями.

6. Закончите предложение: «Если $a$ — приближённое значение числа $x$ и $|x - a| \le h$, то говорят, что...».

Это предложение формулирует одно из ключевых определений в теории приближённых вычислений, а именно, понятие точности приближения.

Рассмотрим компоненты этого определения:

• `$x$` — это точное значение некоторой величины.
• `$a$` — это её приближённое значение, которое может быть получено в результате измерения или вычисления.
• Выражение `$|x - a|$` — это абсолютная погрешность (или ошибка) приближения. Она показывает модуль разности между точным и приближённым значениями, то есть величину отклонения без учёта его знака.
• Неравенство `$|x - a| \le h$` утверждает, что абсолютная погрешность не превышает некоторого положительного числа `$h$`. Это число `$h$` называют границей абсолютной погрешности.

Это неравенство можно переписать в виде двойного неравенства: `$-h \le x - a \le h$`. Прибавив `$a$` ко всем частям, получим `$a - h \le x \le a + h$`. Это означает, что точное значение `$x$` находится где-то в отрезке `$[a - h, a + h]$`.

Именно этот факт и описывается специальной фразой. Если приближение `$a$` и точное значение `$x$` связаны таким соотношением, то говорят, что `$a$` является приближением `$x$` с определённой точностью.

Таким образом, законченное предложение звучит так:

«Если `$a$` — приближённое значение числа `$x$` и `$|x − a| \le h$`, то говорят, что число `$a$` является приближённым значением числа `$x$` с точностью до `$h$`». Иногда также используют формулировку: «...число `$x$` равно числу `$a$` с точностью до `$h$`».

Ответ: ...число `$a$` является приближённым значением числа `$x$` с точностью до `$h$`.

7. Округлите число 3,4582165 до десятых; сотых; тысячных; десятитысячных. Найдите в каждом случае абсолютную погрешность.

Исходное число $x = 3,4582165$. Абсолютная погрешность вычисляется по формуле $Δ = |x - a|$, где $x$ — точное значение, а $a$ — приближенное значение (результат округления).

десятых:

Для округления числа $3,4582165$ до десятых смотрим на цифру, следующую за разрядом десятых, — это цифра 5 в разряде сотых. Согласно правилам округления, если эта цифра 5 или больше, то цифру в разряде десятых нужно увеличить на 1. Таким образом, цифру 4 увеличиваем до 5.

Приближенное значение: $a_1 = 3,5$.

Абсолютная погрешность: $Δ_1 = |3,4582165 - 3,5| = |-0,0417835| = 0,0417835$.

Ответ: округленное число 3,5; абсолютная погрешность 0,0417835.

сотых:

Для округления до сотых смотрим на цифру в разряде тысячных — это 8. Так как $8 \ge 5$, цифру в разряде сотых (5) увеличиваем на 1.

Приближенное значение: $a_2 = 3,46$.

Абсолютная погрешность: $Δ_2 = |3,4582165 - 3,46| = |-0,0017835| = 0,0017835$.

Ответ: округленное число 3,46; абсолютная погрешность 0,0017835.

тысячных:

Для округления до тысячных смотрим на цифру в разряде десятитысячных — это 2. Так как $2 < 5$, цифру в разряде тысячных (8) оставляем без изменений.

Приближенное значение: $a_3 = 3,458$.

Абсолютная погрешность: $Δ_3 = |3,4582165 - 3,458| = |0,0002165| = 0,0002165$.

Ответ: округленное число 3,458; абсолютная погрешность 0,0002165.

десятитысячных:

Для округления до десятитысячных смотрим на цифру в разряде стотысячных — это 1. Так как $1 < 5$, цифру в разряде десятитысячных (2) оставляем без изменений.

Приближенное значение: $a_4 = 3,4582$.

Абсолютная погрешность: $Δ_4 = |3,4582165 - 3,4582| = |0,0000165| = 0,0000165$.

