Страница 214, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Имеется четыре фрукта: яблоко, груша, апельсин, мандарин. Все их надо раздать Пете и Паше так, чтобы каждому мальчику что-то досталось. Сколько имеется способов раздачи, при которых:

а) у Пети только один фрукт;

б) у Пети ровно два фрукта;

в) у Паши есть мандарин;

г) у Паши нет яблока?

В каждом из вопросов а) — г) выпишите все нужные способы.

В задаче даны четыре различных фрукта: Яблоко (Я), Груша (Г), Апельсин (А), Мандарин (М). Их нужно раздать двум мальчикам, Пете и Паше, так, чтобы у каждого был хотя бы один фрукт.

Всего существует $2^4 = 16$ способов раздать 4 разных фрукта двум людям. Однако, по условию, у каждого мальчика должен быть хотя бы один фрукт. Это значит, что мы должны исключить два случая:

• Все 4 фрукта достались Пете (Паша не получил ничего).
• Все 4 фрукта достались Паше (Петя не получил ничего).

Таким образом, общее число подходящих способов раздачи равно $16 - 2 = 14$.

а) у Пети только один фрукт;

Если у Пети ровно один фрукт, то у Паши будут остальные три. Условие, что у каждого есть хотя бы один фрукт, выполняется автоматически. Нам нужно выбрать один фрукт из четырех для Пети. Это можно сделать $C_4^1 = \frac{4!}{1!(4-1)!} = 4$ способами.

Перечислим эти способы (в скобках указаны фрукты, которые получил каждый мальчик):

1. Петя: {Яблоко}, Паша: {Груша, Апельсин, Мандарин}
2. Петя: {Груша}, Паша: {Яблоко, Апельсин, Мандарин}
3. Петя: {Апельсин}, Паша: {Яблоко, Груша, Мандарин}
4. Петя: {Мандарин}, Паша: {Яблоко, Груша, Апельсин}

Ответ: 4 способа.

б) у Пети ровно два фрукта;

Если у Пети ровно два фрукта, то у Паши будут остальные два. Условие, что у каждого есть хотя бы один фрукт, также выполняется. Нам нужно выбрать два фрукта из четырех для Пети. Число таких сочетаний равно $C_4^2 = \frac{4!}{2!(4-2)!} = \frac{24}{2 \cdot 2} = 6$.

Перечислим эти способы:

1. Петя: {Яблоко, Груша}, Паша: {Апельсин, Мандарин}
2. Петя: {Яблоко, Апельсин}, Паша: {Груша, Мандарин}
3. Петя: {Яблоко, Мандарин}, Паша: {Груша, Апельсин}
4. Петя: {Груша, Апельсин}, Паша: {Яблоко, Мандарин}
5. Петя: {Груша, Мандарин}, Паша: {Яблоко, Апельсин}
6. Петя: {Апельсин, Мандарин}, Паша: {Яблоко, Груша}

Ответ: 6 способов.

в) у Паши есть мандарин;

Мандарин гарантированно отдаем Паше. Остаются три фрукта (Яблоко, Груша, Апельсин), каждый из которых можно отдать либо Пете, либо Паше. Это дает $2^3 = 8$ вариантов распределения оставшихся фруктов.

Поскольку Паша уже получил мандарин, у него точно есть фрукт. Нам нужно лишь исключить случай, когда Петя не получает ничего. Такой случай один: когда все три оставшихся фрукта (Я, Г, А) также достаются Паше.

Значит, количество подходящих способов равно $8 - 1 = 7$.

Перечислим эти способы:

1. Петя: {Яблоко}, Паша: {Груша, Апельсин, Мандарин}
2. Петя: {Груша}, Паша: {Яблоко, Апельсин, Мандарин}
3. Петя: {Апельсин}, Паша: {Яблоко, Груша, Мандарин}
4. Петя: {Яблоко, Груша}, Паша: {Апельсин, Мандарин}
5. Петя: {Яблоко, Апельсин}, Паша: {Груша, Мандарин}
6. Петя: {Груша, Апельсин}, Паша: {Яблоко, Мандарин}
7. Петя: {Яблоко, Груша, Апельсин}, Паша: {Мандарин}

Ответ: 7 способов.

г) у Паши нет яблока?

