Страница 212, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

39.8 а) $0.2 \cdot 10^5 + 1.4 \cdot 10^6;$

б) $7.8 \cdot 10^{-1} + 7 \cdot 10^2;$

в) $5.2 \cdot 10^3 - 0.5 \cdot 10^2;$

г) $6.1 \cdot 10^{-3} - 9 \cdot 10^{-4}.$

а) Чтобы сложить числа, записанные в стандартном виде, необходимо привести их к одному и тому же показателю степени 10. Приведем оба слагаемых к степени $10^6$.
Первое слагаемое: $0,2 \cdot 10^5 = 0,2 \cdot 10^{-1} \cdot 10^6 = 0,02 \cdot 10^6$.
Теперь выполним сложение:
$0,02 \cdot 10^6 + 1,4 \cdot 10^6 = (0,02 + 1,4) \cdot 10^6 = 1,42 \cdot 10^6$.
В качестве альтернативы, можно преобразовать оба числа в обычный вид:
$0,2 \cdot 10^5 = 20000$
$1,4 \cdot 10^6 = 1400000$
$20000 + 1400000 = 1420000$.
Запишем результат в стандартном виде: $1420000 = 1,42 \cdot 10^6$.
Ответ: $1,42 \cdot 10^6$.

б) Преобразуем каждое слагаемое в десятичную дробь и выполним сложение.
$7,8 \cdot 10^{-1} = 0,78$.
$7 \cdot 10^2 = 700$.
Сложим полученные значения:
$0,78 + 700 = 700,78$.
Ответ: $700,78$.

в) Преобразуем каждое число в обычный вид, чтобы выполнить вычитание.
$5,2 \cdot 10^3 = 5,2 \cdot 1000 = 5200$.
$0,5 \cdot 10^2 = 0,5 \cdot 100 = 50$.
Выполним вычитание:
$5200 - 50 = 5150$.
Ответ: $5150$.

г) Для выполнения вычитания приведем числа к одному показателю степени, например, к $10^{-4}$.
Представим первое число с показателем $-4$:
$6,1 \cdot 10^{-3} = 6,1 \cdot 10 \cdot 10^{-4} = 61 \cdot 10^{-4}$.
Теперь выполним вычитание:
$61 \cdot 10^{-4} - 9 \cdot 10^{-4} = (61 - 9) \cdot 10^{-4} = 52 \cdot 10^{-4}$.
Запишем результат в виде десятичной дроби:
$52 \cdot 10^{-4} = 0,0052$.
Ответ: $0,0052$.

39.9 a) $\frac{1.5 \cdot 10^{-23}}{0.06 \cdot 10^{-9}}$

б) $\frac{2.7 \cdot 10^{15}}{3.6 \cdot 10^{-5}}$

в) $\frac{4.8 \cdot 10^{-4}}{0.24 \cdot 10^{-17}}$

г) $\frac{1.44 \cdot 10^{-7}}{1.8 \cdot 10^{4}}$

а) $\frac{1.5 \cdot 10^{-23}}{0.06 \cdot 10^{-9}}$

Для вычисления значения дроби сгруппируем отдельно числовые коэффициенты и степени десяти:

$\frac{1.5 \cdot 10^{-23}}{0.06 \cdot 10^{-9}} = \left(\frac{1.5}{0.06}\right) \cdot \left(\frac{10^{-23}}{10^{-9}}\right)$

1. Вычислим частное числовых коэффициентов. Для удобства избавимся от дробей в числителе и знаменателе, умножив их на 100:

$\frac{1.5}{0.06} = \frac{1.5 \cdot 100}{0.06 \cdot 100} = \frac{150}{6} = 25$

2. Вычислим частное степеней десяти, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{10^{-23}}{10^{-9}} = 10^{-23 - (-9)} = 10^{-23+9} = 10^{-14}$

3. Перемножим полученные результаты:

$25 \cdot 10^{-14}$

4. Приведем результат к стандартному виду числа ($a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$):

$25 \cdot 10^{-14} = (2.5 \cdot 10^1) \cdot 10^{-14} = 2.5 \cdot 10^{1 + (-14)} = 2.5 \cdot 10^{-13}$