Ответ: округленное число 3,4582; абсолютная погрешность 0,0000165.

8. Найдите приближённое значение числа 2,31872 с точностью до 0,01:

а) по недостатку;

б) по избытку.

Требуется найти приближенное значение числа $2,31872$ с точностью до $0,01$. Это означает, что нам нужно найти два числа, выраженных с точностью до сотых (два знака после запятой), между которыми находится исходное число.

а) по недостатку;

Приближение по недостатку с точностью до $0,01$ — это наибольшее число с двумя знаками после запятой, которое меньше или равно исходному числу. Чтобы найти его, мы должны отбросить все цифры в записи исходного числа, которые следуют за разрядом сотых.

В числе $2,31872$ цифра в разряде сотых — это $1$. Отбрасывая все последующие цифры ($8, 7, 2$), получаем: $2,31$.

Это значение удовлетворяет условию: $2,31 < 2,31872$.

Ответ: $2,31$

б) по избытку.

Приближение по избытку с точностью до $0,01$ — это наименьшее число с двумя знаками после запятой, которое больше или равно исходному числу. Чтобы найти его, нужно к приближенному значению по недостатку прибавить величину точности, то есть $0,01$.

Берем найденное приближение по недостатку $2,31$ и прибавляем $0,01$:
$2,31 + 0,01 = 2,32$

Это значение удовлетворяет условию: $2,32 > 2,31872$.

Ответ: $2,32$

Найдите приближённые значения заданного числа по недостатку и избытку с точностью до $0,1$:

38.1 а) $2,734$;

б) $1,2(5)$;

в) $3,9(42)$;

г) $3,9(62)$.

Чтобы найти приближенные значения числа по недостатку и по избытку с точностью до 0,1, нужно выполнить следующие действия:

1. Приближение по недостатку: отбросить все цифры в записи числа, следующие за разрядом десятых (то есть, после первой цифры после запятой).

2. Приближение по избытку: к полученному значению по недостатку прибавить 0,1.

а) Дано число $2,734$.

Приближенное значение по недостатку с точностью до 0,1 находим, отбрасывая цифры 3 и 4 после цифры 7 в разряде десятых. Получаем $2,7$.

Приближенное значение по избытку равно сумме значения по недостатку и 0,1: $2,7 + 0,1 = 2,8$.

Проверяем, что исходное число находится между полученными значениями: $2,7 < 2,734 < 2,8$.

Ответ: приближенное значение по недостатку — 2,7; по избытку — 2,8.

б) Дано число $1,2(5)$.

Это периодическая дробь, которую можно записать как $1,2555...$.

Находим приближенное значение по недостатку, отбрасывая все цифры после 2 в разряде десятых: $1,2$.

Находим приближенное значение по избытку: $1,2 + 0,1 = 1,3$.

Проверяем неравенство: $1,2 < 1,2555... < 1,3$.

Ответ: приближенное значение по недостатку — 1,2; по избытку — 1,3.

в) Дано число $3,9(42)$.

Это периодическая дробь, которую можно записать как $3,94242...$.

Находим приближенное значение по недостатку, отбрасывая все цифры после 9 в разряде десятых: $3,9$.

Находим приближенное значение по избытку: $3,9 + 0,1 = 4,0$.

Проверяем неравенство: $3,9 < 3,94242... < 4,0$.

Ответ: приближенное значение по недостатку — 3,9; по избытку — 4,0.

г) Дано число $3,9(62)$.

Это периодическая дробь, которую можно записать как $3,96262...$.

Находим приближенное значение по недостатку, отбрасывая все цифры после 9 в разряде десятых: $3,9$.

Находим приближенное значение по избытку: $3,9 + 0,1 = 4,0$.

Проверяем неравенство: $3,9 < 3,96262... < 4,0$.

Ответ: приближенное значение по недостатку — 3,9; по избытку — 4,0.