Если у Паши нет яблока, значит, яблоко гарантированно достается Пете. Остаются три фрукта (Груша, Апельсин, Мандарин), и каждый из них можно отдать либо Пете, либо Паше. Это дает $2^3 = 8$ вариантов.

Поскольку Петя уже получил яблоко, у него точно есть фрукт. Нам нужно исключить случай, когда Паша не получает ничего. Такой случай один: когда все три оставшихся фрукта (Г, А, М) также достаются Пете.

Следовательно, количество подходящих способов равно $8 - 1 = 7$.

Перечислим эти способы:

1. Петя: {Яблоко, Груша}, Паша: {Апельсин, Мандарин}
2. Петя: {Яблоко, Апельсин}, Паша: {Груша, Мандарин}
3. Петя: {Яблоко, Мандарин}, Паша: {Груша, Апельсин}
4. Петя: {Яблоко, Груша, Апельсин}, Паша: {Мандарин}
5. Петя: {Яблоко, Груша, Мандарин}, Паша: {Апельсин}
6. Петя: {Яблоко, Апельсин, Мандарин}, Паша: {Груша}
7. Петя: {Яблоко}, Паша: {Груша, Апельсин, Мандарин}

Ответ: 7 способов.

2. Сформулируйте правило умножения для двух испытаний.

Правило умножения в теории вероятностей используется для нахождения вероятности совместного наступления (пересечения) двух событий. Формулировка правила зависит от того, являются ли эти события (испытания) зависимыми или независимыми.

Правило умножения для независимых испытаний

Два испытания (события) $A$ и $B$ называются независимыми, если исход одного из них не влияет на вероятность исхода другого. Например, два последовательных броска монеты являются независимыми испытаниями: результат первого броска никак не изменяет вероятность выпадения орла или решки во втором броске.

Формулировка: Вероятность совместного наступления двух независимых событий равна произведению их вероятностей.

Это означает, что для нахождения вероятности того, что произойдут и событие $A$, и событие $B$, нужно перемножить их индивидуальные вероятности.

Пример: Какова вероятность, что при двух бросках игральной кости оба раза выпадет 6? Вероятность выпадения 6 в первом броске $P(A) = 1/6$. Вероятность выпадения 6 во втором броске $P(B) = 1/6$. Так как броски независимы, вероятность того, что оба события произойдут, равна $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.

Ответ: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

Правило умножения для зависимых испытаний (Общая форма)

Два испытания (события) $A$ и $B$ называются зависимыми, если исход одного из них влияет на вероятность исхода другого. Для описания этой зависимости используется понятие условной вероятности.

Условная вероятность $P(B|A)$ – это вероятность наступления события $B$ при условии, что событие $A$ уже произошло.

Формулировка: Вероятность совместного наступления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое событие уже наступило.

Эта формула является общей и работает для любых двух событий, как зависимых, так и независимых. Если события $A$ и $B$ независимы, то $P(B|A) = P(B)$, и общая формула превращается в формулу для независимых событий.

Пример: В урне 5 белых и 3 черных шара. Из урны последовательно вынимают два шара без возвращения. Какова вероятность, что оба шара окажутся белыми?
Пусть $A$ – событие "первый шар белый", $B$ – событие "второй шар белый".
Вероятность вытащить первый белый шар: $P(A) = 5/8$.
После того как вытащили один белый шар, в урне осталось 7 шаров, из них 4 белых. Таким образом, условная вероятность вытащить второй белый шар при условии, что первый был белым: $P(B|A) = 4/7$.
Вероятность того, что оба шара белые, равна $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A) = \frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}$.

Ответ: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B|A)$

3. Сформулируйте правило умножения для трёх испытаний.

Правило умножения вероятностей для трёх испытаний, результатом которых являются события $A$, $B$ и $C$, позволяет вычислить вероятность их совместного наступления (то есть вероятность того, что произойдут все три события). Формулировка правила зависит от того, являются ли эти события зависимыми или независимыми.

Общий случай (для зависимых событий)

Вероятность совместного наступления трёх событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность второго, вычисленную при условии, что первое событие уже произошло, и на условную вероятность третьего, вычисленную при условии, что первые два события уже произошли.

