Номер 39.17, страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 39. Стандартный вид числа. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 39.17, страница 213.

Условие.

39.17 Известно, что порядок числа $m$ равен $-4$, а порядок числа $n$ равен 3. Каким может быть порядок числа:

а) $nm$;

б) $m + n$;

в) $10n + m$;

г) $0.1m + 10n$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

По определению, порядок числа — это показатель степени 10 в стандартной записи этого числа. Стандартная запись числа $x$ имеет вид $c \cdot 10^p$, где $1 \le |c| < 10$, а $p$ — целое число. Число $p$ является порядком числа $x$.

Из условия задачи нам известно:

• Порядок числа $m$ равен -4. Это означает, что $m$ можно представить в виде $m = a \cdot 10^{-4}$, где $1 \le |a| < 10$. Следовательно, диапазон для модуля числа $m$ таков: $10^{-4} \le |m| < 10^{-3}$.
• Порядок числа $n$ равен 3. Это означает, что $n$ можно представить в виде $n = b \cdot 10^{3}$, где $1 \le |b| < 10$. Следовательно, диапазон для модуля числа $n$ таков: $10^{3} \le |n| < 10^{4}$.

Рассмотрим каждый случай.

а) nm

Найдем произведение чисел $n$ и $m$:

$nm = (a \cdot 10^{-4}) \cdot (b \cdot 10^{3}) = (a \cdot b) \cdot 10^{-4+3} = (a \cdot b) \cdot 10^{-1}$.

Теперь нужно определить, в каком диапазоне находится произведение мантисс $a \cdot b$. Так как $1 \le |a| < 10$ и $1 \le |b| < 10$, то $1 \cdot 1 \le |a \cdot b| < 10 \cdot 10$, то есть $1 \le |a \cdot b| < 100$.

Рассмотрим два возможных случая для значения $a \cdot b$:

1. Если $1 \le |a \cdot b| < 10$, то число $nm = (a \cdot b) \cdot 10^{-1}$ уже записано в стандартном виде. Его порядок равен -1. Например, если $m = 2 \cdot 10^{-4}$ и $n = 3 \cdot 10^{3}$, то $nm = 6 \cdot 10^{-1}$, порядок равен -1.
2. Если $10 \le |a \cdot b| < 100$, то для приведения к стандартному виду нужно преобразовать мантиссу. Мы можем записать $a \cdot b = c \cdot 10^{1}$, где $1 \le |c| < 10$. Тогда $nm = (c \cdot 10^{1}) \cdot 10^{-1} = c \cdot 10^{1-1} = c \cdot 10^{0}$. В этом случае порядок равен 0. Например, если $m = 5 \cdot 10^{-4}$ и $n = 4 \cdot 10^{3}$, то $nm = 20 \cdot 10^{-1} = (2 \cdot 10^{1}) \cdot 10^{-1} = 2 \cdot 10^{0}$, порядок равен 0.

Таким образом, порядок произведения $nm$ может быть равен -1 или 0.

Ответ: -1 или 0.

б) m + n

Поскольку порядок числа $n$ (равный 3) намного больше порядка числа $m$ (равного -4), то $|n|$ значительно больше $|m|$. При сложении таких чисел, как правило, порядок суммы равен порядку большего слагаемого. В данном случае это порядок числа $n$, то есть 3.

Однако, рассмотрим крайние (граничные) случаи. Диапазон для $|m+n|$ определяется неравенством $|n| - |m| \le |m+n| \le |n| + |m|$.

$10^3 - 10^{-3} < |m+n| < 10^4 + 10^{-3}$

$999,999 < |m+n| < 10000,001$

Это можно записать как $9,99999 \cdot 10^2 < |m+n| < 1,0000001 \cdot 10^4$.

