Номер 5, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №5. Вариант 1. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 5, страница 215.

Условие.

5 При каких значениях x имеет смысл выражение $\sqrt{x^2 - 7x + 12} - \frac{2x + 1}{x^2 + 2x}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы данное выражение имело смысл, должны одновременно выполняться два условия: выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным, и знаменатель дроби не должен обращаться в нуль.

Рассмотрим первое условие. Выражение под корнем $x^2 - 7x + 12$ должно быть больше или равно нулю. Запишем неравенство: $x^2 - 7x + 12 \ge 0$. Для его решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 12. Отсюда легко найти корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$. Графиком функции $y = x^2 - 7x + 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, функция принимает неотрицательные значения при $x$ вне интервала между корнями, включая сами корни. Решением неравенства является объединение промежутков: $x \in (-\infty, 3] \cup [4, +\infty)$.

Рассмотрим второе условие. Знаменатель дроби $x^2 + 2x$ не должен быть равен нулю: $x^2 + 2x \ne 0$. Разложим левую часть на множители: $x(x + 2) \ne 0$. Это произведение не равно нулю, если каждый из множителей не равен нулю, то есть $x \ne 0$ и $x + 2 \ne 0$. Отсюда получаем ограничения: $x \ne 0$ и $x \ne -2$.

Наконец, объединим результаты. Область допустимых значений $x$ — это все числа из множества $(-\infty, 3] \cup [4, +\infty)$, за исключением чисел -2 и 0. Оба значения, $x = -2$ и $x = 0$, входят в промежуток $(-\infty, 3]$, поэтому их необходимо исключить. Таким образом, получаем итоговое множество.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 0) \cup (0, 3] \cup [4, +\infty)$.