Ответ: $2.5 \cdot 10^{-13}$

б) $\frac{2.7 \cdot 10^{15}}{3.6 \cdot 10^{-5}}$

Сгруппируем отдельно числовые коэффициенты и степени десяти:

$\frac{2.7 \cdot 10^{15}}{3.6 \cdot 10^{-5}} = \left(\frac{2.7}{3.6}\right) \cdot \left(\frac{10^{15}}{10^{-5}}\right)$

1. Вычислим частное числовых коэффициентов. Сократим дробь:

$\frac{2.7}{3.6} = \frac{27}{36} = \frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{3}{4} = 0.75$

2. Вычислим частное степеней десяти:

$\frac{10^{15}}{10^{-5}} = 10^{15 - (-5)} = 10^{15+5} = 10^{20}$

3. Перемножим полученные результаты:

$0.75 \cdot 10^{20}$

4. Приведем результат к стандартному виду:

$0.75 \cdot 10^{20} = (7.5 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{20} = 7.5 \cdot 10^{-1+20} = 7.5 \cdot 10^{19}$

Ответ: $7.5 \cdot 10^{19}$

в) $\frac{4.8 \cdot 10^{-4}}{0.24 \cdot 10^{-17}}$

Сгруппируем отдельно числовые коэффициенты и степени десяти:

$\frac{4.8 \cdot 10^{-4}}{0.24 \cdot 10^{-17}} = \left(\frac{4.8}{0.24}\right) \cdot \left(\frac{10^{-4}}{10^{-17}}\right)$

1. Вычислим частное числовых коэффициентов:

$\frac{4.8}{0.24} = \frac{4.8 \cdot 100}{0.24 \cdot 100} = \frac{480}{24} = 20$

2. Вычислим частное степеней десяти:

$\frac{10^{-4}}{10^{-17}} = 10^{-4 - (-17)} = 10^{-4+17} = 10^{13}$

3. Перемножим полученные результаты:

$20 \cdot 10^{13}$

4. Приведем результат к стандартному виду:

$20 \cdot 10^{13} = (2 \cdot 10^1) \cdot 10^{13} = 2 \cdot 10^{1+13} = 2 \cdot 10^{14}$

Ответ: $2 \cdot 10^{14}$

г) $\frac{1.44 \cdot 10^{-7}}{1.8 \cdot 10^{4}}$

Сгруппируем отдельно числовые коэффициенты и степени десяти:

$\frac{1.44 \cdot 10^{-7}}{1.8 \cdot 10^{4}} = \left(\frac{1.44}{1.8}\right) \cdot \left(\frac{10^{-7}}{10^{4}}\right)$

1. Вычислим частное числовых коэффициентов:

$\frac{1.44}{1.8} = \frac{14.4}{18} = 0.8$

2. Вычислим частное степеней десяти:

$\frac{10^{-7}}{10^{4}} = 10^{-7-4} = 10^{-11}$

3. Перемножим полученные результаты:

$0.8 \cdot 10^{-11}$

4. Приведем результат к стандартному виду:

$0.8 \cdot 10^{-11} = (8 \cdot 10^{-1}) \cdot 10^{-11} = 8 \cdot 10^{-1+(-11)} = 8 \cdot 10^{-12}$

