Номер 4, страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 4, страница 217.

Условие.

4. Напишите уравнение квадратичной функции, полученной путём параллельного переноса:

а) параболы $y = x^2$ на 5 единиц влево;

б) параболы $y = x^2$ на 1 единицу вниз;

в) параболы $y = x^2$ на 1 единицу вправо и на 3 единицы вверх;

г) вершины параболы $y = x^2$ в точку $(2; -4)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) параболы $y = x^2$ на 5 единиц влево;

Параллельный перенос графика функции $y = f(x)$ на $m$ единиц влево описывается уравнением $y = f(x + m)$. В нашем случае исходная функция $f(x) = x^2$, а сдвиг влево осуществляется на $m=5$ единиц. Следовательно, мы должны заменить $x$ на $(x + 5)$ в исходном уравнении. Получаем новое уравнение: $y = (x + 5)^2$. Вершина этой параболы находится в точке $(-5, 0)$, что соответствует сдвигу исходной вершины $(0, 0)$ на 5 единиц влево.

Ответ: $y = (x + 5)^2$

б) параболы $y = x^2$ на 1 единицу вниз;

Параллельный перенос графика функции $y = f(x)$ на $n$ единиц вниз описывается уравнением $y = f(x) - n$. В нашем случае исходная функция $f(x) = x^2$, а сдвиг вниз осуществляется на $n=1$ единицу. Следовательно, мы должны вычесть 1 из правой части исходного уравнения. Получаем новое уравнение: $y = x^2 - 1$. Вершина этой параболы находится в точке $(0, -1)$, что соответствует сдвигу исходной вершины $(0, 0)$ на 1 единицу вниз.

Ответ: $y = x^2 - 1$

в) параболы $y = x^2$ на 1 единицу вправо и на 3 единицы вверх;

Параллельный перенос графика функции $y = f(x)$ на $h$ единиц вправо и на $k$ единиц вверх описывается уравнением $y = f(x - h) + k$. В нашем случае исходная функция $f(x) = x^2$. Сдвиг вправо на $h=1$ единицу и сдвиг вверх на $k=3$ единицы. Заменяем $x$ на $(x - 1)$ и прибавляем 3 к результату. Получаем новое уравнение: $y = (x - 1)^2 + 3$. Вершина этой параболы находится в точке $(1, 3)$, что соответствует сдвигу исходной вершины $(0, 0)$ на 1 единицу вправо и 3 единицы вверх.

Ответ: $y = (x - 1)^2 + 3$

г) вершины параболы $y = x^2$ в точку (2; –4).

Вершина исходной параболы $y = x^2$ находится в точке $(0, 0)$. Требуется перенести вершину в точку с координатами $(2, -4)$. Это означает, что мы выполняем параллельный перенос, при котором горизонтальный сдвиг составляет 2 единицы вправо ($h=2$), а вертикальный сдвиг — 4 единицы вниз ($k=-4$). Общий вид уравнения параболы с вершиной в точке $(h, k)$ и старшим коэффициентом $a=1$ имеет вид: $y = (x - h)^2 + k$. Подставляем значения $h=2$ и $k=-4$: $y = (x - 2)^2 + (-4)$, что равносильно $y = (x - 2)^2 - 4$.

Ответ: $y = (x - 2)^2 - 4$