Страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

39.17 Известно, что порядок числа $m$ равен $-4$, а порядок числа $n$ равен 3. Каким может быть порядок числа:

а) $nm$;

б) $m + n$;

в) $10n + m$;

г) $0.1m + 10n$?

По определению, порядок числа — это показатель степени 10 в стандартной записи этого числа. Стандартная запись числа $x$ имеет вид $c \cdot 10^p$, где $1 \le |c| < 10$, а $p$ — целое число. Число $p$ является порядком числа $x$.

Из условия задачи нам известно:

• Порядок числа $m$ равен -4. Это означает, что $m$ можно представить в виде $m = a \cdot 10^{-4}$, где $1 \le |a| < 10$. Следовательно, диапазон для модуля числа $m$ таков: $10^{-4} \le |m| < 10^{-3}$.
• Порядок числа $n$ равен 3. Это означает, что $n$ можно представить в виде $n = b \cdot 10^{3}$, где $1 \le |b| < 10$. Следовательно, диапазон для модуля числа $n$ таков: $10^{3} \le |n| < 10^{4}$.

Рассмотрим каждый случай.

а) nm

Найдем произведение чисел $n$ и $m$:

$nm = (a \cdot 10^{-4}) \cdot (b \cdot 10^{3}) = (a \cdot b) \cdot 10^{-4+3} = (a \cdot b) \cdot 10^{-1}$.

Теперь нужно определить, в каком диапазоне находится произведение мантисс $a \cdot b$. Так как $1 \le |a| < 10$ и $1 \le |b| < 10$, то $1 \cdot 1 \le |a \cdot b| < 10 \cdot 10$, то есть $1 \le |a \cdot b| < 100$.

Рассмотрим два возможных случая для значения $a \cdot b$:

1. Если $1 \le |a \cdot b| < 10$, то число $nm = (a \cdot b) \cdot 10^{-1}$ уже записано в стандартном виде. Его порядок равен -1. Например, если $m = 2 \cdot 10^{-4}$ и $n = 3 \cdot 10^{3}$, то $nm = 6 \cdot 10^{-1}$, порядок равен -1.
2. Если $10 \le |a \cdot b| < 100$, то для приведения к стандартному виду нужно преобразовать мантиссу. Мы можем записать $a \cdot b = c \cdot 10^{1}$, где $1 \le |c| < 10$. Тогда $nm = (c \cdot 10^{1}) \cdot 10^{-1} = c \cdot 10^{1-1} = c \cdot 10^{0}$. В этом случае порядок равен 0. Например, если $m = 5 \cdot 10^{-4}$ и $n = 4 \cdot 10^{3}$, то $nm = 20 \cdot 10^{-1} = (2 \cdot 10^{1}) \cdot 10^{-1} = 2 \cdot 10^{0}$, порядок равен 0.

Таким образом, порядок произведения $nm$ может быть равен -1 или 0.

Ответ: -1 или 0.

б) m + n

Поскольку порядок числа $n$ (равный 3) намного больше порядка числа $m$ (равного -4), то $|n|$ значительно больше $|m|$. При сложении таких чисел, как правило, порядок суммы равен порядку большего слагаемого. В данном случае это порядок числа $n$, то есть 3.

Однако, рассмотрим крайние (граничные) случаи. Диапазон для $|m+n|$ определяется неравенством $|n| - |m| \le |m+n| \le |n| + |m|$.

$10^3 - 10^{-3} < |m+n| < 10^4 + 10^{-3}$

$999,999 < |m+n| < 10000,001$

Это можно записать как $9,99999 \cdot 10^2 < |m+n| < 1,0000001 \cdot 10^4$.

