Номер 5, страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 5, страница 217.

Условие.

5 Напишите уравнение квадратичной функции, полученной путём параллельного переноса:

а) параболы $y = 2x^2$ на 4 единицы вправо и на 3 единицы вверх;

б) вершины параболы $y = -\frac{1}{2}x^2$ в точку $(-3; 2)$;

в) параболы $y = -\frac{2}{3}x^2$ на 1 единицу влево и на 4 единицы вниз;

г) вершины параболы $y = 1,5x^2$ в точку $(2; 1)$. Постройте график полученной функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Общий вид уравнения квадратичной функции, полученной путем параллельного переноса графика функции $y = ax^2$ так, что ее вершина оказывается в точке $(m, n)$, имеет вид: $y = a(x - m)^2 + n$.

При этом сдвиг графика на $m$ единиц вправо соответствует положительному значению $m$, а влево — отрицательному. Сдвиг на $n$ единиц вверх соответствует положительному значению $n$, а вниз — отрицательному.

а)

Исходная функция: $y = 2x^2$. Коэффициент $a = 2$.
График переносится на 4 единицы вправо, следовательно, $m = 4$.
График переносится на 3 единицы вверх, следовательно, $n = 3$.
Подставляем эти значения в общую формулу $y = a(x - m)^2 + n$:
$y = 2(x - 4)^2 + 3$.

Ответ: $y = 2(x - 4)^2 + 3$.

б)

Исходная функция: $y = -\frac{1}{2}x^2$. Коэффициент $a = -\frac{1}{2}$.
Вершина исходной параболы находится в точке $(0, 0)$. Перенос вершины в точку $(-3, 2)$ означает, что сдвиг по горизонтали $m = -3$, а по вертикали $n = 2$.
Подставляем значения в общую формулу:
$y = -\frac{1}{2}(x - (-3))^2 + 2$
$y = -\frac{1}{2}(x + 3)^2 + 2$.

Ответ: $y = -\frac{1}{2}(x + 3)^2 + 2$.

в)

Исходная функция: $y = -\frac{2}{3}x^2$. Коэффициент $a = -\frac{2}{3}$.
График переносится на 1 единицу влево, следовательно, $m = -1$.
График переносится на 4 единицы вниз, следовательно, $n = -4$.
Подставляем значения в общую формулу:
$y = -\frac{2}{3}(x - (-1))^2 + (-4)$
$y = -\frac{2}{3}(x + 1)^2 - 4$.

Ответ: $y = -\frac{2}{3}(x + 1)^2 - 4$.

г)

Исходная функция: $y = 1,5x^2$. Коэффициент $a = 1,5$.
Вершина исходной параболы находится в точке $(0, 0)$. Перенос вершины в точку $(2, 1)$ означает, что сдвиг по горизонтали $m = 2$, а по вертикали $n = 1$.
Подставляем значения в общую формулу:
$y = 1,5(x - 2)^2 + 1$.

Ответ: $y = 1,5(x - 2)^2 + 1$.

Построение графика полученной функции

Построим график для функции, полученной в пункте г): $y = 1,5(x - 2)^2 + 1$. Для этого выполним следующие шаги:

1. Определяем направление ветвей параболы. Так как старший коэффициент $a = 1,5 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Находим вершину параболы. Из уравнения $y = a(x - m)^2 + n$ видно, что вершина находится в точке $(m; n) = (2; 1)$.

3. Проводим ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через вершину, ее уравнение $x = 2$.

4. Находим несколько контрольных точек для построения. Выберем значения $x$ симметрично относительно оси $x=2$ и вычислим для них соответствующие значения $y$:

- Вершина: $x = 2$, $y = 1,5(2 - 2)^2 + 1 = 1$. Точка $(2; 1)$.
- Возьмем $x = 1$ (на 1 единицу левее вершины): $y = 1,5(1 - 2)^2 + 1 = 1,5(-1)^2 + 1 = 2,5$. Точка $(1; 2,5)$.
- Симметрично, для $x = 3$ (на 1 единицу правее вершины): $y = 1,5(3 - 2)^2 + 1 = 1,5(1)^2 + 1 = 2,5$. Точка $(3; 2,5)$.
- Найдем точку пересечения с осью OY, подставив $x = 0$: $y = 1,5(0 - 2)^2 + 1 = 1,5 \cdot 4 + 1 = 7$. Точка $(0; 7)$.
- Найдем симметричную ей точку относительно оси $x=2$. Ее абсцисса будет $x = 4$. $y = 1,5(4 - 2)^2 + 1 = 1,5 \cdot 4 + 1 = 7$. Точка $(4; 7)$.

5. Наносим на координатную плоскость найденные точки: вершину $(2; 1)$ и пары симметричных точек $(1; 2,5)$ и $(3; 2,5)$, а также $(0; 7)$ и $(4; 7)$. Соединяем эти точки плавной кривой, чтобы получить график параболы.