Номер 40.2, страница 213, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Параграф 40. Комбинаторные и вероятностные задачи к главе 5. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 40.2, страница 213.

Условие.

40.2 Функция $y = f(x)$ задана равенством $y = \sqrt{ax + b}$. Коэффициент $a$ произвольно выбирают из чисел -2, -1, 1, 2 или 3, а слагаемое $b$ — из чисел 2, 3, 4 или 5.

а) Нарисуйте дерево вариантов составления функций указанного вида.

б) Сколько всего функций такого вида можно получить?

Какова вероятность того, что случайным образом выбранная функция будет:

в) возрастающей;

г) убывающей?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дерево вариантов можно представить в виде иерархической структуры. Первый уровень — это выбор коэффициента $a$, второй — выбор слагаемого $b$. Для каждого значения $a$ существует четыре возможных значения $b$.

• При $a = -2$:
  • $b=2 \implies y = \sqrt{-2x + 2}$
  • $b=3 \implies y = \sqrt{-2x + 3}$
  • $b=4 \implies y = \sqrt{-2x + 4}$
  • $b=5 \implies y = \sqrt{-2x + 5}$
• При $a = -1$:
  • $b=2 \implies y = \sqrt{-x + 2}$
  • $b=3 \implies y = \sqrt{-x + 3}$
  • $b=4 \implies y = \sqrt{-x + 4}$
  • $b=5 \implies y = \sqrt{-x + 5}$
• При $a = 1$:
  • $b=2 \implies y = \sqrt{x + 2}$
  • $b=3 \implies y = \sqrt{x + 3}$
  • $b=4 \implies y = \sqrt{x + 4}$
  • $b=5 \implies y = \sqrt{x + 5}$
• При $a = 2$:
  • $b=2 \implies y = \sqrt{2x + 2}$
  • $b=3 \implies y = \sqrt{2x + 3}$
  • $b=4 \implies y = \sqrt{2x + 4}$
  • $b=5 \implies y = \sqrt{2x + 5}$
• При $a = 3$:
  • $b=2 \implies y = \sqrt{3x + 2}$
  • $b=3 \implies y = \sqrt{3x + 3}$
  • $b=4 \implies y = \sqrt{3x + 4}$
  • $b=5 \implies y = \sqrt{3x + 5}$

Ответ: Дерево вариантов представлено в виде списка выше.

б) Для выбора коэффициента $a$ есть 5 вариантов (числа -2, -1, 1, 2, 3). Для выбора слагаемого $b$ есть 4 варианта (числа 2, 3, 4, 5). Поскольку выбор $a$ и $b$ независим, общее количество возможных функций находится по правилу умножения.
Количество функций $N = (\text{число вариантов для } a) \cdot (\text{число вариантов для } b) = 5 \cdot 4 = 20$.
Ответ: 20.

в) Функция $y = \sqrt{ax+b}$ является композицией двух функций: линейной $u(x) = ax+b$ и функции квадратного корня $g(u) = \sqrt{u}$. Функция $g(u) = \sqrt{u}$ является возрастающей на всей своей области определения. Поэтому характер монотонности функции $y = \sqrt{ax+b}$ совпадает с характером монотонности подкоренного выражения $ax+b$.
Линейная функция $ax+b$ возрастает, если ее угловой коэффициент $a$ положителен ($a > 0$).
Из предложенного набора для $a$ $\{-2, -1, 1, 2, 3\}$ положительными являются три числа: 1, 2, 3.
Для каждого из этих 3-х значений $a$ можно выбрать любое из 4-х значений $b$.
Таким образом, число благоприятных исходов (возрастающих функций) равно $3 \cdot 4 = 12$.
Общее число исходов равно 20 (из пункта б).
Вероятность того, что случайно выбранная функция будет возрастающей, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P(\text{возрастающая}) = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$.
Ответ: $\frac{3}{5}$.

г) Аналогично пункту в), функция $y = \sqrt{ax+b}$ будет убывающей, если подкоренное выражение $ax+b$ будет убывающим.
Линейная функция $ax+b$ убывает, если ее угловой коэффициент $a$ отрицателен ($a < 0$).
Из предложенного набора для $a$ $\{-2, -1, 1, 2, 3\}$ отрицательными являются два числа: -2, -1.
Для каждого из этих 2-х значений $a$ можно выбрать любое из 4-х значений $b$.
Таким образом, число благоприятных исходов (убывающих функций) равно $2 \cdot 4 = 8$.
Общее число исходов равно 20.
Вероятность того, что случайно выбранная функция будет убывающей, равна: $P(\text{убывающая}) = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$.
Ответ: $\frac{2}{5}$.