Из этого диапазона видно, что порядок числа $m+n$ может принимать следующие значения:

• Порядок 2: если $n$ близко к $10^3$ и имеет противоположный знак с $m$. Например, $n = 1 \cdot 10^3$, а $m = -5 \cdot 10^{-4}$. Тогда $m+n = 1000 - 0,0005 = 999,9995 = 9,999995 \cdot 10^2$. Порядок равен 2.
• Порядок 3: это наиболее частый случай. Например, $n = 5 \cdot 10^3$ и $m = 2 \cdot 10^{-4}$. Тогда $m+n = 5000,0002 = 5,0000002 \cdot 10^3$. Порядок равен 3.
• Порядок 4: если $n$ близко к $10^4$ и имеет тот же знак, что и $m$. Например, $n = 9,9999 \cdot 10^3$, а $m = 5 \cdot 10^{-4}$. Тогда $m+n = 9999,9 + 0,0005 = 9999,9005$. Его порядок все еще 3. Но если взять $n$ еще ближе к $10^4$, например $n = 9,999999 \cdot 10^3$, то $m+n = 9999,999+0,0005 = 10000,0004 = 1,00000004 \cdot 10^4$. Порядок равен 4.

Ответ: 2, 3 или 4.

в) 10n + m

Сначала определим порядок числа $10n$.

$10n = 10 \cdot (b \cdot 10^3) = b \cdot 10^4$.

Так как $1 \le |b| < 10$, то число $10n$ записано в стандартном виде, и его порядок равен 4. Мы складываем число $10n$ с порядком 4 и число $m$ с порядком -4. Доминирующим слагаемым является $10n$. Таким образом, порядок суммы, скорее всего, будет 4.

Проверим граничные случаи. Диапазон для $|10n|$: $10^4 \le |10n| < 10^5$.

$|10n| - |m| \le |10n+m| \le |10n| + |m|$

$10^4 - 10^{-3} < |10n+m| < 10^5 + 10^{-3}$

$9999,999 < |10n+m| < 100000,001$

$9,999999 \cdot 10^3 < |10n+m| < 1,00000001 \cdot 10^5$.

Из этого диапазона видно, что порядок числа $10n+m$ может быть 3, 4 или 5.

• Порядок 3: если $10n$ близко к $10^4$ и имеет противоположный знак с $m$. Например, $n = 1 \cdot 10^3$, тогда $10n=1 \cdot 10^4$. Пусть $m = -2 \cdot 10^{-4}$. Сумма $10000-0,0002 = 9999,9998 = 9,9999998 \cdot 10^3$. Порядок равен 3.
• Порядок 4: наиболее вероятный случай. Например, $n = 5 \cdot 10^3$, тогда $10n = 5 \cdot 10^4$. Сумма $50000+m$ будет иметь порядок 4.
• Порядок 5: если $10n$ близко к $10^5$ и имеет тот же знак, что и $m$. Например, $n = 9,9999999 \cdot 10^3$, тогда $10n = 99999,999$. Пусть $m = 2 \cdot 10^{-4}=0,0002$. Сумма $99999,999+0,0002 = 100000,0001 = 1,000000001 \cdot 10^5$. Порядок равен 5.

Ответ: 3, 4 или 5.

г) 0,1m + 10n

Определим порядки слагаемых. Порядок $10n$ равен 4 (как в пункте в).

$0,1m = 0,1 \cdot (a \cdot 10^{-4}) = a \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-4} = a \cdot 10^{-5}$.

Так как $1 \le |a| < 10$, то порядок числа $0,1m$ равен -5.

Складываются числа с порядками 4 и -5. Доминирующее слагаемое — $10n$ с порядком 4. Анализ полностью аналогичен пункту в), так как слагаемое $0,1m$ еще меньше, чем $m$, и его влияние на сумму еще меньше.

Диапазон для $|0,1m|$: $10^{-5} \le |0,1m| < 10^{-4}$.

$|10n| - |0,1m| \le |10n+0,1m| \le |10n| + |0,1m|$

$10^4 - 10^{-4} < |10n+0,1m| < 10^5 + 10^{-4}$

$9999,9999 < |10n+0,1m| < 100000,0001$

$9,9999999 \cdot 10^3 < |10n+0,1m| < 1,000000001 \cdot 10^5$.