38.2 a) $ \sqrt{6} $;

б) $ |2 - \sqrt{7}| $;

в) $ |12 - \sqrt{3}| $;

г) $ \frac{45}{49} $.

а) Выражение $\sqrt{6}$ является иррациональным числом, так как 6 не является полным квадратом натурального числа. Чтобы упростить корень, можно попробовать вынести множитель из-под знака корня. Для этого разложим подкоренное выражение на простые множители: $6 = 2 \times 3$. Поскольку в разложении нет множителей, повторяющихся хотя бы дважды, вынести множитель из-под корня нельзя. Таким образом, выражение $\sqrt{6}$ уже находится в своей простейшей форме.
Ответ: $\sqrt{6}$

б) Чтобы раскрыть модуль $|2 - \sqrt{7}|$, необходимо определить знак выражения $2 - \sqrt{7}$. Для этого сравним числа 2 и $\sqrt{7}$. Удобнее сравнивать их квадраты:
$2^2 = 4$
$(\sqrt{7})^2 = 7$
Поскольку $4 < 7$, то и $2 < \sqrt{7}$. Это означает, что разность $2 - \sqrt{7}$ является отрицательным числом.
По определению абсолютной величины (модуля), если выражение под модулем отрицательно $(a < 0)$, то его модуль равен противоположному выражению $(|a| = -a)$.
Следовательно, $|2 - \sqrt{7}| = -(2 - \sqrt{7}) = -2 + \sqrt{7} = \sqrt{7} - 2$.
Ответ: $\sqrt{7} - 2$

в) Чтобы раскрыть модуль $|12 - \sqrt{3}|$, необходимо определить знак выражения $12 - \sqrt{3}$. Для этого сравним числа 12 и $\sqrt{3}$. Сравним их квадраты:
$12^2 = 144$
$(\sqrt{3})^2 = 3$
Поскольку $144 > 3$, то и $12 > \sqrt{3}$. Это означает, что разность $12 - \sqrt{3}$ является положительным числом.
По определению абсолютной величины (модуля), если выражение под модулем неотрицательно $(a \ge 0)$, то его модуль равен самому выражению $(|a| = a)$.
Следовательно, $|12 - \sqrt{3}| = 12 - \sqrt{3}$.
Ответ: $12 - \sqrt{3}$

г) Выражение $\frac{45}{49}$ является обыкновенной дробью. Чтобы ее упростить, нужно проверить, можно ли ее сократить. Для этого найдем наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя. Разложим числитель и знаменатель на простые множители:
$45 = 3 \times 15 = 3 \times 3 \times 5 = 3^2 \times 5$
$49 = 7 \times 7 = 7^2$
У числителя и знаменателя нет общих простых множителей, следовательно, их НОД равен 1. Это означает, что дробь $\frac{45}{49}$ является несократимой и уже представлена в простейшем виде.
Ответ: $\frac{45}{49}$

Найдите приближённые значения заданного числа по недостатку и избытку с точностью до 0,01:

38.3 a) $\sqrt{3}$;

б) $\sqrt{2} - 1$;

в) $5 - \sqrt{7}$;

г) $\frac{2}{3}$.

а) Чтобы найти приближенные значения числа $\sqrt{3}$ по недостатку и избытку с точностью до $0,01$, сначала определим его десятичное представление.
$\sqrt{3} \approx 1,7320508...$
Приближенное значение по недостатку с точностью до $0,01$ – это наибольшее число с двумя знаками после запятой, которое не превышает данное число. Для его нахождения мы отбрасываем все десятичные знаки после сотых.
Приближение по недостатку: $1,73$.
Приближенное значение по избытку с точностью до $0,01$ – это наименьшее число с двумя знаками после запятой, которое не меньше данного числа. Для его нахождения мы к приближенному значению по недостатку прибавляем $0,01$.
Приближение по избытку: $1,73 + 0,01 = 1,74$.
Таким образом, выполняется двойное неравенство: $1,73 < \sqrt{3} < 1,74$.
Ответ: приближенное значение по недостатку $1,73$; по избытку $1,74$.

