Номер 6, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №5. Вариант 1. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 6, страница 215.

Условие.

6 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} \frac{2}{x}, & \text{если } x < -1; \\ |x| - 3, & \text{если } -1 \le x \le 6. \end{cases}$

a) Вычислите $f(-5)$, $f(0)$, $f(7)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Вычислите f(-5), f(0), f(7).

Для вычисления значений функции в заданных точках необходимо определить, какому интервалу из определения функции принадлежит аргумент $x$.

• Вычисление $f(-5)$.
  Аргумент $x = -5$ удовлетворяет условию $x < -1$. Следовательно, используем первую формулу: $f(x) = \frac{2}{x}$.
  $f(-5) = \frac{2}{-5} = -0.4$.

• Вычисление $f(0)$.
  Аргумент $x = 0$ удовлетворяет условию $-1 \le x \le 6$. Следовательно, используем вторую формулу: $f(x) = |x| - 3$.
  $f(0) = |0| - 3 = 0 - 3 = -3$.

• Вычисление $f(7)$.
  Аргумент $x = 7$ не принадлежит области определения функции, так как не удовлетворяет ни одному из условий: $7 \not< -1$ и $7 \not\in [-1, 6]$.
  Следовательно, значение $f(7)$ не существует.

Ответ: $f(-5) = -0.4$; $f(0) = -3$; $f(7)$ не существует.

б) Постройте график функции y = f(x).

График функции $y = f(x)$ состоит из двух частей, построенных на разных промежутках:

1. На интервале $(-\infty, -1)$ строим график функции $y = \frac{2}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти. График проходит через точки, например, $(-2, -1)$ и $(-4, -0.5)$, и асимптотически приближается к оси Ox при $x \to -\infty$. В точке $x=-1$ имеется разрыв, но мы можем найти предел: $\lim_{x\to-1^-} \frac{2}{x} = -2$. Таким образом, эта часть графика заканчивается в точке $(-1, -2)$, которая не включается (является "выколотой").

2. На отрезке $[-1, 6]$ строим график функции $y = |x| - 3$. Этот график представляет собой ломаную линию из двух отрезков, соединенных в точке $(0, -3)$.

   • На отрезке $[-1, 0]$ функция равна $y = -x - 3$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $f(-1) = |-1| - 3 = -2$ и $f(0) = |0| - 3 = -3$. То есть, отрезок от $(-1, -2)$ до $(0, -3)$.
   • На отрезке $[0, 6]$ функция равна $y = x - 3$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, -3)$ и $f(6) = |6| - 3 = 3$. То есть, отрезок от $(0, -3)$ до $(6, 3)$.

   Точки $(-1, -2)$ и $(6, 3)$ принадлежат графику. Точка $(-1, -2)$ от этой части графика "закрашивает" выколотую точку от первой части, делая функцию непрерывной.

Ответ: График функции представляет собой ветвь гиперболы $y=2/x$ на интервале $(-\infty, -1)$, которая приближается к оси абсцисс при $x \to -\infty$ и подходит к точке $(-1, -2)$, и ломаную линию на отрезке $[-1, 6]$, которая соединяет последовательно точки $(-1, -2)$, $(0, -3)$ (вершина) и $(6, 3)$.

в) Перечислите свойства функции.

• Область определения: $D(f) = (-\infty, 6]$.

• Область значений: $E(f) = [-3, 3]$.

• Четность: Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной), так как ее область определения не симметрична относительно начала координат.

• Нули функции: $f(x)=0$ при $x=3$.

• Промежутки знакопостоянства:
  $f(x) > 0$ при $x \in (3, 6]$.
  $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, 3)$.

• Промежутки монотонности:
  Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
  Функция возрастает на промежутке $[0, 6]$.

• Экстремумы функции:
  $x_{min} = 0$ — точка минимума.
  Наименьшее значение функции: $y_{min} = f(0) = -3$.
  Наибольшее значение функции: $y_{max} = f(6) = 3$.

• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $(-\infty, 6]$.

Ответ: Основные свойства функции (область определения и значений, четность, нули, знакопостоянство, монотонность, экстремумы, непрерывность) перечислены выше.