Ответ: $8 \cdot 10^{-12}$

39.10 a) $\frac{(2,89 \cdot 10^{-5}) \cdot (0,2 \cdot 10^3)}{3,4 \cdot 10^{-9}}$

б) $\frac{0,25 \cdot 10^{-15}}{(0,45 \cdot 10^9) \cdot (3 \cdot 10^{-3})^{-2}}$

в) $\frac{6,3 \cdot 10^{-20}}{(0,15 \cdot 10^{11}) \cdot (4,2 \cdot 10^{-16})}$

г) $\frac{(2 \cdot 10^4)^{-3} \cdot (9,6 \cdot 10^7)}{0,24 \cdot 10^{20}}$

а) $ \frac{(2,89 \cdot 10^{-5}) \cdot (0,2 \cdot 10^3)}{3,4 \cdot 10^{-9}} $
Сначала упростим числитель, перемножив отдельно десятичные дроби и степени десяти:
$ (2,89 \cdot 10^{-5}) \cdot (0,2 \cdot 10^3) = (2,89 \cdot 0,2) \cdot (10^{-5} \cdot 10^3) = 0,578 \cdot 10^{-5+3} = 0,578 \cdot 10^{-2} $.
Теперь подставим полученное значение в исходное выражение и выполним деление:
$ \frac{0,578 \cdot 10^{-2}}{3,4 \cdot 10^{-9}} = \frac{0,578}{3,4} \cdot \frac{10^{-2}}{10^{-9}} $.
Вычислим каждую часть отдельно:
$ \frac{0,578}{3,4} = 0,17 $.
$ \frac{10^{-2}}{10^{-9}} = 10^{-2 - (-9)} = 10^{-2+9} = 10^7 $.
Перемножим результаты и приведем к стандартному виду:
$ 0,17 \cdot 10^7 = 1,7 \cdot 10^{-1} \cdot 10^7 = 1,7 \cdot 10^6 $.
Ответ: $ 1,7 \cdot 10^6 $.

б) $ \frac{0,25 \cdot 10^{-15}}{(0,45 \cdot 10^9) \cdot (3 \cdot 10^{-3})^{-2}} $
Сначала упростим знаменатель. Для этого возведем в степень второй множитель, используя свойство $ (ab)^n = a^n b^n $:
$ (3 \cdot 10^{-3})^{-2} = 3^{-2} \cdot (10^{-3})^{-2} = \frac{1}{3^2} \cdot 10^{-3 \cdot (-2)} = \frac{1}{9} \cdot 10^{6} $.
Теперь перемножим множители в знаменателе:
$ (0,45 \cdot 10^9) \cdot (\frac{1}{9} \cdot 10^6) = (0,45 \cdot \frac{1}{9}) \cdot (10^9 \cdot 10^6) = 0,05 \cdot 10^{9+6} = 0,05 \cdot 10^{15} $.
Теперь выполним деление:
$ \frac{0,25 \cdot 10^{-15}}{0,05 \cdot 10^{15}} = \frac{0,25}{0,05} \cdot \frac{10^{-15}}{10^{15}} = 5 \cdot 10^{-15-15} = 5 \cdot 10^{-30} $.
Ответ: $ 5 \cdot 10^{-30} $.

в) $ \frac{6,3 \cdot 10^{-20}}{(0,15 \cdot 10^{11}) \cdot (4,2 \cdot 10^{-16})} $
Сначала упростим знаменатель, перемножив отдельно десятичные дроби и степени десяти:
$ (0,15 \cdot 10^{11}) \cdot (4,2 \cdot 10^{-16}) = (0,15 \cdot 4,2) \cdot (10^{11} \cdot 10^{-16}) = 0,63 \cdot 10^{11-16} = 0,63 \cdot 10^{-5} $.
Теперь выполним деление:
$ \frac{6,3 \cdot 10^{-20}}{0,63 \cdot 10^{-5}} = \frac{6,3}{0,63} \cdot \frac{10^{-20}}{10^{-5}} = 10 \cdot 10^{-20-(-5)} = 10 \cdot 10^{-20+5} = 10 \cdot 10^{-15} $.
Упростим полученный результат:
$ 10^1 \cdot 10^{-15} = 10^{1-15} = 10^{-14} $.
Ответ: $ 10^{-14} $.

г) $ \frac{(2 \cdot 10^4)^{-3} \cdot (9,6 \cdot 10^7)}{0,24 \cdot 10^{20}} $
Сначала упростим числитель. Возведем в степень первый множитель:
$ (2 \cdot 10^4)^{-3} = 2^{-3} \cdot (10^4)^{-3} = \frac{1}{2^3} \cdot 10^{4 \cdot (-3)} = \frac{1}{8} \cdot 10^{-12} = 0,125 \cdot 10^{-12} $.
Теперь перемножим множители в числителе:
$ (0,125 \cdot 10^{-12}) \cdot (9,6 \cdot 10^7) = (0,125 \cdot 9,6) \cdot (10^{-12} \cdot 10^7) = 1,2 \cdot 10^{-12+7} = 1,2 \cdot 10^{-5} $.
Теперь выполним деление числителя на знаменатель:
$ \frac{1,2 \cdot 10^{-5}}{0,24 \cdot 10^{20}} = \frac{1,2}{0,24} \cdot \frac{10^{-5}}{10^{20}} = 5 \cdot 10^{-5-20} = 5 \cdot 10^{-25} $.
Ответ: $ 5 \cdot 10^{-25} $.