б) Найдем приближенные значения для выражения $\sqrt{2} - 1$.
Сначала вычислим приближенное значение $\sqrt{2}$: $\sqrt{2} \approx 1,4142135...$
Теперь вычислим значение всего выражения: $\sqrt{2} - 1 \approx 1,4142135... - 1 = 0,4142135...$
Находим приближенное значение по недостатку с точностью до $0,01$, отбрасывая цифры после второго знака после запятой.
Приближение по недостатку: $0,41$.
Находим приближенное значение по избытку, прибавляя $0,01$ к значению по недостатку.
Приближение по избытку: $0,41 + 0,01 = 0,42$.
Таким образом, имеем: $0,41 < \sqrt{2} - 1 < 0,42$.
Ответ: приближенное значение по недостатку $0,41$; по избытку $0,42$.

в) Найдем приближенные значения для выражения $5 - \sqrt{7}$.
Сначала вычислим приближенное значение $\sqrt{7}$. Мы знаем, что $2^2=4$ и $3^2=9$, поэтому $\sqrt{7}$ находится между 2 и 3. Более точно: $\sqrt{7} \approx 2,6457513...$
Теперь вычислим значение всего выражения: $5 - \sqrt{7} \approx 5 - 2,6457513... = 2,3542487...$
Приближенное значение по недостатку с точностью до $0,01$ получаем отсечением десятичного хвоста после сотых.
Приближение по недостатку: $2,35$.
Приближенное значение по избытку равно значению по недостатку плюс $0,01$.
Приближение по избытку: $2,35 + 0,01 = 2,36$.
Проверим: $2,35 < 5 - \sqrt{7} < 2,36$. Это неравенство эквивалентно $2,64 < \sqrt{7} < 2,65$. Так как $2,64^2 = 6,9696$ и $2,65^2 = 7,0225$, то неравенство верно.
Ответ: приближенное значение по недостатку $2,35$; по избытку $2,36$.

г) Найдем приближенные значения для дроби $\frac{2}{3}$.
Переведем обыкновенную дробь в десятичную, разделив числитель на знаменатель:
$\frac{2}{3} = 2 : 3 = 0,6666... = 0,(6)$.
Чтобы найти приближенное значение по недостатку с точностью до $0,01$, оставим две цифры после запятой.
Приближение по недостатку: $0,66$.
Чтобы найти приближенное значение по избытку, прибавим $0,01$ к значению по недостатку.
Приближение по избытку: $0,66 + 0,01 = 0,67$.
Мы получили, что $0,66 < \frac{2}{3} < 0,67$.
Ответ: приближенное значение по недостатку $0,66$; по избытку $0,67$.

38.4 a) $\sqrt{5}$;

б) $\sqrt{11 - 3}$;

в) $6 - \sqrt{8}$;

г) $\frac{15}{19}$.

Для решения этой задачи нужно определить, какие из предложенных чисел являются рациональными, а какие — иррациональными.

Напомним, что рациональное число — это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ — целое число, а $q$ — натуральное число. Иррациональное число — это действительное число, которое не является рациональным. В частности, корень из натурального числа, которое не является точным квадратом другого натурального числа, является иррациональным.

а) $\sqrt{5}$
Число 5 не является точным квадратом какого-либо целого числа, так как $2^2=4$ и $3^2=9$. Следовательно, $\sqrt{5}$ является иррациональным числом.
Ответ: иррациональное число.

б) $\sqrt{11} - 3$
Число 11 не является точным квадратом ($3^2=9$, $4^2=16$), поэтому $\sqrt{11}$ — иррациональное число. Число 3 — рациональное. Разность иррационального и рационального чисел всегда является иррациональным числом. Если предположить, что разность $\sqrt{11} - 3$ рациональна и равна $r$, то $\sqrt{11} = r + 3$. Сумма двух рациональных чисел ($r$ и 3) также была бы рациональным числом, что противоречит иррациональности $\sqrt{11}$.
Ответ: иррациональное число.