Как и в предыдущем пункте, возможные порядки суммы — это 3, 4 и 5. Примеры строятся аналогично.

Ответ: 3, 4 или 5.

39.18 Известно, что порядок числа $s$ равен 2, а порядок числа $t$ равен 4.

Каким может быть порядок числа:

а) $st$;

б) $100s + t$;

в) $0,01s + t$;

г) $0,1st$?

а) st

Порядок числа — это показатель степени 10 в его стандартной записи. Порядок числа $s$ равен 2, что означает $10^2 \le |s| < 10^3$. Порядок числа $t$ равен 4, что означает $10^4 \le |t| < 10^5$. Для определённости будем рассматривать положительные $s$ и $t$.Тогда $s = a \cdot 10^2$ и $t = b \cdot 10^4$, где $1 \le a < 10$ и $1 \le b < 10$.Их произведение $st = (a \cdot 10^2)(b \cdot 10^4) = ab \cdot 10^6$.Произведение мантисс $ab$ находится в диапазоне $1 \cdot 1 \le ab < 10 \cdot 10$, то есть $1 \le ab < 100$.Возможны два случая для порядка числа $st$:1. Если $1 \le ab < 10$, порядок равен 6. Например, если $s=2 \cdot 10^2$ и $t=3 \cdot 10^4$, то $ab=6$, и $st = 6 \cdot 10^6$.2. Если $10 \le ab < 100$, выражение преобразуется к $st = (\frac{ab}{10}) \cdot 10^7$, и порядок равен 7. Например, если $s=4 \cdot 10^2$ и $t=5 \cdot 10^4$, то $ab=20$, и $st = 20 \cdot 10^6 = 2 \cdot 10^7$.

Ответ: 6 или 7.

б) 100s + t

По условию, $s = a \cdot 10^2$ и $t = b \cdot 10^4$, где $1 \le a, b < 10$. Будем считать $s$ и $t$ положительными.Тогда выражение $100s + t$ равно $100(a \cdot 10^2) + b \cdot 10^4 = a \cdot 10^4 + b \cdot 10^4 = (a+b) \cdot 10^4$.Сумма мантисс $a+b$ находится в диапазоне $1+1 \le a+b < 10+10$, то есть $2 \le a+b < 20$.Возможны два случая для порядка суммы:1. Если $2 \le a+b < 10$, порядок равен 4. Например, если $s=2 \cdot 10^2$ и $t=3 \cdot 10^4$, то $a+b=5$, и сумма равна $5 \cdot 10^4$.2. Если $10 \le a+b < 20$, выражение преобразуется к $(\frac{a+b}{10}) \cdot 10^5$, и порядок равен 5. Например, если $s=5 \cdot 10^2$ и $t=6 \cdot 10^4$, то $a+b=11$, и сумма равна $11 \cdot 10^4 = 1.1 \cdot 10^5$.

Ответ: 4 или 5.

в) 0,01s + t

По условию, $10^2 \le s < 10^3$ и $10^4 \le t < 10^5$ (считая числа положительными).В выражении $0,01s+t$ слагаемое $t$ имеет порядок 4, а слагаемое $0,01s$ находится в диапазоне $[1, 10)$, то есть имеет порядок 0. В сумме чисел с сильно различающимися порядками итоговый порядок определяется большим слагаемым.Оценим диапазон суммы:Нижняя граница: $0,01s+t \ge 0,01(100) + 10000 = 1+10000=10001 = 1.0001 \cdot 10^4$. Порядок 4.Верхняя граница: $0,01s+t < 0,01(1000) + 100000 = 10+100000=100010 = 1.0001 \cdot 10^5$.Сумма находится в диапазоне $[10001, 100010)$.1. Если сумма меньше $10^5$, её порядок равен 4. Например, $s=100, t=10000 \implies 1+10000=10001$. Порядок 4.2. Если сумма больше или равна $10^5$, её порядок равен 5. Например, $s=100, t=99999 \implies 1+99999=100000=1 \cdot 10^5$. Порядок 5.

