Номер 2, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №5. Вариант 2. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 2, страница 215.

Условие.

2 Используя метод выделения квадрата двучлена, докажите, что при любых неотрицательных значениях переменной $x$ выполняется неравенство $x^3 - 10x\sqrt{x} + 26 > 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для доказательства неравенства $x^3 - 10x\sqrt{x} + 26 > 0$ при условии, что $x$ — неотрицательное число ($x \ge 0$), применим метод выделения полного квадрата.

Первым шагом преобразуем выражения, содержащие переменную $x$. Заметим, что:
$x^3 = (x^{3/2})^2$
$x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1+1/2} = x^{3/2}$

Подставив эти выражения в левую часть исходного неравенства, получим выражение, которое можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно $x^{3/2}$:
$(x^{3/2})^2 - 10(x^{3/2}) + 26$

Теперь выделим полный квадрат, используя формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае, пусть $a = x^{3/2}$. Тогда член $-10x^{3/2}$ соответствует $-2ab$.
$-2 \cdot a \cdot b = -2 \cdot x^{3/2} \cdot b = -10x^{3/2}$
Отсюда следует, что $2b = 10$, а значит $b=5$.

Для получения полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = 5^2 = 25$. Представим свободный член 26 в виде суммы $25+1$:
$(x^{3/2})^2 - 10x^{3/2} + 25 + 1$

Теперь сгруппируем первые три члена, чтобы получить квадрат двучлена:
$((x^{3/2})^2 - 10x^{3/2} + 25) + 1 = (x^{3/2} - 5)^2 + 1$

Проанализируем полученное выражение $(x^{3/2} - 5)^2 + 1$.
Поскольку по условию $x \ge 0$, выражение $x^{3/2}$ является действительным числом. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть:
$(x^{3/2} - 5)^2 \ge 0$

Прибавляя к обеим частям этого неравенства 1, получаем:
$(x^{3/2} - 5)^2 + 1 \ge 0 + 1$
$(x^{3/2} - 5)^2 + 1 \ge 1$

Так как наименьшее значение левой части исходного неравенства равно 1, а $1 > 0$, то неравенство $x^3 - 10x\sqrt{x} + 26 > 0$ выполняется при всех неотрицательных значениях $x$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Преобразовав левую часть неравенства к виду $(x^{3/2} - 5)^2 + 1$ и показав, что значение этого выражения всегда не меньше 1 (а следовательно, строго больше 0) при $x \ge 0$, мы доказали исходное неравенство.