в) $6 - \sqrt{8}$
Число 8 не является точным квадратом ($2^2=4$, $3^2=9$), значит $\sqrt{8}$ — иррациональное число. Число 6 — рациональное. Разность рационального и иррационального чисел является иррациональным числом. Доказательство аналогично предыдущему пункту: если $6 - \sqrt{8} = r$ (рациональное число), то $\sqrt{8} = 6 - r$. Разность двух рациональных чисел была бы рациональным числом, что противоречит иррациональности $\sqrt{8}$.
Ответ: иррациональное число.

г) $\frac{15}{19}$
Данное число представлено в виде дроби, где числитель $15$ — целое число, а знаменатель $19$ — натуральное число. По определению, такое число является рациональным.
Ответ: рациональное число.

38.5 a) $ \sqrt{11} $;

б) $ |2 - \sqrt{10}| $;

в) $ |5 - \sqrt{2}| $;

г) $ \frac{12}{17} $.

а) Чтобы определить, является ли число $\sqrt{11}$ рациональным или иррациональным, нужно проверить, является ли 11 полным квадратом целого числа. Рациональное число можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ и $q$ – целые числа, а $q \neq 0$. Иррациональное число так представить нельзя. Корень из целого числа является рациональным только в том случае, если это целое число – полный квадрат. Число 11 не является полным квадратом, так как $3^2=9$ и $4^2=16$. Следовательно, $\sqrt{11}$ не является целым числом и не может быть представлено в виде конечной или периодической десятичной дроби. Таким образом, это иррациональное число.
Ответ: иррациональное число.

б) Рассмотрим выражение $|2 - \sqrt{10}|$. Число 2 является рациональным. Число 10 не является полным квадратом ($3^2 = 9$, $4^2 = 16$), поэтому $\sqrt{10}$ – иррациональное число. Разность рационального и иррационального чисел всегда является иррациональным числом. Следовательно, $2 - \sqrt{10}$ – иррациональное число. Модуль (абсолютная величина) числа – это само число, если оно неотрицательное, и противоположное ему число, если оно отрицательное. Сравним 2 и $\sqrt{10}$. Для этого сравним их квадраты: $2^2 = 4$ и $(\sqrt{10})^2 = 10$. Так как $4 < 10$, то $2 < \sqrt{10}$, а значит, выражение $2 - \sqrt{10}$ отрицательно. Поэтому $|2 - \sqrt{10}| = -(2 - \sqrt{10}) = \sqrt{10} - 2$. Это число также является иррациональным, так как является разностью иррационального числа $\sqrt{10}$ и рационального числа 2.
Ответ: иррациональное число.

в) Рассмотрим выражение $|5 - \sqrt{2}|$. Число 5 является рациональным. Число 2 не является полным квадратом, поэтому $\sqrt{2}$ – иррациональное число. Разность $5 - \sqrt{2}$ является иррациональным числом. Теперь раскроем модуль. Сравним 5 и $\sqrt{2}$. Сравним их квадраты: $5^2 = 25$ и $(\sqrt{2})^2 = 2$. Так как $25 > 2$, то $5 > \sqrt{2}$, а значит, выражение $5 - \sqrt{2}$ положительно. Поэтому $|5 - \sqrt{2}| = 5 - \sqrt{2}$. Это число является иррациональным.
Ответ: иррациональное число.

г) Рассмотрим число $\frac{12}{17}$. По определению, рациональное число – это число, которое можно представить в виде дроби $\frac{p}{q}$, где $p$ – целое число, а $q$ – натуральное число (или целое, не равное нулю). В данном случае $p=12$ (целое число) и $q=17$ (целое число, не равное нулю). Следовательно, число $\frac{12}{17}$ полностью соответствует определению рационального числа.
Ответ: рациональное число.

