Номер 6, страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №5. Вариант 2. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 6, страница 216.

Условие.

6 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} x^2 - 2, & \text{если } x < -2; \\ 2|x| - 2, & \text{если } -2 \le x \le 6. \end{cases}$

а) Вычислите $f(-7)$, $f(0)$, $f(5)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для вычисления значений функции $f(x)$ в заданных точках, необходимо определить, какому интервалу принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую формулу.

1. Вычислим $f(-7)$.
Поскольку $x = -7$ удовлетворяет условию $x < -2$, используем первую формулу $f(x) = x^2 - 2$.
$f(-7) = (-7)^2 - 2 = 49 - 2 = 47$.

2. Вычислим $f(0)$.
Поскольку $x = 0$ удовлетворяет условию $-2 \le x \le 6$, используем вторую формулу $f(x) = 2|x| - 2$.
$f(0) = 2|0| - 2 = 2 \cdot 0 - 2 = -2$.

3. Вычислим $f(5)$.
Поскольку $x = 5$ удовлетворяет условию $-2 \le x \le 6$, используем вторую формулу $f(x) = 2|x| - 2$.
$f(5) = 2|5| - 2 = 2 \cdot 5 - 2 = 10 - 2 = 8$.

Ответ: $f(-7) = 47$, $f(0) = -2$, $f(5) = 8$.

б)

Для построения графика функции $y = f(x)$ рассмотрим каждый участок отдельно.

1. На промежутке $(-\infty, -2)$ функция задана формулой $y = x^2 - 2$. Это часть параболы, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, -2)$. Найдём значение на границе интервала: при $x \to -2$, $y \to (-2)^2 - 2 = 2$. Так как неравенство строгое ($x < -2$), точка $(-2, 2)$ на этом куске графика является выколотой. Для построения возьмем еще одну контрольную точку, например, $x = -3$, тогда $y = (-3)^2 - 2 = 7$.

2. На отрезке $[-2, 6]$ функция задана формулой $y = 2|x| - 2$. Раскроем модуль:
- при $-2 \le x < 0$ имеем $y = 2(-x) - 2 = -2x - 2$. Это отрезок прямой. Найдём значения на концах: при $x = -2$, $y = -2(-2) - 2 = 2$. Точка $(-2, 2)$ принадлежит этому участку графика. при $x = 0$, $y = -2(0) - 2 = -2$.
- при $0 \le x \le 6$ имеем $y = 2x - 2$. Это также отрезок прямой. Найдём значения на концах: при $x = 0$, $y = 2(0) - 2 = -2$. при $x = 6$, $y = 2(6) - 2 = 10$. Точка $(6, 10)$ принадлежит графику.

Соединяя все части, получаем график функции. В точке $x=-2$ разрыва нет, так как предел слева равен значению функции в этой точке.

Ответ: График функции состоит из левой ветви параболы $y=x^2-2$ для $x < -2$ и двух отрезков, соединяющих точки $(-2, 2)$, $(0, -2)$ и $(6, 10)$.

в)

Перечислим свойства функции $y=f(x)$ на основании её определения и графика.

• Область определения функции: $D(f) = (-\infty, 6]$.
• Область значений функции: $E(f) = [-2, +\infty)$.
• Нули функции (точки пересечения с осью Ox): $f(x) = 0$ при $x = -1$ и $x = 1$.
• Промежутки знакопостоянства:
  $f(x) > 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (1, 6]$.
  $f(x) < 0$ при $x \in (-1, 1)$.
• Промежутки монотонности:
  Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
  Функция возрастает на промежутке $[0, 6]$.
• Точки экстремума:
  $x_{min} = 0$ — точка минимума.
  $y_{min} = f(0) = -2$ — наименьшее значение функции.
• Чётность и нечётность: функция не является ни чётной, ни нечётной (функция общего вида), так как её область определения несимметрична относительно начала координат.
• Непрерывность: функция непрерывна на всей области определения $(-\infty, 6]$.

Ответ: Свойства функции перечислены выше.