Ответ: 4 или 5.

г) 0,1st

Как было установлено в пункте а), произведение $st$ находится в диапазоне $10^6 \le st < 10^8$.Умножим этот диапазон на 0,1, чтобы найти диапазон для $0,1st$:$0,1 \cdot 10^6 \le 0,1st < 0,1 \cdot 10^8$, что равносильно $10^5 \le 0,1st < 10^7$.Значение $0,1st$ находится в диапазоне $[10^5, 10^7)$.1. Если $10^5 \le 0,1st < 10^6$, то порядок числа равен 5. Например, $s=200, t=10000 \implies st = 2 \cdot 10^6 \implies 0,1st = 2 \cdot 10^5$.2. Если $10^6 \le 0,1st < 10^7$, то порядок числа равен 6. Например, $s=200, t=50000 \implies st = 10^7 \implies 0,1st = 10^6$.

Ответ: 5 или 6.

39.19 Найдите порядок произведения, частного и суммы чисел:

а) $3,252 \cdot 10^9$ и $2,165 \cdot 10^9$;

б) $4,435 \cdot 10^{-7}$ и $7,098 \cdot 10^{-7}$;

в) $8,389 \cdot 10^5$ и $9,762 \cdot 10^4$;

г) $7,987 \cdot 10^{-6}$ и $3,157 \cdot 10^{-5}$.

Порядком числа, записанного в стандартном виде $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, называется показатель степени $n$. Чтобы найти порядок результата, необходимо выполнить действие (умножение, деление, сложение), а затем привести полученное число к стандартному виду и определить его показатель степени.

а) Даны числа $3,252 \cdot 10^9$ и $2,165 \cdot 10^9$.

Произведение:
$(3,252 \cdot 10^9) \cdot (2,165 \cdot 10^9) = (3,252 \cdot 2,165) \cdot 10^{9+9} = 7,04058 \cdot 10^{18}$.
Мантисса $7,04058$ находится в диапазоне $[1, 10)$, следовательно, порядок произведения равен $18$.

Частное:
$\frac{3,252 \cdot 10^9}{2,165 \cdot 10^9} = \frac{3,252}{2,165} \cdot 10^{9-9} \approx 1,502 \cdot 10^0$.
Мантисса $\approx 1,502$ находится в диапазоне $[1, 10)$, следовательно, порядок частного равен $0$.

Сумма:
$3,252 \cdot 10^9 + 2,165 \cdot 10^9 = (3,252 + 2,165) \cdot 10^9 = 5,417 \cdot 10^9$.
Мантисса $5,417$ находится в диапазоне $[1, 10)$, следовательно, порядок суммы равен $9$.

Ответ: порядок произведения — $18$; порядок частного — $0$; порядок суммы — $9$.

б) Даны числа $4,435 \cdot 10^{-7}$ и $7,098 \cdot 10^{-7}$.

Произведение:
$(4,435 \cdot 10^{-7}) \cdot (7,098 \cdot 10^{-7}) = (4,435 \cdot 7,098) \cdot 10^{-7+(-7)} = 31,48063 \cdot 10^{-14}$.
Приводим к стандартному виду: $31,48063 \cdot 10^{-14} = (3,148063 \cdot 10^1) \cdot 10^{-14} = 3,148063 \cdot 10^{-13}$.
Порядок произведения равен $-13$.

Частное:
$\frac{4,435 \cdot 10^{-7}}{7,098 \cdot 10^{-7}} = \frac{4,435}{7,098} \cdot 10^{-7-(-7)} \approx 0,6248 \cdot 10^0$.
Приводим к стандартному виду: $0,6248 = 6,248 \cdot 10^{-1}$.
Порядок частного равен $-1$.

