Номер 2, страница 214, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №5. Вариант 1. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 2, страница 214.

Условие.

2 Используя метод выделения квадрата двучлена, докажите, что при любых неотрицательных значениях переменной $x$ выполняется неравенство $x^3 - 8x\sqrt{x} + 18 > 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для доказательства неравенства $x^3 - 8x\sqrt{x} + 18 > 0$ при $x \ge 0$ воспользуемся методом выделения полного квадрата для выражения в левой части.

Сначала преобразуем члены, содержащие переменную $x$. Заметим, что $x^3$ можно представить как квадрат от $x\sqrt{x}$:

$x^3 = x \cdot x^2 = (\sqrt{x})^2 \cdot ((\sqrt{x})^2)^2 = (\sqrt{x})^2 \cdot (\sqrt{x})^4 = (\sqrt{x})^6 = ((\sqrt{x})^3)^2$.

Также, $x\sqrt{x} = (\sqrt{x})^2 \cdot \sqrt{x} = (\sqrt{x})^3$.

Таким образом, выражение $x^3 - 8x\sqrt{x} + 18$ можно переписать в виде:

$((\sqrt{x})^3)^2 - 8(\sqrt{x})^3 + 18$

Это выражение является квадратным трехчленом относительно $(\sqrt{x})^3$ или, что то же самое, относительно $x\sqrt{x}$. Чтобы выделить полный квадрат, воспользуемся формулой квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

В нашем случае $a = x\sqrt{x}$. Тогда удвоенное произведение $-2ab$ равно $-8x\sqrt{x}$.

$-2 \cdot (x\sqrt{x}) \cdot b = -8x\sqrt{x}$

Отсюда находим $b=4$.

Для получения полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = 4^2 = 16$. Представим число 18 в виде суммы $16+2$:

$x^3 - 8x\sqrt{x} + 18 = (x^3 - 8x\sqrt{x} + 16) + 2$

Теперь первые три слагаемых образуют полный квадрат:

$(x\sqrt{x} - 4)^2 + 2$

Исходное неравенство $x^3 - 8x\sqrt{x} + 18 > 0$ равносильно неравенству $(x\sqrt{x} - 4)^2 + 2 > 0$.

Проанализируем полученное выражение. По условию задачи $x \ge 0$, следовательно, выражение $x\sqrt{x} - 4$ является действительным числом.

1. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен: $(x\sqrt{x} - 4)^2 \ge 0$.

2. Если к этому неотрицательному выражению прибавить 2, то результат будет не меньше 2: $(x\sqrt{x} - 4)^2 + 2 \ge 2$.

Поскольку $2 > 0$, то и все выражение $(x\sqrt{x} - 4)^2 + 2$ всегда строго больше нуля.

Таким образом, мы доказали, что неравенство $x^3 - 8x\sqrt{x} + 18 > 0$ выполняется при любых неотрицательных значениях $x$.

Ответ: После преобразования левой части неравенства методом выделения полного квадрата, оно принимает вид $(x\sqrt{x} - 4)^2 + 2 > 0$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, то $(x\sqrt{x} - 4)^2 \ge 0$ для любых $x \ge 0$. Следовательно, наименьшее значение левой части равно 2 (при $x\sqrt{x}=4$). Поскольку $2 > 0$, исходное неравенство верно при всех неотрицательных $x$.