38.6 Найдите приближённые значения заданного числа по недостатку и избытку с точностью до 0,001:

а) $ \sqrt{15}; $

б) $ \sqrt{19} - 6; $

в) $ 1 - \sqrt{8}; $

г) $ \frac{3}{19}. $

а) $\sqrt{15}$

Чтобы найти приближенные значения, сначала вычислим значение $\sqrt{15}$ с несколькими знаками после запятой:
$\sqrt{15} \approx 3,8729...$
Нам нужна точность до $0,001$, то есть до третьего знака после запятой.
Число $3,8729...$ находится между $3,872$ и $3,873$.
$3,872 < \sqrt{15} < 3,873$
Приближенное значение по недостатку – это меньшее из этих двух чисел.
Приближенное значение по избытку – это большее из этих двух чисел.
Ответ: по недостатку – $3,872$; по избытку – $3,873$.

б) $\sqrt{19} - 6$

Сначала вычислим значение $\sqrt{19}$:
$\sqrt{19} \approx 4,3588...$
Теперь вычислим значение всего выражения:
$\sqrt{19} - 6 \approx 4,3588... - 6 = -1,6411...$
Это отрицательное число. Оно находится между $-1,642$ и $-1,641$.
$-1,642 < \sqrt{19} - 6 < -1,641$
Приближенное значение по недостатку (меньшее число) – это $-1,642$.
Приближенное значение по избытку (большее число) – это $-1,641$.
Ответ: по недостатку – $-1,642$; по избытку – $-1,641$.

в) $1 - \sqrt{8}$

Сначала вычислим значение $\sqrt{8}$:
$\sqrt{8} \approx 2,8284...$
Теперь вычислим значение всего выражения:
$1 - \sqrt{8} \approx 1 - 2,8284... = -1,8284...$
Это отрицательное число. Оно находится между $-1,829$ и $-1,828$.
$-1,829 < 1 - \sqrt{8} < -1,828$
Приближенное значение по недостатку (меньшее число) – это $-1,829$.
Приближенное значение по избытку (большее число) – это $-1,828$.
Ответ: по недостатку – $-1,829$; по избытку – $-1,828$.

г) $\frac{3}{19}$

Чтобы найти приближенные значения, представим дробь в виде десятичного числа, выполнив деление:
$\frac{3}{19} = 3 \div 19 \approx 0,1578...$
Нам нужна точность до $0,001$.
Число $0,1578...$ находится между $0,157$ и $0,158$.
$0,157 < \frac{3}{19} < 0,158$
Приближенное значение по недостатку – это $0,157$.
Приближенное значение по избытку – это $0,158$.
Ответ: по недостатку – $0,157$; по избытку – $0,158$.

38.7 Упростите и вычислите с точностью до 0,1:

a) $\sqrt{18} + \sqrt{8} + \sqrt{32};$

б) $\sqrt{48} + \sqrt{12} - \sqrt{75}.$

а) $\sqrt{18} + \sqrt{8} + \sqrt{32}$

Для начала упростим каждый корень в выражении. Для этого разложим подкоренные числа на множители таким образом, чтобы один из них был наибольшим возможным квадратом целого числа.

Для $\sqrt{18}$: $18 = 9 \cdot 2$. Тогда $\sqrt{18} = \sqrt{9 \cdot 2} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.

Для $\sqrt{8}$: $8 = 4 \cdot 2$. Тогда $\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$.

Для $\sqrt{32}$: $32 = 16 \cdot 2$. Тогда $\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{2} = 4\sqrt{2}$.

Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:

$\sqrt{18} + \sqrt{8} + \sqrt{32} = 3\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2}$

Так как все слагаемые содержат одинаковый множитель $\sqrt{2}$, мы можем их сложить:

$(3 + 2 + 4)\sqrt{2} = 9\sqrt{2}$

Далее вычислим приближенное значение выражения. Примем $\sqrt{2} \approx 1.4142...$

$9\sqrt{2} \approx 9 \cdot 1.4142 = 12.7278$

Округлим полученный результат с точностью до 0,1:

$12.7278 \approx 12.7$

Ответ: $12.7$

б) $\sqrt{48} + \sqrt{12} - \sqrt{75}$

Упростим каждый корень, вынеся множитель из-под знака корня, как и в предыдущем примере.