Математически это выражается формулой (теоремой умножения вероятностей): $P(ABC) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|AB)$

Где:

• $P(ABC)$ — это вероятность совместного наступления событий A, B и C.
• $P(A)$ — вероятность события A.
• $P(B|A)$ — условная вероятность события B при условии, что событие A уже наступило.
• $P(C|AB)$ — условная вероятность события C при условии, что события A и B уже наступили.

Частный случай (для независимых событий)

Если события $A$, $B$ и $C$ являются взаимно независимыми (то есть наступление любого из них не изменяет вероятностей наступления остальных), то условные вероятности становятся равны безусловным: $P(B|A) = P(B)$ и $P(C|AB) = P(C)$.

В этом случае правило значительно упрощается: вероятность совместного наступления трёх независимых событий равна произведению их вероятностей.

Формула для независимых событий: $P(ABC) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$

Ответ: Вероятность совместного наступления трёх событий $A$, $B$ и $C$ равна произведению вероятности первого события на условную вероятность второго (при условии, что первое произошло) и на условную вероятность третьего (при условии, что первые два произошли): $P(ABC) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|AB)$. Для независимых событий их совместная вероятность равна произведению их вероятностей: $P(ABC) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$.

4. Сформулируйте правило нахождения вероятности.

Правило нахождения вероятности случайного события, также известное как классическое определение вероятности, формулируется следующим образом: вероятность события равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов.

Это правило математически выражается следующей формулой: $$P(A) = \frac{m}{n}$$ В этой формуле $P(A)$ обозначает вероятность события A, $m$ — это число благоприятствующих исходов (тех, при которых событие A наступает), а $n$ — это общее число всех равновозможных исходов эксперимента. Важным условием применимости этого правила является то, что все элементарные исходы должны быть равновозможными.

Рассмотрим пример. Пусть необходимо найти вероятность того, что при однократном броске стандартного игрального кубика выпадет число, кратное 3. Общее число равновозможных исходов ($n$) равно 6, так как могут выпасть числа 1, 2, 3, 4, 5 или 6. Событию «выпало число, кратное 3» благоприятствуют два исхода: выпадение 3 и выпадение 6. Таким образом, число благоприятствующих исходов ($m$) равно 2. Используя формулу, находим вероятность: $$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$$

Основные свойства вероятности: вероятность любого события не может быть меньше 0 и больше 1 ($0 \le P(A) \le 1$); вероятность достоверного события (которое обязательно произойдет) равна 1; вероятность невозможного события (которое никогда не произойдет) равна 0.

Ответ: Вероятность события вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех равновозможных исходов. Формула для вычисления: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $m$ – число благоприятствующих исходов, а $n$ – общее число равновозможных исходов.

5. Объясните, почему вероятность невозможного события равна $0$.

Для объяснения этого факта воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события A определяется как отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию (обозначим его как m), к общему числу всех равновозможных исходов эксперимента (обозначим его как n).

Формула для вычисления вероятности выглядит так:

$P(A) = \frac{m}{n}$

Невозможное событие — это событие, которое в рамках данного эксперимента не может произойти ни при каких условиях. Например, при подбрасывании обычного игрального кубика невозможное событие — это выпадение числа 7, так как на его гранях есть только числа от 1 до 6.

Поскольку невозможное событие не может произойти, для него не существует благоприятствующих исходов. Это означает, что число благоприятствующих исходов m для такого события всегда равно 0.

Подставим значение $m = 0$ в формулу вероятности:

$P(\text{невозможное событие}) = \frac{0}{n}$

При этом общее число исходов n всегда больше нуля ($n > 0$), так как любой эксперимент имеет хотя бы один возможный исход. Деление нуля на любое положительное число всегда дает в результате нуль.

Следовательно, вероятность невозможного события всегда равна 0.

Ответ: Вероятность невозможного события равна 0, потому что число исходов, благоприятствующих этому событию, равно нулю ($m=0$). Согласно классическому определению вероятности $P = \frac{m}{n}$, при подстановке $m=0$ и любого $n>0$ результат всегда будет равен нулю.

6. Объясните, почему вероятность достоверного события равна $1$.

Для объяснения этого факта воспользуемся классическим определением вероятности. Вероятность события — это числовая мера возможности его наступления. Согласно классическому определению, вероятность события $A$ вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию (обозначим их как $m$), к общему числу всех равновозможных исходов эксперимента (обозначим их как $n$).

