Номер 40.6, страница 214, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 40. Комбинаторные и вероятностные задачи к главе 5. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 40.6, страница 214.

Условие.

40.6 На форзаце задачника приведена таблица квадратов двузначных чисел. По этой таблице нашли первые цифры всех записанных в ней чисел.

а) Каков объём полученного ряда данных?

б) Заполните таблицу результатов:

Первая цифра квадрата числа	1	2	3	4	5	6	7	8	9
	Сколько раз она встретилась

в) Какова процентная частота цифры «5»?

г) Чему равна мода и какова её процентная частота?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Каков объём полученного ряда данных?

Ряд данных состоит из первых цифр квадратов всех двузначных чисел. Двузначные числа — это целые числа от 10 до 99 включительно. Чтобы найти их количество, нужно из наибольшего числа вычесть наименьшее и прибавить единицу. Объём ряда данных равен количеству двузначных чисел: $N = 99 - 10 + 1 = 90$.

Ответ: 90.

б) Заполните таблицу результатов:

Чтобы заполнить таблицу, необходимо найти первую цифру квадрата каждого двузначного числа от 10 до 99 и посчитать, сколько раз встречается каждая из цифр от 1 до 9.

• Первая цифра 1: Квадраты чисел от 10 до 14 ($10^2=100, \dots, 14^2=196$) и от 32 до 44 ($32^2=1024, \dots, 44^2=1936$). Всего $5 + 13 = 18$ чисел.
• Первая цифра 2: Квадраты чисел от 15 до 17 ($15^2=225, \dots, 17^2=289$) и от 45 до 54 ($45^2=2025, \dots, 54^2=2916$). Всего $3 + 10 = 13$ чисел.
• Первая цифра 3: Квадраты чисел от 18 до 19 ($18^2=324, 19^2=361$) и от 55 до 63 ($55^2=3025, \dots, 63^2=3969$). Всего $2 + 9 = 11$ чисел.
• Первая цифра 4: Квадраты чисел от 20 до 22 ($20^2=400, \dots, 22^2=484$) и от 64 до 70 ($64^2=4096, \dots, 70^2=4900$). Всего $3 + 7 = 10$ чисел.
• Первая цифра 5: Квадраты чисел от 23 до 24 ($23^2=529, 24^2=576$) и от 71 до 77 ($71^2=5041, \dots, 77^2=5929$). Всего $2 + 7 = 9$ чисел.
• Первая цифра 6: Квадраты чисел от 25 до 26 ($25^2=625, 26^2=676$) и от 78 до 83 ($78^2=6084, \dots, 83^2=6889$). Всего $2 + 6 = 8$ чисел.
• Первая цифра 7: Квадраты чисел от 27 до 28 ($27^2=729, 28^2=784$) и от 84 до 89 ($84^2=7056, \dots, 89^2=7921$). Всего $2 + 6 = 8$ чисел.
• Первая цифра 8: Квадрат числа 29 ($29^2=841$) и квадраты чисел от 90 до 94 ($90^2=8100, \dots, 94^2=8836$). Всего $1 + 5 = 6$ чисел.
• Первая цифра 9: Квадраты чисел от 30 до 31 ($30^2=900, 31^2=961$) и от 95 до 99 ($95^2=9025, \dots, 99^2=9801$). Всего $2 + 5 = 7$ чисел.

Проверка: $18 + 13 + 11 + 10 + 9 + 8 + 8 + 6 + 7 = 90$. Сумма частот равна объёму ряда данных.

Заполненная таблица:

Первая цифра квадрата числа	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Сколько раз она встретилась	18	13	11	10	9	8	8	6	7

Ответ: Таблица заполнена выше.

в) Какова процентная частота цифры «5»?

Из таблицы в пункте б) видно, что цифра «5» встретилась 9 раз. Общий объём данных — 90. Процентная частота вычисляется как отношение частоты события к общему числу испытаний, умноженное на 100%. Процентная частота = $(\frac{\text{частота цифры «5»}}{\text{объём данных}}) \times 100\% = (\frac{9}{90}) \times 100\% = \frac{1}{10} \times 100\% = 10\%$.

Ответ: 10%.

г) Чему равна мода и какова её процентная частота?

Мода — это значение в ряде данных, которое встречается наиболее часто. Согласно таблице частот из пункта б), чаще всего встречается цифра 1 (18 раз). Следовательно, мода данного ряда равна 1.

Найдём процентную частоту моды (цифры «1»): Процентная частота = $(\frac{\text{частота моды}}{\text{объём данных}}) \times 100\% = (\frac{18}{90}) \times 100\% = \frac{1}{5} \times 100\% = 20\%$.

Ответ: Мода равна 1, её процентная частота — 20%.