Для $\sqrt{48}$: $48 = 16 \cdot 3$. Тогда $\sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

Для $\sqrt{12}$: $12 = 4 \cdot 3$. Тогда $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3}$.

Для $\sqrt{75}$: $75 = 25 \cdot 3$. Тогда $\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$.

Подставим упрощенные значения в исходное выражение:

$\sqrt{48} + \sqrt{12} - \sqrt{75} = 4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - 5\sqrt{3}$

Выполним действия со слагаемыми, содержащими одинаковый множитель $\sqrt{3}$:

$(4 + 2 - 5)\sqrt{3} = (6 - 5)\sqrt{3} = 1\sqrt{3} = \sqrt{3}$

Теперь вычислим приближенное значение. Примем $\sqrt{3} \approx 1.732...$

Округлим это значение с точностью до 0,1:

$1.732... \approx 1.7$

Ответ: $1.7$

38.8 Упростите и вычислите с точностью до 0,01:

a) $\sqrt{27} + \sqrt{75} - \sqrt{147}$;

б) $0,5\sqrt{200} - \sqrt{98} + \frac{1}{3}\sqrt{162}$.

а)

Для того чтобы упростить выражение $\sqrt{27} + \sqrt{75} - \sqrt{147}$, необходимо вынести множитель из-под знака корня для каждого слагаемого. Для этого разложим подкоренные числа на множители, один из которых является полным квадратом.

$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = \sqrt{9} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{3}$

$\sqrt{75} = \sqrt{25 \cdot 3} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{3} = 5\sqrt{3}$

$\sqrt{147} = \sqrt{49 \cdot 3} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{3} = 7\sqrt{3}$

Теперь подставим полученные значения обратно в выражение:

$3\sqrt{3} + 5\sqrt{3} - 7\sqrt{3}$

Так как все слагаемые содержат общий множитель $\sqrt{3}$, мы можем их сложить и вычесть:

$(3 + 5 - 7)\sqrt{3} = (8 - 7)\sqrt{3} = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$

Теперь вычислим значение $\sqrt{3}$ с точностью до 0,01. Приблизительное значение $\sqrt{3} \approx 1,73205...$

Округляя до сотых, получаем $1,73$.

Ответ: $1,73$.

б)

Упростим выражение $0,5\sqrt{200} - \sqrt{98} + \frac{1}{3}\sqrt{162}$. Аналогично предыдущему пункту, вынесем множители из-под знака корня.

$\sqrt{200} = \sqrt{100 \cdot 2} = \sqrt{100} \cdot \sqrt{2} = 10\sqrt{2}$

$\sqrt{98} = \sqrt{49 \cdot 2} = \sqrt{49} \cdot \sqrt{2} = 7\sqrt{2}$

$\sqrt{162} = \sqrt{81 \cdot 2} = \sqrt{81} \cdot \sqrt{2} = 9\sqrt{2}$

Подставим упрощенные корни в исходное выражение:

$0,5 \cdot (10\sqrt{2}) - 7\sqrt{2} + \frac{1}{3} \cdot (9\sqrt{2})$

Выполним умножение коэффициентов:

$5\sqrt{2} - 7\sqrt{2} + 3\sqrt{2}$

Теперь приведем подобные слагаемые, содержащие общий множитель $\sqrt{2}$:

$(5 - 7 + 3)\sqrt{2} = (8 - 7)\sqrt{2} = 1 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2}$

Вычислим значение $\sqrt{2}$ с точностью до 0,01. Приблизительное значение $\sqrt{2} \approx 1,41421...$

Округляя до сотых, получаем $1,41$.