Формула для расчета вероятности имеет вид:$P(A) = \frac{m}{n}$

Достоверным событием называется такое событие, которое в результате эксперимента обязательно произойдет. Другими словами, любой возможный исход эксперимента приводит к наступлению этого события. Например, при извлечении шара из урны, в которой находятся только белые шары, событие «извлеченный шар — белый» является достоверным.

Для достоверного события каждый из $n$ возможных исходов является благоприятствующим. Это означает, что число благоприятствующих исходов $m$ совпадает с общим числом всех возможных исходов $n$.

Таким образом, для достоверного события мы имеем:$m = n$

Подставив это равенство в формулу вероятности, получим:

$P(\text{достоверное событие}) = \frac{m}{n} = \frac{n}{n} = 1$

Значение вероятности 1 соответствует 100% уверенности в том, что событие произойдет. Это максимальное возможное значение для вероятности.

Ответ: Вероятность достоверного события равна 1, так как для такого события все возможные исходы эксперимента являются благоприятствующими, то есть число благоприятствующих исходов $m$ равно общему числу всех возможных исходов $n$. Их отношение $P = m/n$ в этом случае всегда равно 1.

40.4 Выбрали произвольное целое число, которое является решением неравенства $|3x| < 8$. Какова вероятность того, что выбранное число будет также и решением неравенства:

а) $x < -1$;

б) $|x + 1| > 0$;

в) $x > -1$;

г) $|x| < \sqrt{2}$?

Сначала найдем все целые числа, которые являются решением неравенства $|3x| < 8$. Это множество будет нашим пространством элементарных исходов.

Решим неравенство:

$|3x| < 8$

Это неравенство равносильно системе:

$-8 < 3x < 8$

Разделим все части неравенства на 3:

$-8/3 < x < 8/3$

$-2\frac{2}{3} < x < 2\frac{2}{3}$

Целые числа, удовлетворяющие этому неравенству: -2, -1, 0, 1, 2.

Таким образом, множество всех возможных исходов $S = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$. Общее число возможных исходов $N = 5$.

Вероятность события A вычисляется по формуле классической вероятности $P(A) = m/n$, где $n$ — общее число исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию A.

а) Найдем вероятность того, что выбранное число будет решением неравенства $x < -1$.

Из множества $S = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ выберем числа, которые меньше -1. Таким числом является только -2.

Число благоприятных исходов $m = 1$.

Вероятность: $P = m/N = 1/5$.

Ответ: $1/5$

б) Найдем вероятность того, что выбранное число будет решением неравенства $|x + 1| > 0$.

Модуль любого выражения всегда неотрицателен, то есть $|x + 1| \ge 0$. Неравенство $|x + 1| > 0$ выполняется для всех значений $x$, кроме тех, для которых $|x + 1| = 0$.

$x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$.

Значит, решением неравенства являются все числа, кроме -1.

Из множества $S = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ благоприятными исходами будут все числа, кроме -1: это -2, 0, 1, 2.

Число благоприятных исходов $m = 4$.

Вероятность: $P = m/N = 4/5$.

Ответ: $4/5$

в) Найдем вероятность того, что выбранное число будет решением неравенства $x > -1$.

Из множества $S = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ выберем числа, которые больше -1. Такими числами являются 0, 1, 2.

Число благоприятных исходов $m = 3$.

Вероятность: $P = m/N = 3/5$.

Ответ: $3/5$

г) Найдем вероятность того, что выбранное число будет решением неравенства $|x| < \sqrt{2}$.

Решим это неравенство:

$-\sqrt{2} < x < \sqrt{2}$

Так как $\sqrt{2} \approx 1.414$, то неравенство можно записать как $-1.414 < x < 1.414$.

Из множества $S = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$ выберем целые числа, удовлетворяющие этому неравенству. Такими числами являются -1, 0, 1.

Число благоприятных исходов $m = 3$.

Вероятность: $P = m/N = 3/5$.

Ответ: $3/5$

40.5 Выбрали произвольное целочисленное решение неравенства $x^2 + 5x - 14 \le 0$. Какова вероятность того, что выбранное число будет также и решением неравенства:

а) $x^2 \le 1$;

б) $x^2 \le 3$;

в) $x^2 \ge 4$;

г) $5x + x^2 \ge 0?