Сумма:
$4,435 \cdot 10^{-7} + 7,098 \cdot 10^{-7} = (4,435 + 7,098) \cdot 10^{-7} = 11,533 \cdot 10^{-7}$.
Приводим к стандартному виду: $11,533 \cdot 10^{-7} = (1,1533 \cdot 10^1) \cdot 10^{-7} = 1,1533 \cdot 10^{-6}$.
Порядок суммы равен $-6$.

Ответ: порядок произведения — $-13$; порядок частного — $-1$; порядок суммы — $-6$.

в) Даны числа $8,389 \cdot 10^5$ и $9,762 \cdot 10^4$.

Произведение:
$(8,389 \cdot 10^5) \cdot (9,762 \cdot 10^4) = (8,389 \cdot 9,762) \cdot 10^{5+4} \approx 81,89 \cdot 10^9$.
Приводим к стандартному виду: $81,89 \cdot 10^9 = (8,189 \cdot 10^1) \cdot 10^9 = 8,189 \cdot 10^{10}$.
Порядок произведения равен $10$.

Частное:
$\frac{8,389 \cdot 10^5}{9,762 \cdot 10^4} = \frac{8,389}{9,762} \cdot 10^{5-4} \approx 0,859 \cdot 10^1 = 8,59 \cdot 10^0$.
Мантисса $\approx 8,59$ находится в диапазоне $[1, 10)$, следовательно, порядок частного равен $0$.

Сумма:
$8,389 \cdot 10^5 + 9,762 \cdot 10^4 = 8,389 \cdot 10^5 + 0,9762 \cdot 10^5 = (8,389 + 0,9762) \cdot 10^5 = 9,3652 \cdot 10^5$.
Мантисса $9,3652$ находится в диапазоне $[1, 10)$, следовательно, порядок суммы равен $5$.

Ответ: порядок произведения — $10$; порядок частного — $0$; порядок суммы — $5$.

г) Даны числа $7,987 \cdot 10^{-6}$ и $3,157 \cdot 10^{-5}$.

Произведение:
$(7,987 \cdot 10^{-6}) \cdot (3,157 \cdot 10^{-5}) = (7,987 \cdot 3,157) \cdot 10^{-6+(-5)} \approx 25,21 \cdot 10^{-11}$.
Приводим к стандартному виду: $25,21 \cdot 10^{-11} = (2,521 \cdot 10^1) \cdot 10^{-11} = 2,521 \cdot 10^{-10}$.
Порядок произведения равен $-10$.

Частное:
$\frac{7,987 \cdot 10^{-6}}{3,157 \cdot 10^{-5}} = \frac{7,987}{3,157} \cdot 10^{-6-(-5)} \approx 2,53 \cdot 10^{-1}$.
Мантисса $\approx 2,53$ находится в диапазоне $[1, 10)$, следовательно, порядок частного равен $-1$.

Сумма:
$7,987 \cdot 10^{-6} + 3,157 \cdot 10^{-5} = 0,7987 \cdot 10^{-5} + 3,157 \cdot 10^{-5} = (0,7987 + 3,157) \cdot 10^{-5} = 3,9557 \cdot 10^{-5}$.
Мантисса $3,9557$ находится в диапазоне $[1, 10)$, следовательно, порядок суммы равен $-5$.

Ответ: порядок произведения — $-10$; порядок частного — $-1$; порядок суммы — $-5$.

40.1 В записи * Ω ■ вместо * можно поставить $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$ или $\sqrt{5}$, вместо Ω поставить знак $\le$ или знак $\ge$, а вместо ■ поставить 1,5, 1,7 или 2,3. Будут получаться различные неравенства, например: $\sqrt{2} \ge 1,5$, $\sqrt{5} \le 2,3$ и т. п.

а) Нарисуйте дерево вариантов составления таких неравенств.

б) Сколько всего неравенств можно составить?

Какова вероятность того, что случайным образом выбранное неравенство окажется:

в) со знаком $\le$ и будет при этом неверным;

г) со знаком $\le$ и будет при этом верным?