39.11 Сравните числа a и b:

а) $a = (1,4 \cdot 10^{-2}) \cdot (5 \cdot 10^{-1})$ и $b = 0,006;$

б) $a = \frac{3,6 \cdot 10^{-7}}{3 \cdot 10^{-4}}$ и $b = 0,001;$

в) $a = (4,2 \cdot 10^{5}) \cdot (2 \cdot 10^{2})$ и $b = 700 000 000;$

г) $a = \frac{5,4 \cdot 10^{9}}{9 \cdot 10^{7}}$ и $b = 70.$

а) Для того чтобы сравнить числа $a$ и $b$, сначала упростим выражение для $a$.
$a = (1,4 \cdot 10^{-2}) \cdot (5 \cdot 10^{-1})$
Сгруппируем множители: $a = (1,4 \cdot 5) \cdot (10^{-2} \cdot 10^{-1})$
Выполним умножение. При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются: $a = 7 \cdot 10^{-2 + (-1)} = 7 \cdot 10^{-3}$
Представим число $a$ в виде десятичной дроби: $a = 7 \cdot 0,001 = 0,007$
Теперь сравним $a = 0,007$ и $b = 0,006$. Так как $0,007 > 0,006$, то $a > b$.
Ответ: $a > b$.

б) Упростим выражение для $a$.
$a = \frac{3,6 \cdot 10^{-7}}{3 \cdot 10^{-4}}$
Разделим числовые коэффициенты и степени отдельно. При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются: $a = \frac{3,6}{3} \cdot \frac{10^{-7}}{10^{-4}} = 1,2 \cdot 10^{-7 - (-4)} = 1,2 \cdot 10^{-7 + 4} = 1,2 \cdot 10^{-3}$
Представим число $a$ в виде десятичной дроби: $a = 1,2 \cdot 0,001 = 0,0012$
Теперь сравним $a = 0,0012$ и $b = 0,001$. Так как $0,0012 > 0,001$, то $a > b$.
Ответ: $a > b$.

в) Упростим выражение для $a$.
$a = (4,2 \cdot 10^5) \cdot (2 \cdot 10^2)$
Сгруппируем множители: $a = (4,2 \cdot 2) \cdot (10^5 \cdot 10^2)$
Выполним умножение: $a = 8,4 \cdot 10^{5+2} = 8,4 \cdot 10^7$
Теперь представим число $b$ в стандартном виде: $b = 700\;000\;000 = 7 \cdot 10^8$
Сравним числа $a = 8,4 \cdot 10^7$ и $b = 7 \cdot 10^8$. Поскольку показатель степени у числа $b$ ($8$) больше, чем у числа $a$ ($7$), то число $b$ больше. Для наглядности можно привести числа к одному порядку: $b = 7 \cdot 10^8 = 70 \cdot 10^7$. Сравнивая $a = 8,4 \cdot 10^7$ и $b = 70 \cdot 10^7$, видим, что $8,4 < 70$, следовательно, $a < b$.
Ответ: $a < b$.

г) Упростим выражение для $a$.
$a = \frac{5,4 \cdot 10^9}{9 \cdot 10^7}$
Разделим числовые коэффициенты и степени отдельно: $a = \frac{5,4}{9} \cdot \frac{10^9}{10^7} = 0,6 \cdot 10^{9-7} = 0,6 \cdot 10^2$
Вычислим значение $a$: $a = 0,6 \cdot 100 = 60$
Теперь сравним $a = 60$ и $b = 70$. Так как $60 < 70$, то $a < b$.
Ответ: $a < b$.

39.12 Известно, что порядок числа $b$ равен 2. Каков порядок числа:

а) $100b$;

б) $0,1b$;

в) $10b$;

г) $0,001b$?

Порядок числа — это показатель степени числа 10 в стандартной записи этого числа. Стандартная запись числа $N$ имеет вид $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Число $n$ и называется порядком числа $N$.

