Номер 39.18, страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 39. Стандартный вид числа. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 39.18, страница 213.

Условие.

39.18 Известно, что порядок числа $s$ равен 2, а порядок числа $t$ равен 4.

Каким может быть порядок числа:

а) $st$;

б) $100s + t$;

в) $0,01s + t$;

г) $0,1st$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) st

Порядок числа — это показатель степени 10 в его стандартной записи. Порядок числа $s$ равен 2, что означает $10^2 \le |s| < 10^3$. Порядок числа $t$ равен 4, что означает $10^4 \le |t| < 10^5$. Для определённости будем рассматривать положительные $s$ и $t$.Тогда $s = a \cdot 10^2$ и $t = b \cdot 10^4$, где $1 \le a < 10$ и $1 \le b < 10$.Их произведение $st = (a \cdot 10^2)(b \cdot 10^4) = ab \cdot 10^6$.Произведение мантисс $ab$ находится в диапазоне $1 \cdot 1 \le ab < 10 \cdot 10$, то есть $1 \le ab < 100$.Возможны два случая для порядка числа $st$:1. Если $1 \le ab < 10$, порядок равен 6. Например, если $s=2 \cdot 10^2$ и $t=3 \cdot 10^4$, то $ab=6$, и $st = 6 \cdot 10^6$.2. Если $10 \le ab < 100$, выражение преобразуется к $st = (\frac{ab}{10}) \cdot 10^7$, и порядок равен 7. Например, если $s=4 \cdot 10^2$ и $t=5 \cdot 10^4$, то $ab=20$, и $st = 20 \cdot 10^6 = 2 \cdot 10^7$.

Ответ: 6 или 7.

б) 100s + t

По условию, $s = a \cdot 10^2$ и $t = b \cdot 10^4$, где $1 \le a, b < 10$. Будем считать $s$ и $t$ положительными.Тогда выражение $100s + t$ равно $100(a \cdot 10^2) + b \cdot 10^4 = a \cdot 10^4 + b \cdot 10^4 = (a+b) \cdot 10^4$.Сумма мантисс $a+b$ находится в диапазоне $1+1 \le a+b < 10+10$, то есть $2 \le a+b < 20$.Возможны два случая для порядка суммы:1. Если $2 \le a+b < 10$, порядок равен 4. Например, если $s=2 \cdot 10^2$ и $t=3 \cdot 10^4$, то $a+b=5$, и сумма равна $5 \cdot 10^4$.2. Если $10 \le a+b < 20$, выражение преобразуется к $(\frac{a+b}{10}) \cdot 10^5$, и порядок равен 5. Например, если $s=5 \cdot 10^2$ и $t=6 \cdot 10^4$, то $a+b=11$, и сумма равна $11 \cdot 10^4 = 1.1 \cdot 10^5$.

Ответ: 4 или 5.

в) 0,01s + t

По условию, $10^2 \le s < 10^3$ и $10^4 \le t < 10^5$ (считая числа положительными).В выражении $0,01s+t$ слагаемое $t$ имеет порядок 4, а слагаемое $0,01s$ находится в диапазоне $[1, 10)$, то есть имеет порядок 0. В сумме чисел с сильно различающимися порядками итоговый порядок определяется большим слагаемым.Оценим диапазон суммы:Нижняя граница: $0,01s+t \ge 0,01(100) + 10000 = 1+10000=10001 = 1.0001 \cdot 10^4$. Порядок 4.Верхняя граница: $0,01s+t < 0,01(1000) + 100000 = 10+100000=100010 = 1.0001 \cdot 10^5$.Сумма находится в диапазоне $[10001, 100010)$.1. Если сумма меньше $10^5$, её порядок равен 4. Например, $s=100, t=10000 \implies 1+10000=10001$. Порядок 4.2. Если сумма больше или равна $10^5$, её порядок равен 5. Например, $s=100, t=99999 \implies 1+99999=100000=1 \cdot 10^5$. Порядок 5.

Ответ: 4 или 5.

г) 0,1st

Как было установлено в пункте а), произведение $st$ находится в диапазоне $10^6 \le st < 10^8$.Умножим этот диапазон на 0,1, чтобы найти диапазон для $0,1st$:$0,1 \cdot 10^6 \le 0,1st < 0,1 \cdot 10^8$, что равносильно $10^5 \le 0,1st < 10^7$.Значение $0,1st$ находится в диапазоне $[10^5, 10^7)$.1. Если $10^5 \le 0,1st < 10^6$, то порядок числа равен 5. Например, $s=200, t=10000 \implies st = 2 \cdot 10^6 \implies 0,1st = 2 \cdot 10^5$.2. Если $10^6 \le 0,1st < 10^7$, то порядок числа равен 6. Например, $s=200, t=50000 \implies st = 10^7 \implies 0,1st = 10^6$.

Ответ: 5 или 6.