Для решения задачи сначала найдем все целочисленные решения исходного неравенства $x^2 + 5x - 14 \le 0$. Это будет наше пространство элементарных исходов.

1. Решим квадратное уравнение $x^2 + 5x - 14 = 0$, чтобы найти корни. Используя теорему Виета, находим корни: $x_1 = -7$ и $x_2 = 2$.

2. Квадратичная функция $y = x^2 + 5x - 14$ представляет собой параболу с ветвями, направленными вверх (коэффициент при $x^2$ положителен). Следовательно, неравенство $x^2 + 5x - 14 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решение неравенства — это отрезок $[-7; 2]$.

3. Найдем все целые числа, принадлежащие этому отрезку: $-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2$.

Всего у нас 10 целочисленных решений. Это общее число $n$ равновероятных исходов. Выбор любого из этих чисел равновероятен.

Теперь для каждого подпункта найдем количество благоприятных исходов $m$ (чисел, которые удовлетворяют дополнительному условию) и вычислим вероятность по формуле $P = \frac{m}{n}$.

а) Выбранное число является решением неравенства $x^2 \le 1$.

Решением этого неравенства является отрезок $[-1; 1]$. Целочисленные решения на этом отрезке: $-1, 0, 1$.

Все эти три числа входят в наше множество из 10 решений. Следовательно, число благоприятных исходов $m=3$.

Вероятность равна $P = \frac{3}{10}$.

Ответ: $\frac{3}{10}$

б) Выбранное число является решением неравенства $x^2 \le 3$.

Решением этого неравенства является отрезок $[-\sqrt{3}; \sqrt{3}]$. Так как $1 < \sqrt{3} \approx 1.73$, целочисленные решения на этом отрезке: $-1, 0, 1$.

Все эти три числа входят в наше множество из 10 решений. Следовательно, число благоприятных исходов $m=3$.

Вероятность равна $P = \frac{3}{10}$.

Ответ: $\frac{3}{10}$

в) Выбранное число является решением неравенства $x^2 \ge 4$.

Решением этого неравенства является объединение двух лучей: $(-\infty; -2] \cup [2; \infty)$.

Теперь выберем из нашего множества $\{-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\}$ числа, удовлетворяющие этому условию. Это числа: $-7, -6, -5, -4, -3, -2$ (так как они $\le -2$) и $2$ (так как оно $\ge 2$).

Всего таких чисел 7. Следовательно, число благоприятных исходов $m=7$.

Вероятность равна $P = \frac{7}{10}$.

Ответ: $\frac{7}{10}$

г) Выбранное число является решением неравенства $5x + x^2 \ge 0$.

Перепишем неравенство как $x(x+5) \ge 0$. Корни соответствующего уравнения: $x_1=0$ и $x_2=-5$. Это парабола с ветвями вверх, поэтому решение неравенства: $(-\infty; -5] \cup [0; \infty)$.

Теперь выберем из нашего множества $\{-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2\}$ числа, удовлетворяющие этому условию. Это числа: $-7, -6, -5$ (так как они $\le -5$) и $0, 1, 2$ (так как они $\ge 0$).

Всего таких чисел 6. Следовательно, число благоприятных исходов $m=6$.

Вероятность равна $P = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

40.6 На форзаце задачника приведена таблица квадратов двузначных чисел. По этой таблице нашли первые цифры всех записанных в ней чисел.

а) Каков объём полученного ряда данных?

б) Заполните таблицу результатов:

в) Какова процентная частота цифры «5»?

г) Чему равна мода и какова её процентная частота?

а) Каков объём полученного ряда данных?

Ряд данных состоит из первых цифр квадратов всех двузначных чисел. Двузначные числа — это целые числа от 10 до 99 включительно. Чтобы найти их количество, нужно из наибольшего числа вычесть наименьшее и прибавить единицу. Объём ряда данных равен количеству двузначных чисел: $N = 99 - 10 + 1 = 90$.

Ответ: 90.

б) Заполните таблицу результатов:

Чтобы заполнить таблицу, необходимо найти первую цифру квадрата каждого двузначного числа от 10 до 99 и посчитать, сколько раз встречается каждая из цифр от 1 до 9.