По условию, порядок числа $b$ равен 2. Это означает, что число $b$ можно представить в виде $b = a \cdot 10^2$, где $1 \le a < 10$. Эквивалентно это условие можно записать в виде неравенства: $10^2 \le b < 10^3$. Будем использовать это неравенство для нахождения порядка каждого из искомых чисел.

а) 100b

Для нахождения порядка числа $100b$ умножим обе части неравенства $10^2 \le b < 10^3$ на 100. Поскольку $100 = 10^2$, получаем:

$100 \cdot 10^2 \le 100b < 100 \cdot 10^3$

$10^2 \cdot 10^2 \le 100b < 10^2 \cdot 10^3$

$10^{2+2} \le 100b < 10^{2+3}$

$10^4 \le 100b < 10^5$

Из полученного неравенства следует, что порядок числа $100b$ равен 4.

Ответ: 4.

б) 0,1b

Умножим неравенство $10^2 \le b < 10^3$ на 0,1. Поскольку $0,1 = 10^{-1}$, получаем:

$0,1 \cdot 10^2 \le 0,1b < 0,1 \cdot 10^3$

$10^{-1} \cdot 10^2 \le 0,1b < 10^{-1} \cdot 10^3$

$10^{-1+2} \le 0,1b < 10^{-1+3}$

$10^1 \le 0,1b < 10^2$

Следовательно, порядок числа $0,1b$ равен 1.

Ответ: 1.

в) 10b

Умножим неравенство $10^2 \le b < 10^3$ на 10. Поскольку $10 = 10^1$, получаем:

$10 \cdot 10^2 \le 10b < 10 \cdot 10^3$

$10^1 \cdot 10^2 \le 10b < 10^1 \cdot 10^3$

$10^{1+2} \le 10b < 10^{1+3}$

$10^3 \le 10b < 10^4$

Следовательно, порядок числа $10b$ равен 3.

Ответ: 3.

г) 0,001b

Умножим неравенство $10^2 \le b < 10^3$ на 0,001. Поскольку $0,001 = 10^{-3}$, получаем:

$0,001 \cdot 10^2 \le 0,001b < 0,001 \cdot 10^3$

$10^{-3} \cdot 10^2 \le 0,001b < 10^{-3} \cdot 10^3$

$10^{-3+2} \le 0,001b < 10^{-3+3}$

$10^{-1} \le 0,001b < 10^0$

Следовательно, порядок числа $0,001b$ равен -1.

Ответ: -1.

39.13 Известно, что порядок числа $m$ равен $-4$. Каков порядок числа:

a) $10m$;

б) $0,01m$;

в) $1000m$;

г) $10000m$?

Порядок числа — это показатель степени числа 10 в стандартной записи числа. Стандартная запись числа имеет вид $a \cdot 10^n$, где $1 \le |a| < 10$, а $n$ — целое число, которое и является порядком.

По условию задачи, порядок числа $m$ равен -4. Это означает, что число $m$ можно записать в стандартном виде как:

$m = a \cdot 10^{-4}$, где $1 \le |a| < 10$.

Теперь найдем порядок для каждого из предложенных чисел.

а) 10m

Чтобы найти порядок числа $10m$, умножим $10$ на стандартное представление числа $m$:

$10m = 10^1 \cdot (a \cdot 10^{-4})$

Используя свойство степеней $x^k \cdot x^l = x^{k+l}$, получаем:

$10m = a \cdot 10^{1 + (-4)} = a \cdot 10^{-3}$

Так как $1 \le |a| < 10$, полученное выражение является стандартной записью числа. Порядок этого числа равен показателю степени 10, то есть -3.

Ответ: -3

б) 0,01m

Представим множитель $0,01$ в виде степени числа 10: $0,01 = 10^{-2}$.

Теперь найдем стандартный вид числа $0,01m$:

$0,01m = 10^{-2} \cdot (a \cdot 10^{-4}) = a \cdot 10^{-2 + (-4)} = a \cdot 10^{-6}$

Поскольку $1 \le |a| < 10$, порядок числа $0,01m$ равен -6.

Ответ: -6

в) 1000m

Представим множитель $1000$ в виде степени числа 10: $1000 = 10^3$.