а)

Дерево вариантов представляет собой структуру, где каждый уровень соответствует одному из выборов для составления неравенства. Первый уровень — выбор числа со знаком корня (*), второй — выбор знака неравенства (Ω), третий — выбор десятичной дроби (■). Каждая конечная ветвь (лист) дерева соответствует одному из возможных неравенств.

• $ \sqrt{2} $
  • $ \le $
    • 1,5 (Неравенство: $ \sqrt{2} \le 1,5 $)
    • 1,7 (Неравенство: $ \sqrt{2} \le 1,7 $)
    • 2,3 (Неравенство: $ \sqrt{2} \le 2,3 $)
  • $ \ge $
    • 1,5 (Неравенство: $ \sqrt{2} \ge 1,5 $)
    • 1,7 (Неравенство: $ \sqrt{2} \ge 1,7 $)
    • 2,3 (Неравенство: $ \sqrt{2} \ge 2,3 $)
• $ \sqrt{3} $
  • $ \le $
    • 1,5 (Неравенство: $ \sqrt{3} \le 1,5 $)
    • 1,7 (Неравенство: $ \sqrt{3} \le 1,7 $)
    • 2,3 (Неравенство: $ \sqrt{3} \le 2,3 $)
  • $ \ge $
    • 1,5 (Неравенство: $ \sqrt{3} \ge 1,5 $)
    • 1,7 (Неравенство: $ \sqrt{3} \ge 1,7 $)
    • 2,3 (Неравенство: $ \sqrt{3} \ge 2,3 $)
• $ \sqrt{5} $
  • $ \le $
    • 1,5 (Неравенство: $ \sqrt{5} \le 1,5 $)
    • 1,7 (Неравенство: $ \sqrt{5} \le 1,7 $)
    • 2,3 (Неравенство: $ \sqrt{5} \le 2,3 $)
  • $ \ge $
    • 1,5 (Неравенство: $ \sqrt{5} \ge 1,5 $)
    • 1,7 (Неравенство: $ \sqrt{5} \ge 1,7 $)
    • 2,3 (Неравенство: $ \sqrt{5} \ge 2,3 $)

Ответ: Дерево вариантов представлено выше.

б)

Для нахождения общего количества неравенств воспользуемся правилом умножения в комбинаторике. У нас есть три независимых выбора:

• Выбор числа вместо *: 3 варианта ($ \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5} $)
• Выбор знака Ω: 2 варианта ($ \le $ или $ \ge $)
• Выбор числа вместо ■: 3 варианта (1,5; 1,7; 2,3)

Общее число возможных неравенств $N$ равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$ N = 3 \times 2 \times 3 = 18 $

Ответ: 18.

в)

Чтобы найти вероятность, сначала определим, какие из неравенств со знаком $ \le $ являются неверными. Для точного сравнения возведем обе части неравенств в квадрат:

$ (\sqrt{2})^2 = 2 $; $ (\sqrt{3})^2 = 3 $; $ (\sqrt{5})^2 = 5 $

$ (1,5)^2 = 2,25 $; $ (1,7)^2 = 2,89 $; $ (2,3)^2 = 5,29 $

Теперь проверим все неравенства со знаком $ \le $ (всего их $ 3 \times 1 \times 3 = 9 $):

• $ \sqrt{2} \le 1,5 $ (верно, так как $ 2 < 2,25 $)
• $ \sqrt{2} \le 1,7 $ (верно, так как $ 2 < 2,89 $)
• $ \sqrt{2} \le 2,3 $ (верно, так как $ 2 < 5,29 $)
• $ \sqrt{3} \le 1,5 $ (неверно, так как $ 3 > 2,25 $)
• $ \sqrt{3} \le 1,7 $ (неверно, так как $ 3 > 2,89 $)
• $ \sqrt{3} \le 2,3 $ (верно, так как $ 3 < 5,29 $)
• $ \sqrt{5} \le 1,5 $ (неверно, так как $ 5 > 2,25 $)
• $ \sqrt{5} \le 1,7 $ (неверно, так как $ 5 > 2,89 $)
• $ \sqrt{5} \le 2,3 $ (верно, так как $ 5 < 5,29 $)

Число неравенств со знаком $ \le $, которые являются неверными, равно 4. Это благоприятные исходы ($m=4$). Общее число всех возможных неравенств — 18 ($N=18$).