• Первая цифра 1: Квадраты чисел от 10 до 14 ($10^2=100, \dots, 14^2=196$) и от 32 до 44 ($32^2=1024, \dots, 44^2=1936$). Всего $5 + 13 = 18$ чисел.
• Первая цифра 2: Квадраты чисел от 15 до 17 ($15^2=225, \dots, 17^2=289$) и от 45 до 54 ($45^2=2025, \dots, 54^2=2916$). Всего $3 + 10 = 13$ чисел.
• Первая цифра 3: Квадраты чисел от 18 до 19 ($18^2=324, 19^2=361$) и от 55 до 63 ($55^2=3025, \dots, 63^2=3969$). Всего $2 + 9 = 11$ чисел.
• Первая цифра 4: Квадраты чисел от 20 до 22 ($20^2=400, \dots, 22^2=484$) и от 64 до 70 ($64^2=4096, \dots, 70^2=4900$). Всего $3 + 7 = 10$ чисел.
• Первая цифра 5: Квадраты чисел от 23 до 24 ($23^2=529, 24^2=576$) и от 71 до 77 ($71^2=5041, \dots, 77^2=5929$). Всего $2 + 7 = 9$ чисел.
• Первая цифра 6: Квадраты чисел от 25 до 26 ($25^2=625, 26^2=676$) и от 78 до 83 ($78^2=6084, \dots, 83^2=6889$). Всего $2 + 6 = 8$ чисел.
• Первая цифра 7: Квадраты чисел от 27 до 28 ($27^2=729, 28^2=784$) и от 84 до 89 ($84^2=7056, \dots, 89^2=7921$). Всего $2 + 6 = 8$ чисел.
• Первая цифра 8: Квадрат числа 29 ($29^2=841$) и квадраты чисел от 90 до 94 ($90^2=8100, \dots, 94^2=8836$). Всего $1 + 5 = 6$ чисел.
• Первая цифра 9: Квадраты чисел от 30 до 31 ($30^2=900, 31^2=961$) и от 95 до 99 ($95^2=9025, \dots, 99^2=9801$). Всего $2 + 5 = 7$ чисел.

Проверка: $18 + 13 + 11 + 10 + 9 + 8 + 8 + 6 + 7 = 90$. Сумма частот равна объёму ряда данных.

Заполненная таблица:

Ответ: Таблица заполнена выше.

в) Какова процентная частота цифры «5»?

Из таблицы в пункте б) видно, что цифра «5» встретилась 9 раз. Общий объём данных — 90. Процентная частота вычисляется как отношение частоты события к общему числу испытаний, умноженное на 100%. Процентная частота = $(\frac{\text{частота цифры «5»}}{\text{объём данных}}) \times 100\% = (\frac{9}{90}) \times 100\% = \frac{1}{10} \times 100\% = 10\%$.

Ответ: 10%.

г) Чему равна мода и какова её процентная частота?

Мода — это значение в ряде данных, которое встречается наиболее часто. Согласно таблице частот из пункта б), чаще всего встречается цифра 1 (18 раз). Следовательно, мода данного ряда равна 1.

Найдём процентную частоту моды (цифры «1»): Процентная частота = $(\frac{\text{частота моды}}{\text{объём данных}}) \times 100\% = (\frac{18}{90}) \times 100\% = \frac{1}{5} \times 100\% = 20\%$.

Ответ: Мода равна 1, её процентная частота — 20%.

40.7 Точки $A, B, C, D$ — вершины квадрата. Надо провести три отрезка с концами в этих точках (порядок проведения отрезков не важен). Сколько у задачи существует решений:

а) если все отрезки проводить по сторонам квадрата;

б) если один из отрезков — диагональ $AC$, а два других не имеют общих точек;

в) если один из отрезков — диагональ $BD$, а два других имеют общие точки;

г) всего?

Для решения задачи сначала определим общее количество возможных отрезков. В квадрате с вершинами A, B, C, D можно провести 4 отрезка по сторонам (AB, BC, CD, DA) и 2 диагонали (AC, BD). Всего 6 уникальных отрезков. Мы должны выбрать 3 из них в соответствии с заданными условиями.

а) если все отрезки проводить по сторонам квадрата;

В этом случае нам нужно выбрать 3 отрезка из 4-х сторон квадрата. Поскольку порядок выбора не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний из 4 элементов по 3:
$C_4^3 = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4!}{3! \cdot 1!} = 4$.
Существует 4 таких комбинации: (AB, BC, CD), (BC, CD, DA), (CD, DA, AB) и (DA, AB, BC).
Ответ: 4.