Найдем стандартный вид числа $1000m$:

$1000m = 10^3 \cdot (a \cdot 10^{-4}) = a \cdot 10^{3 + (-4)} = a \cdot 10^{-1}$

Поскольку $1 \le |a| < 10$, порядок числа $1000m$ равен -1.

Ответ: -1

г) 10 000m

Представим множитель $10\ 000$ в виде степени числа 10: $10\ 000 = 10^4$.

Найдем стандартный вид числа $10\ 000m$:

$10\ 000m = 10^4 \cdot (a \cdot 10^{-4}) = a \cdot 10^{4 + (-4)} = a \cdot 10^0$

Поскольку $1 \le |a| < 10$, порядок числа $10\ 000m$ равен 0.

Ответ: 0

39.14 Построенная рабами пирамида египетского фараона Хеопса имеет массу, приближённо равную $7,231 \cdot 10^6 \text{ т}$. Сколько вагонов грузоподъёмностью $64 \text{ т}$ каждый потребовалось бы для перевозки такой массы?

Для того чтобы найти, сколько вагонов потребуется для перевозки массы пирамиды, необходимо общую массу пирамиды разделить на грузоподъемность одного вагона.

Масса пирамиды Хеопса составляет $M = 7,231 \cdot 10^6$ тонн.

Грузоподъемность одного вагона составляет $m = 64$ тонны.

Сначала выразим массу пирамиды в тоннах без использования степени:

$M = 7,231 \cdot 10^6 \text{ т} = 7,231 \cdot 1\;000\;000 \text{ т} = 7\;231\;000$ т.

Теперь вычислим необходимое количество вагонов $N$, разделив общую массу на грузоподъемность одного вагона:

$N = \frac{M}{m} = \frac{7\;231\;000}{64}$

Выполним деление:

$7\;231\;000 \div 64 = 112\;984,375$

Так как количество вагонов должно быть целым числом, а нам необходимо перевезти всю массу без остатка, полученное значение следует округлить в большую сторону до ближайшего целого. Это означает, что 112 984 вагона будут полностью загружены, и потребуется еще один вагон для перевозки оставшейся части массы.

Следовательно, общее количество вагонов равно 112 985.

Ответ: 112 985 вагонов.

39.15 Используя стандартный вид числа, запишите, что:

а) в сутках 86 400 с;

б) атмосферное давление на высоте 100 км приблизительно равно 0,00024 мм рт. ст.;

в) 1 кал равна 0,00419 кДж;

г) 1 с составляет 0,0002778 ч.

а) Стандартный вид числа — это его запись в виде $a \times 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Для числа 86 400 мысленно поставим запятую в конце (86 400,0) и переместим ее влево на 4 знака, чтобы получить число $8,64$, которое удовлетворяет условию $1 \le 8,64 < 10$. Поскольку мы переместили запятую на 4 знака влево, что равносильно делению на $10^4$, мы должны умножить результат на $10^4$. Таким образом, $86 400 = 8,64 \times 10^4$.
Ответ: в сутках $8,64 \times 10^4$ с.

б) Для числа 0,000024, чтобы привести его к стандартному виду, переместим запятую вправо на 5 знаков, чтобы получить число $2,4$, которое удовлетворяет условию $1 \le 2,4 < 10$. Поскольку мы переместили запятую на 5 знаков вправо, что равносильно умножению на $10^5$, мы должны умножить результат на $10^{-5}$, чтобы значение числа не изменилось. Таким образом, $0,000024 = 2,4 \times 10^{-5}$.
Ответ: атмосферное давление на высоте 100 км приблизительно равно $2,4 \times 10^{-5}$ мм рт. ст.

в) Для числа 0,00419 переместим запятую вправо на 3 знака, чтобы получить число $4,19$ ($1 \le 4,19 < 10$). Смещение запятой на 3 знака вправо означает, что показатель степени для 10 будет равен -3. Таким образом, $0,00419 = 4,19 \times 10^{-3}$.
Ответ: 1 кал равна $4,19 \times 10^{-3}$ кДж.

г) Для числа 0,0002778 переместим запятую вправо на 4 знака, чтобы получить число $2,778$ ($1 \le 2,778 < 10$). Смещение запятой на 4 знака вправо означает, что показатель степени для 10 будет равен -4. Таким образом, $0,0002778 = 2,778 \times 10^{-4}$.
Ответ: 1 с составляет $2,778 \times 10^{-4}$ ч.