Вероятность $P$ того, что случайно выбранное неравенство будет со знаком $ \le $ и неверным, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$ P = \frac{m}{N} = \frac{4}{18} = \frac{2}{9} $

Ответ: $ \frac{2}{9} $.

г)

Используем анализ из предыдущего пункта. Нас интересуют неравенства со знаком $ \le $, которые являются верными. Из списка выше видно, что таких неравенств 5 (три с $ \sqrt{2} $, одно с $ \sqrt{3} $ и одно с $ \sqrt{5} $). Это число благоприятных исходов ($m=5$).

Общее число всех возможных неравенств по-прежнему 18 ($N=18$).

Вероятность $P$ того, что случайно выбранное неравенство будет со знаком $ \le $ и верным, равна:

$ P = \frac{m}{N} = \frac{5}{18} $

Ответ: $ \frac{5}{18} $.

40.2 Функция $y = f(x)$ задана равенством $y = \sqrt{ax + b}$. Коэффициент $a$ произвольно выбирают из чисел -2, -1, 1, 2 или 3, а слагаемое $b$ — из чисел 2, 3, 4 или 5.

а) Нарисуйте дерево вариантов составления функций указанного вида.

б) Сколько всего функций такого вида можно получить?

Какова вероятность того, что случайным образом выбранная функция будет:

в) возрастающей;

г) убывающей?

а) Дерево вариантов можно представить в виде иерархической структуры. Первый уровень — это выбор коэффициента $a$, второй — выбор слагаемого $b$. Для каждого значения $a$ существует четыре возможных значения $b$.

• При $a = -2$:
  • $b=2 \implies y = \sqrt{-2x + 2}$
  • $b=3 \implies y = \sqrt{-2x + 3}$
  • $b=4 \implies y = \sqrt{-2x + 4}$
  • $b=5 \implies y = \sqrt{-2x + 5}$
• При $a = -1$:
  • $b=2 \implies y = \sqrt{-x + 2}$
  • $b=3 \implies y = \sqrt{-x + 3}$
  • $b=4 \implies y = \sqrt{-x + 4}$
  • $b=5 \implies y = \sqrt{-x + 5}$
• При $a = 1$:
  • $b=2 \implies y = \sqrt{x + 2}$
  • $b=3 \implies y = \sqrt{x + 3}$
  • $b=4 \implies y = \sqrt{x + 4}$
  • $b=5 \implies y = \sqrt{x + 5}$
• При $a = 2$:
  • $b=2 \implies y = \sqrt{2x + 2}$
  • $b=3 \implies y = \sqrt{2x + 3}$
  • $b=4 \implies y = \sqrt{2x + 4}$
  • $b=5 \implies y = \sqrt{2x + 5}$
• При $a = 3$:
  • $b=2 \implies y = \sqrt{3x + 2}$
  • $b=3 \implies y = \sqrt{3x + 3}$
  • $b=4 \implies y = \sqrt{3x + 4}$
  • $b=5 \implies y = \sqrt{3x + 5}$

Ответ: Дерево вариантов представлено в виде списка выше.

б) Для выбора коэффициента $a$ есть 5 вариантов (числа -2, -1, 1, 2, 3). Для выбора слагаемого $b$ есть 4 варианта (числа 2, 3, 4, 5). Поскольку выбор $a$ и $b$ независим, общее количество возможных функций находится по правилу умножения.
Количество функций $N = (\text{число вариантов для } a) \cdot (\text{число вариантов для } b) = 5 \cdot 4 = 20$.
Ответ: 20.