б) если один из отрезков — диагональ AC, а два других не имеют общих точек;

Один отрезок уже выбран — это диагональ AC. Остается выбрать два других отрезка из 5 возможных (4 стороны и диагональ BD).
Согласно условию, эти два отрезка не должны иметь общих точек (т.е. быть непересекающимися). Проанализируем возможные пары:
1. Две стороны: Две стороны не имеют общих точек, только если они являются противоположными сторонами квадрата. Таких пар две: (AB, CD) и (BC, DA).
2. Сторона и диагональ BD: Каждая из четырех сторон квадрата имеет общую вершину с диагональю BD, следовательно, они пересекаются.
Таким образом, есть только две подходящие пары отрезков: (AB, CD) и (BC, DA). Это приводит к двум возможным решениям: {AC, AB, CD} и {AC, BC, DA}.
Ответ: 2.

в) если один из отрезков — диагональ BD, а два других имеют общие точки;

Один отрезок зафиксирован — это диагональ BD. Нужно выбрать еще два отрезка из 5 оставшихся (AB, BC, CD, DA, AC) так, чтобы они имели хотя бы одну общую точку.
Найдем общее количество способов выбрать 2 отрезка из 5, а затем вычтем количество пар, которые не имеют общих точек.
Общее число пар: $C_5^2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5 \cdot 4}{2} = 10$.
Пары отрезков из набора {AB, BC, CD, DA, AC}, не имеющие общих точек, — это только пары противоположных сторон: (AB, CD) и (BC, DA). Диагональ AC пересекается с каждой из четырех сторон. Таким образом, есть 2 непересекающиеся пары.
Количество пар, имеющих общие точки, равно: $10 - 2 = 8$.
Ответ: 8.

г) всего?

Здесь необходимо найти общее количество способов выбрать любые 3 отрезка из 6 возможных (4 стороны и 2 диагонали). Порядок выбора не важен.
Используем формулу для числа сочетаний из 6 элементов по 3:
$C_6^3 = \frac{6!}{3!(6-3)!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20$.
Этот результат можно проверить, рассмотрев все возможные составы троек отрезков:
1. Три стороны: $C_4^3 = 4$ способа.
2. Две стороны и одна диагональ: $C_4^2 \cdot C_2^1 = 6 \cdot 2 = 12$ способов.
3. Одна сторона и две диагонали: $C_4^1 \cdot C_2^2 = 4 \cdot 1 = 4$ способа.
Сумма всех способов: $4 + 12 + 4 = 20$.
Ответ: 20.

1 Решите неравенство $ \frac{3x + 5}{7} + \frac{10 - 3x}{5} > \frac{2x + 7}{3} - \frac{148}{41} $

Для решения данного линейного неравенства с дробными коэффициентами, в первую очередь, избавимся от знаменателей. Для этого найдем наименьшее общее кратное (НОК) всех знаменателей: 7, 5, 3 и 41. Так как все эти числа являются простыми, их НОК равно их произведению.

$НОК(7, 5, 3, 41) = 7 \times 5 \times 3 \times 41 = 105 \times 41 = 4305$.

Умножим обе части неравенства на 4305. Знак неравенства при этом не изменится, так как 4305 — положительное число.

$4305 \cdot \left(\frac{3x + 5}{7} + \frac{10 - 3x}{5}\right) > 4305 \cdot \left(\frac{2x + 7}{3} - \frac{148}{41}\right)$

Выполним умножение для каждого члена:

$\frac{4305}{7}(3x + 5) + \frac{4305}{5}(10 - 3x) > \frac{4305}{3}(2x + 7) - \frac{4305}{41}(148)$

Вычислим коэффициенты перед скобками:

$\frac{4305}{7} = 615$

$\frac{4305}{5} = 861$

$\frac{4305}{3} = 1435$

$\frac{4305}{41} = 105$

Подставим полученные значения в неравенство:

$615(3x + 5) + 861(10 - 3x) > 1435(2x + 7) - 105 \cdot 148$

Теперь раскроем скобки:

$615 \cdot 3x + 615 \cdot 5 + 861 \cdot 10 - 861 \cdot 3x > 1435 \cdot 2x + 1435 \cdot 7 - 15540$

$1845x + 3075 + 8610 - 2583x > 2870x + 10045 - 15540$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ и свободные члены в каждой части неравенства:

$(1845 - 2583)x + (3075 + 8610) > 2870x + (10045 - 15540)$

$-738x + 11685 > 2870x - 5495$

Перенесем все слагаемые с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую, чтобы получить положительный коэффициент при $x$.