Ответ: $1,41$.

38.9 Оцените погрешность приближённого равенства:

а) $\sqrt{2} \approx 1,4$;

б) $\pi \approx 3,14$;

в) $\frac{\pi}{2} \approx 1,57$;

г) $\sqrt{3} \approx 1,73$.

а) Для того чтобы оценить погрешность приближенного равенства $ \sqrt{2} \approx 1,4 $, необходимо найти верхнюю границу для абсолютной величины разности (абсолютной погрешности) $ |\sqrt{2} - 1,4| $. Приближение $1,4$ является приближением с недостатком, так как $ \sqrt{2} \approx 1,414... > 1,4 $. Для нахождения более точных границ для $ \sqrt{2} $, возведем в квадрат числа, уточняющие приближение: $ 1,41^2 = 1,9881 $ и $ 1,42^2 = 2,0164 $. Поскольку $ 1,9881 < 2 < 2,0164 $, мы можем заключить, что $ 1,41 < \sqrt{2} < 1,42 $. Используя это двойное неравенство, оценим погрешность: $ |\sqrt{2} - 1,4| = \sqrt{2} - 1,4 < 1,42 - 1,4 = 0,02 $. Таким образом, погрешность данного приближения меньше $0,02$.

Ответ: $ |\sqrt{2} - 1,4| < 0,02 $.

б) Чтобы оценить погрешность приближенного равенства $ \pi \approx 3,14 $, найдем верхнюю границу для $ |\pi - 3,14| $. Известно, что число $ \pi $ является иррациональным и его значение $ \pi \approx 3,14159... $. Следовательно, $3,14$ — это приближение с недостатком. Мы знаем, что выполняется неравенство $ 3,141 < \pi < 3,142 $. Исходя из этого, оценим абсолютную погрешность: $ |\pi - 3,14| = \pi - 3,14 < 3,142 - 3,14 = 0,002 $. Значит, погрешность приближения меньше $0,002$.

Ответ: $ |\pi - 3,14| < 0,002 $.

в) Для оценки погрешности приближенного равенства $ \frac{\pi}{2} \approx 1,57 $ найдем верхнюю границу для $ |\frac{\pi}{2} - 1,57| $. Можно заметить, что $ 1,57 = \frac{3,14}{2} $. Следовательно, задача сводится к оценке величины $ |\frac{\pi}{2} - \frac{3,14}{2}| $. Преобразуем это выражение: $ |\frac{\pi}{2} - \frac{3,14}{2}| = |\frac{\pi - 3,14}{2}| = \frac{1}{2}|\pi - 3,14| $. В предыдущем пункте б) мы установили, что $ |\pi - 3,14| < 0,002 $. Используем эту оценку: $ \frac{1}{2}|\pi - 3,14| < \frac{1}{2} \cdot 0,002 = 0,001 $. Таким образом, погрешность этого приближения меньше $0,001$.

Ответ: $ |\frac{\pi}{2} - 1,57| < 0,001 $.

г) Для оценки погрешности приближенного равенства $ \sqrt{3} \approx 1,73 $, найдем верхнюю границу для $ |\sqrt{3} - 1,73| $. Значение $ \sqrt{3} \approx 1,73205... $, поэтому $1,73$ является приближением с недостатком. Для получения более точной оценки найдем границы для $ \sqrt{3} $, возведя в квадрат числа с большим количеством знаков после запятой: $ 1,732^2 = 2,999824 $ и $ 1,733^2 = 3,003289 $. Так как $ 2,999824 < 3 < 3,003289 $, верно неравенство $ 1,732 < \sqrt{3} < 1,733 $. Теперь оценим погрешность: $ |\sqrt{3} - 1,73| = \sqrt{3} - 1,73 < 1,733 - 1,73 = 0,003 $. Следовательно, погрешность приближения меньше $0,003$.

Ответ: $ |\sqrt{3} - 1,73| < 0,003 $.