Номер 1, страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 1, страница 217.

Условие.

1 a) $y = 2x^2;$

б) $y = -\frac{4}{x};$

в) $y = -\frac{1}{3}x^2;$

г) $y = \frac{8}{x}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дана функция $y = 2x^2$.

Для нахождения производной этой функции, мы используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило вынесения константы за знак производной $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$.

Применим эти правила:

$y' = (2x^2)' = 2 \cdot (x^2)'$

По правилу для степенной функции при $n=2$, производная $(x^2)' = 2x^{2-1} = 2x$.

Подставляем обратно в наше выражение:

$y' = 2 \cdot (2x) = 4x$.

Ответ: $y' = 4x$

б) Дана функция $y = -\frac{4}{x}$.

Для удобства дифференцирования, представим функцию в виде степенной функции. Напомним, что $\frac{1}{x} = x^{-1}$.

$y = -4x^{-1}$

Используем те же правила: правило для степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило вынесения константы.

Находим производную:

$y' = (-4x^{-1})' = -4 \cdot (x^{-1})'$

Здесь $n=-1$, поэтому $(x^{-1})' = (-1)x^{-1-1} = -x^{-2}$.

Подставляем полученное выражение:

$y' = -4 \cdot (-x^{-2}) = 4x^{-2}$.

Вернемся к дробовому представлению, используя свойство $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$:

$y' = \frac{4}{x^2}$.

Ответ: $y' = \frac{4}{x^2}$

в) Дана функция $y = -\frac{1}{3}x^2$.

Это квадратичная функция с постоянным коэффициентом. Для нахождения ее производной применяем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и правило вынесения константы $(c \cdot f(x))' = c \cdot f'(x)$.

Применим правила к функции:

$y' = (-\frac{1}{3}x^2)' = -\frac{1}{3} \cdot (x^2)'$

Производная от $x^2$ равна $2x$.

Следовательно:

$y' = -\frac{1}{3} \cdot (2x) = -\frac{2}{3}x$.

Ответ: $y' = -\frac{2}{3}x$

г) Дана функция $y = \frac{8}{x}$.

Как и в пункте б), представим функцию в виде степенной функции для упрощения вычислений: $y = 8x^{-1}$.

Используем правило дифференцирования степенной функции $(x^n)' = nx^{n-1}$ и вынесение константы за знак производной.

Находим производную:

$y' = (8x^{-1})' = 8 \cdot (x^{-1})'$

Производная от $x^{-1}$ равна $(-1)x^{-1-1} = -x^{-2}$.

Подставляем это значение:

$y' = 8 \cdot (-x^{-2}) = -8x^{-2}$.

Запишем результат в виде дроби:

$y' = -\frac{8}{x^2}$.

Ответ: $y' = -\frac{8}{x^2}$