39.16 Известно, что порядок числа $x$ равен 6. Каким может быть порядок числа:

а) $x^2$;

б) $x^5$;

в) $\sqrt{x}$;

г) $\frac{1}{x}$?

По определению, порядок числа (или элемента группы) $x$ – это наименьшее натуральное число $n$, такое что $x^n=1$ (где 1 – это нейтральный элемент по умножению). По условию задачи, порядок числа $x$ равен 6, то есть $x^6=1$, и для любого натурального $k$ от 1 до 5, $x^k \neq 1$.

Для нахождения порядка степени элемента $x^k$, если порядок $x$ равен $n$, можно использовать общую формулу:$ord(x^k) = \frac{n}{\gcd(n, k)}$, где $\gcd(n, k)$ – наибольший общий делитель чисел $n$ и $k$.В нашем случае $n=6$.

Чтобы найти порядок числа $x^2$, воспользуемся формулой, подставив $n=6$ и $k=2$:$ord(x^2) = \frac{6}{\gcd(6, 2)}$.Наибольший общий делитель чисел 6 и 2 равен 2, то есть $\gcd(6, 2) = 2$.Следовательно, порядок $x^2$ равен $\frac{6}{2} = 3$.Проверим: $(x^2)^3 = x^6 = 1$. При этом $(x^2)^1 = x^2 \neq 1$ и $(x^2)^2 = x^4 \neq 1$, так как по условию порядок $x$ равен 6. Значит, 3 – наименьшая такая степень.

Ответ: 3.

Чтобы найти порядок числа $x^5$, подставим в формулу $n=6$ и $k=5$:$ord(x^5) = \frac{6}{\gcd(6, 5)}$.Числа 6 и 5 являются взаимно простыми, поэтому их наибольший общий делитель равен 1, то есть $\gcd(6, 5) = 1$.Следовательно, порядок $x^5$ равен $\frac{6}{1} = 6$.

Ответ: 6.

Пусть $y = \sqrt{x}$. Тогда $y^2 = x$. Нам нужно найти порядок $y$. Обозначим его через $m$.По определению, $ord(y)=m$.Мы знаем, что порядок $x$ равен 6, то есть $ord(y^2) = 6$.Используя формулу для порядка степени элемента в обратную сторону, получаем:$ord(y^2) = \frac{ord(y)}{\gcd(ord(y), 2)} = \frac{m}{\gcd(m, 2)} = 6$.Рассмотрим два возможных случая для $\gcd(m, 2)$:1. Если $m$ – нечетное число, то $\gcd(m, 2) = 1$. Тогда $\frac{m}{1} = 6$, откуда $m=6$. Но 6 – четное число, что противоречит нашему предположению. Этот случай невозможен.2. Если $m$ – четное число, то $\gcd(m, 2) = 2$. Тогда $\frac{m}{2} = 6$, откуда $m=12$. Это согласуется с тем, что $m$ – четное число.Таким образом, если $\sqrt{x}$ существует, его порядок должен быть равен 12. Например, в группе комплексных чисел, если $x = e^{i\pi/3}$ (корень 6-й степени из 1), то $\sqrt{x} = e^{i\pi/6}$ (корень 12-й степени из 1), и его порядок равен 12.

Ответ: 12.

Число $\frac{1}{x}$ является обратным к $x$ и обозначается как $x^{-1}$.В любой группе порядок элемента и его обратного совпадают.Пусть порядок $x$ равен $n$. Это значит, что $x^n=1$ и $n$ – наименьшее такое натуральное число.Нам нужно найти наименьшее натуральное $m$, для которого $(x^{-1})^m = 1$.Уравнение $(x^{-1})^m = 1$ эквивалентно $(x^m)^{-1} = 1$, что в свою очередь эквивалентно $x^m=1$.Наименьшее натуральное $m$, удовлетворяющее этому условию, по определению равно порядку числа $x$, то есть $m=n$.Поскольку порядок $x$ равен 6, порядок $\frac{1}{x}$ также равен 6.

Ответ: 6.