Номер 2, страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 2, страница 217.

Условие.

2 a) $y = \frac{3}{x} - 1;$

б) $y = -(x + 1)^2;$

в) $y = -\frac{6}{x-2};$

г) $y = 3x^2 - 4.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дана функция $y = \frac{3}{x} - 1$.

Это дробно-рациональная функция, график которой — гипербола. График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ с помощью следующих преобразований:

1. Растяжение вдоль оси OY в 3 раза, чтобы получить график функции $y = \frac{3}{x}$.

2. Параллельный перенос полученного графика на 1 единицу вниз вдоль оси OY.

Свойства функции:

1. Область определения: Знаменатель дроби не должен равняться нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения $D(y): (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2. Область значений: Так как дробь $\frac{3}{x}$ не может быть равна нулю, то $y$ не может быть равен $0 - 1 = -1$. Область значений $E(y): (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

3. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$.
- Горизонтальная асимптота: прямая $y = -1$.

4. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY: пересечения нет, так как $x=0$ не входит в область определения.
- С осью OX (нуль функции): при $y=0$ имеем $\frac{3}{x} - 1 = 0 \implies \frac{3}{x} = 1 \implies x = 3$. Точка пересечения — $(3; 0)$.

Ответ: Функция $y = \frac{3}{x} - 1$ — гипербола. Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Асимптоты: $x=0$ (вертикальная) и $y=-1$ (горизонтальная). Точка пересечения с осью OX: $(3; 0)$.

б) Дана функция $y = -(x + 1)^2$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола. График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = x^2$ с помощью следующих преобразований:

1. Параллельный перенос графика на 1 единицу влево вдоль оси OX, чтобы получить график функции $y = (x+1)^2$.

2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси OX, чтобы получить $y = -(x+1)^2$.

Свойства функции:

1. Вершина параболы: Функция записана в виде $y=a(x-h)^2+k$. Здесь $h=-1, k=0$. Вершина находится в точке $(-1; 0)$.

2. Направление ветвей: Коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательный), следовательно, ветви параболы направлены вниз.

3. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y): (-\infty; +\infty)$.

4. Область значений: Так как ветви направлены вниз, а максимальное значение достигается в вершине, то область значений $E(y): (-\infty; 0]$.

5. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OX: вершина параболы лежит на оси OX, поэтому точка пересечения одна — $(-1; 0)$.
- С осью OY: при $x=0$ имеем $y = -(0+1)^2 = -1$. Точка пересечения — $(0; -1)$.

Ответ: Функция $y = -(x + 1)^2$ — парабола. Ветви направлены вниз. Вершина в точке $(-1; 0)$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; 0]$. Пересечение с осью OY в точке $(0; -1)$.

в) Дана функция $y = -\frac{6}{x - 2}$.

Это дробно-рациональная функция, график которой — гипербола. График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ с помощью следующих преобразований:

1. Параллельный перенос на 2 единицы вправо вдоль оси OX, чтобы получить $y = \frac{1}{x-2}$.

2. Растяжение вдоль оси OY в 6 раз, чтобы получить $y = \frac{6}{x-2}$.

3. Симметричное отражение относительно оси OX, чтобы получить $y = -\frac{6}{x-2}$.

Свойства функции:

1. Область определения: Знаменатель не должен равняться нулю, $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$. Область определения $D(y): (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.

2. Область значений: Дробь $-\frac{6}{x-2}$ не может быть равна нулю. Область значений $E(y): (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: прямая $x = 2$.
- Горизонтальная асимптота: прямая $y = 0$.

4. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OX: пересечения нет, так как $y=0$ не входит в область значений.
- С осью OY: при $x=0$ имеем $y = -\frac{6}{0-2} = 3$. Точка пересечения — $(0; 3)$.

Ответ: Функция $y = -\frac{6}{x-2}$ — гипербола. Область определения: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Асимптоты: $x=2$ (вертикальная) и $y=0$ (горизонтальная). Точка пересечения с осью OY: $(0; 3)$.

г) Дана функция $y = 3x^2 - 4$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола. График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = x^2$ с помощью следующих преобразований:

1. Растяжение вдоль оси OY в 3 раза, чтобы получить график функции $y = 3x^2$.

2. Параллельный перенос полученного графика на 4 единицы вниз вдоль оси OY.

Свойства функции:

1. Вершина параболы: Функция записана в виде $y=ax^2+c$. Вершина находится в точке $(0; c)$, то есть в $(0; -4)$.

2. Направление ветвей: Коэффициент при $x^2$ равен $3$ (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх.

3. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y): (-\infty; +\infty)$.

4. Область значений: Так как ветви направлены вверх, а минимальное значение достигается в вершине, то область значений $E(y): [-4; +\infty)$.

5. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY: вершина параболы лежит на оси OY, поэтому точка пересечения — $(0; -4)$.
- С осью OX (нули функции): при $y=0$ имеем $3x^2 - 4 = 0 \implies 3x^2=4 \implies x^2=\frac{4}{3} \implies x = \pm\sqrt{\frac{4}{3}} = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$. Точки пересечения — $(-\frac{2\sqrt{3}}{3}; 0)$ и $(\frac{2\sqrt{3}}{3}; 0)$.

Ответ: Функция $y = 3x^2 - 4$ — парабола. Ветви направлены вверх. Вершина в точке $(0; -4)$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[-4; +\infty)$. Пересечение с осью OX в точках $(-\frac{2\sqrt{3}}{3}; 0)$ и $(\frac{2\sqrt{3}}{3}; 0)$.