Из этого диапазона видно, что порядок числа $m+n$ может принимать следующие значения:

• Порядок 2: если $n$ близко к $10^3$ и имеет противоположный знак с $m$. Например, $n = 1 \cdot 10^3$, а $m = -5 \cdot 10^{-4}$. Тогда $m+n = 1000 - 0,0005 = 999,9995 = 9,999995 \cdot 10^2$. Порядок равен 2.
• Порядок 3: это наиболее частый случай. Например, $n = 5 \cdot 10^3$ и $m = 2 \cdot 10^{-4}$. Тогда $m+n = 5000,0002 = 5,0000002 \cdot 10^3$. Порядок равен 3.
• Порядок 4: если $n$ близко к $10^4$ и имеет тот же знак, что и $m$. Например, $n = 9,9999 \cdot 10^3$, а $m = 5 \cdot 10^{-4}$. Тогда $m+n = 9999,9 + 0,0005 = 9999,9005$. Его порядок все еще 3. Но если взять $n$ еще ближе к $10^4$, например $n = 9,999999 \cdot 10^3$, то $m+n = 9999,999+0,0005 = 10000,0004 = 1,00000004 \cdot 10^4$. Порядок равен 4.

Ответ: 2, 3 или 4.

в) 10n + m

Сначала определим порядок числа $10n$.

$10n = 10 \cdot (b \cdot 10^3) = b \cdot 10^4$.

Так как $1 \le |b| < 10$, то число $10n$ записано в стандартном виде, и его порядок равен 4. Мы складываем число $10n$ с порядком 4 и число $m$ с порядком -4. Доминирующим слагаемым является $10n$. Таким образом, порядок суммы, скорее всего, будет 4.

Проверим граничные случаи. Диапазон для $|10n|$: $10^4 \le |10n| < 10^5$.

$|10n| - |m| \le |10n+m| \le |10n| + |m|$

$10^4 - 10^{-3} < |10n+m| < 10^5 + 10^{-3}$

$9999,999 < |10n+m| < 100000,001$

$9,999999 \cdot 10^3 < |10n+m| < 1,00000001 \cdot 10^5$.

Из этого диапазона видно, что порядок числа $10n+m$ может быть 3, 4 или 5.

• Порядок 3: если $10n$ близко к $10^4$ и имеет противоположный знак с $m$. Например, $n = 1 \cdot 10^3$, тогда $10n=1 \cdot 10^4$. Пусть $m = -2 \cdot 10^{-4}$. Сумма $10000-0,0002 = 9999,9998 = 9,9999998 \cdot 10^3$. Порядок равен 3.
• Порядок 4: наиболее вероятный случай. Например, $n = 5 \cdot 10^3$, тогда $10n = 5 \cdot 10^4$. Сумма $50000+m$ будет иметь порядок 4.
• Порядок 5: если $10n$ близко к $10^5$ и имеет тот же знак, что и $m$. Например, $n = 9,9999999 \cdot 10^3$, тогда $10n = 99999,999$. Пусть $m = 2 \cdot 10^{-4}=0,0002$. Сумма $99999,999+0,0002 = 100000,0001 = 1,000000001 \cdot 10^5$. Порядок равен 5.

Ответ: 3, 4 или 5.

г) 0,1m + 10n

Определим порядки слагаемых. Порядок $10n$ равен 4 (как в пункте в).

$0,1m = 0,1 \cdot (a \cdot 10^{-4}) = a \cdot 10^{-1} \cdot 10^{-4} = a \cdot 10^{-5}$.

Так как $1 \le |a| < 10$, то порядок числа $0,1m$ равен -5.

Складываются числа с порядками 4 и -5. Доминирующее слагаемое — $10n$ с порядком 4. Анализ полностью аналогичен пункту в), так как слагаемое $0,1m$ еще меньше, чем $m$, и его влияние на сумму еще меньше.

Диапазон для $|0,1m|$: $10^{-5} \le |0,1m| < 10^{-4}$.

$|10n| - |0,1m| \le |10n+0,1m| \le |10n| + |0,1m|$

$10^4 - 10^{-4} < |10n+0,1m| < 10^5 + 10^{-4}$

$9999,9999 < |10n+0,1m| < 100000,0001$

$9,9999999 \cdot 10^3 < |10n+0,1m| < 1,000000001 \cdot 10^5$.

Как и в предыдущем пункте, возможные порядки суммы — это 3, 4 и 5. Примеры строятся аналогично.

Ответ: 3, 4 или 5.