Номер 3, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №5. Вариант 1. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 3, страница 215.

Условие.

3 Решите неравенство $\frac{4x^2+x}{3} - \frac{5x-1}{6} \leq \frac{x^2+17}{9}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения данного неравенства приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное знаменателей 3, 6 и 9 равно 18. Умножим обе части неравенства на 18. Так как 18 – положительное число, знак неравенства не изменится.

$ \frac{4x^2+x}{3} - \frac{5x-1}{6} \le \frac{x^2+17}{9} \quad | \cdot 18 $

$ 18 \cdot \frac{4x^2+x}{3} - 18 \cdot \frac{5x-1}{6} \le 18 \cdot \frac{x^2+17}{9} $

$ 6(4x^2+x) - 3(5x-1) \le 2(x^2+17) $

Раскроем скобки в полученном выражении:

$ 24x^2 + 6x - 15x + 3 \le 2x^2 + 34 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ 24x^2 - 9x + 3 \le 2x^2 + 34 $

Перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство вида $ax^2+bx+c \le 0$:

$ 24x^2 - 9x + 3 - 2x^2 - 34 \le 0 $

$ 22x^2 - 9x - 31 \le 0 $

Теперь решим полученное квадратное неравенство. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $22x^2 - 9x - 31 = 0$ с помощью дискриминанта.

$ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 22 \cdot (-31) = 81 + 2728 = 2809 $

Найдем квадратный корень из дискриминанта:

$ \sqrt{D} = \sqrt{2809} = 53 $

Теперь найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 53}{2 \cdot 22} = \frac{-44}{44} = -1 $

$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 53}{2 \cdot 22} = \frac{62}{44} = \frac{31}{22} $

Мы получили два корня: $x_1 = -1$ и $x_2 = \frac{31}{22}$. Графиком функции $y = 22x^2 - 9x - 31$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($22 > 0$).

Неравенство $22x^2 - 9x - 31 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решением неравенства является отрезок.

Ответ: $x \in [-1; \frac{31}{22}]$.