$11685 + 5495 > 2870x + 738x$

$17180 > 3608x$

Запишем неравенство в более привычном виде, поменяв части местами:

$3608x < 17180$

Теперь выразим $x$, разделив обе части на 3608:

$x < \frac{17180}{3608}$

Сократим полученную дробь. Заметим, что числитель и знаменатель делятся на 4.

$17180 \div 4 = 4295$

$3608 \div 4 = 902$

Таким образом, получаем:

$x < \frac{4295}{902}$

Данная дробь является несократимой, так как знаменатель $902 = 2 \times 11 \times 41$, а числитель 4295 не делится ни на 2, ни на 11, ни на 41. Решение можно записать в виде числового промежутка.

Ответ: $(-\infty; \frac{4295}{902})$

2 Используя метод выделения квадрата двучлена, докажите, что при любых неотрицательных значениях переменной $x$ выполняется неравенство $x^3 - 8x\sqrt{x} + 18 > 0$.

Для доказательства неравенства $x^3 - 8x\sqrt{x} + 18 > 0$ при $x \ge 0$ воспользуемся методом выделения полного квадрата для выражения в левой части.

Сначала преобразуем члены, содержащие переменную $x$. Заметим, что $x^3$ можно представить как квадрат от $x\sqrt{x}$:

$x^3 = x \cdot x^2 = (\sqrt{x})^2 \cdot ((\sqrt{x})^2)^2 = (\sqrt{x})^2 \cdot (\sqrt{x})^4 = (\sqrt{x})^6 = ((\sqrt{x})^3)^2$.

Также, $x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 \cdot \sqrt{x} = (\sqrt{x})^3$.

Таким образом, выражение $x^3 - 8x\sqrt{x} + 18$ можно переписать в виде:

$((\sqrt{x})^3)^2 - 8(\sqrt{x})^3 + 18$

Это выражение является квадратным трехчленом относительно $(\sqrt{x})^3$ или, что то же самое, относительно $x\sqrt{x}$. Чтобы выделить полный квадрат, воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = x\sqrt{x}$. Тогда удвоенное произведение $-2ab$ равно $-8x\sqrt{x}$.

$-2 \cdot (x\sqrt{x}) \cdot b = -8x\sqrt{x}$

Отсюда находим $b=4$.

Для получения полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = 4^2 = 16$. Представим число 18 в виде суммы $16+2$:

$x^3 - 8x\sqrt{x} + 18 = (x^3 - 8x\sqrt{x} + 16) + 2$

Теперь первые три слагаемых образуют полный квадрат:

$(x\sqrt{x} - 4)^2 + 2$

Исходное неравенство $x^3 - 8x\sqrt{x} + 18 > 0$ равносильно неравенству $(x\sqrt{x} - 4)^2 + 2 > 0$.

Проанализируем полученное выражение. По условию задачи $x \ge 0$, следовательно, выражение $x\sqrt{x} - 4$ является действительным числом.

1. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен: $(x\sqrt{x} - 4)^2 \ge 0$.

2. Если к этому неотрицательному выражению прибавить 2, то результат будет не меньше 2: $(x\sqrt{x} - 4)^2 + 2 \ge 2$.

Поскольку $2 > 0$, то и все выражение $(x\sqrt{x} - 4)^2 + 2$ всегда строго больше нуля.

Таким образом, мы доказали, что неравенство $x^3 - 8x\sqrt{x} + 18 > 0$ выполняется при любых неотрицательных значениях $x$.

Ответ: После преобразования левой части неравенства методом выделения полного квадрата, оно принимает вид $(x\sqrt{x} - 4)^2 + 2 > 0$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(x\sqrt{x} - 4)^2 \ge 0$ для любых $x \ge 0$. Следовательно, наименьшее значение левой части равно 2 (при $x\sqrt{x}=4$). Поскольку $2 > 0$, исходное неравенство верно при всех неотрицательных $x$.