в) Функция $y = \sqrt{ax+b}$ является композицией двух функций: линейной $u(x) = ax+b$ и функции квадратного корня $g(u) = \sqrt{u}$. Функция $g(u) = \sqrt{u}$ является возрастающей на всей своей области определения. Поэтому характер монотонности функции $y = \sqrt{ax+b}$ совпадает с характером монотонности подкоренного выражения $ax+b$.
Линейная функция $ax+b$ возрастает, если ее угловой коэффициент $a$ положителен ($a > 0$).
Из предложенного набора для $a$ $\{-2, -1, 1, 2, 3\}$ положительными являются три числа: 1, 2, 3.
Для каждого из этих 3-х значений $a$ можно выбрать любое из 4-х значений $b$.
Таким образом, число благоприятных исходов (возрастающих функций) равно $3 \cdot 4 = 12$.
Общее число исходов равно 20 (из пункта б).
Вероятность того, что случайно выбранная функция будет возрастающей, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(\text{возрастающая}) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

г) Аналогично пункту в), функция $y = \sqrt{ax+b}$ будет убывающей, если подкоренное выражение $ax+b$ будет убывающим.
Линейная функция $ax+b$ убывает, если ее угловой коэффициент $a$ отрицателен ($a < 0$).
Из предложенного набора для $a$ $\{-2, -1, 1, 2, 3\}$ отрицательными являются два числа: -2, -1.
Для каждого из этих 2-х значений $a$ можно выбрать любое из 4-х значений $b$.
Таким образом, число благоприятных исходов (убывающих функций) равно $2 \cdot 4 = 8$.
Общее число исходов равно 20.
Вероятность того, что случайно выбранная функция будет убывающей, равна: $P(\text{убывающая}) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$.

40.3 Выбрали произвольное целое число, которое является решением неравенства $3 < 2x < 43$. Какова вероятность того, что выбранное число будет:

а) чётным;

б) кратным трём;

в) кратным пяти;

г) двузначным?

Для начала найдём множество целых чисел, которые являются решением неравенства $3 < 2x < 43$. Для этого разделим все части неравенства на 2:

$ \frac{3}{2} < x < \frac{43}{2} $

$ 1.5 < x < 21.5 $

Поскольку $x$ — целое число, то его возможные значения принадлежат множеству {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21}.

Общее количество возможных целых решений (общее число элементарных исходов) $N$ равно количеству чисел в этом множестве: $ N = 21 - 2 + 1 = 20 $.

Вероятность события вычисляется по классической формуле $ P = \frac{M}{N} $, где $M$ — количество благоприятных исходов, а $N$ — общее количество всех равновозможных исходов.

а) чётным;

Благоприятными исходами являются чётные числа из найденного множества: {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20}.

Количество благоприятных исходов $ M_а = 10 $.

Вероятность того, что выбранное число будет чётным, равна: $ P_а = \frac{M_а}{N} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2} $.

Ответ: $ \frac{1}{2} $

б) кратным трём;

Благоприятными исходами являются числа, кратные трём, из найденного множества: {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21}.

Количество благоприятных исходов $ M_б = 7 $.

Вероятность того, что выбранное число будет кратным трём, равна: $ P_б = \frac{M_б}{N} = \frac{7}{20} $.

Ответ: $ \frac{7}{20} $

в) кратным пяти;

Благоприятными исходами являются числа, кратные пяти, из найденного множества: {5, 10, 15, 20}.

Количество благоприятных исходов $ M_в = 4 $.

Вероятность того, что выбранное число будет кратным пяти, равна: $ P_в = \frac{M_в}{N} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} $.

Ответ: $ \frac{1}{5} $

г) двузначным?

Благоприятными исходами являются двузначные числа из найденного множества: {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21}.

Количество благоприятных исходов можно посчитать как $ M_г = 21 - 10 + 1 = 12 $.

Вероятность того, что выбранное число будет двузначным, равна: $ P_г = \frac{M_г}{N} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} $.

Ответ: $ \frac{3}{5} $