Номер 2, страница 217, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Авторы: Мордкович А. Г., Александрова Л. А., Мишустина Т. Н., Тульчинская Е. Е., Семенов П. В.
Тип: Учебник
Издательство: Мнемозина
Год издания: 2019 - 2025
Часть: 2
Цвет обложки:
Допущено Министерством просвещения Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Итоговое повторение. Часть 2 - номер 2, страница 217.
№2 (с. 217)
Условие. №2 (с. 217)
скриншот условия

2 a) $y = \frac{3}{x} - 1;$
б) $y = -(x + 1)^2;$
в) $y = -\frac{6}{x-2};$
г) $y = 3x^2 - 4.$
Решение 1. №2 (с. 217)




Решение 2. №2 (с. 217)

Решение 3. №2 (с. 217)

Решение 4. №2 (с. 217)


Решение 6. №2 (с. 217)
а) Дана функция $y = \frac{3}{x} - 1$.
Это дробно-рациональная функция, график которой — гипербола. График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ с помощью следующих преобразований:
1. Растяжение вдоль оси OY в 3 раза, чтобы получить график функции $y = \frac{3}{x}$.
2. Параллельный перенос полученного графика на 1 единицу вниз вдоль оси OY.
Свойства функции:
1. Область определения: Знаменатель дроби не должен равняться нулю, поэтому $x \neq 0$. Область определения $D(y): (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
2. Область значений: Так как дробь $\frac{3}{x}$ не может быть равна нулю, то $y$ не может быть равен $0 - 1 = -1$. Область значений $E(y): (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.
3. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: прямая $x = 0$.
- Горизонтальная асимптота: прямая $y = -1$.
4. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY: пересечения нет, так как $x=0$ не входит в область определения.
- С осью OX (нуль функции): при $y=0$ имеем $\frac{3}{x} - 1 = 0 \implies \frac{3}{x} = 1 \implies x = 3$. Точка пересечения — $(3; 0)$.
Ответ: Функция $y = \frac{3}{x} - 1$ — гипербола. Область определения: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$. Асимптоты: $x=0$ (вертикальная) и $y=-1$ (горизонтальная). Точка пересечения с осью OX: $(3; 0)$.
б) Дана функция $y = -(x + 1)^2$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола. График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = x^2$ с помощью следующих преобразований:
1. Параллельный перенос графика на 1 единицу влево вдоль оси OX, чтобы получить график функции $y = (x+1)^2$.
2. Симметричное отражение полученного графика относительно оси OX, чтобы получить $y = -(x+1)^2$.
Свойства функции:
1. Вершина параболы: Функция записана в виде $y=a(x-h)^2+k$. Здесь $h=-1, k=0$. Вершина находится в точке $(-1; 0)$.
2. Направление ветвей: Коэффициент при $x^2$ равен $-1$ (отрицательный), следовательно, ветви параболы направлены вниз.
3. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y): (-\infty; +\infty)$.
4. Область значений: Так как ветви направлены вниз, а максимальное значение достигается в вершине, то область значений $E(y): (-\infty; 0]$.
5. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OX: вершина параболы лежит на оси OX, поэтому точка пересечения одна — $(-1; 0)$.
- С осью OY: при $x=0$ имеем $y = -(0+1)^2 = -1$. Точка пересечения — $(0; -1)$.
Ответ: Функция $y = -(x + 1)^2$ — парабола. Ветви направлены вниз. Вершина в точке $(-1; 0)$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $(-\infty; 0]$. Пересечение с осью OY в точке $(0; -1)$.
в) Дана функция $y = -\frac{6}{x - 2}$.
Это дробно-рациональная функция, график которой — гипербола. График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = \frac{1}{x}$ с помощью следующих преобразований:
1. Параллельный перенос на 2 единицы вправо вдоль оси OX, чтобы получить $y = \frac{1}{x-2}$.
2. Растяжение вдоль оси OY в 6 раз, чтобы получить $y = \frac{6}{x-2}$.
3. Симметричное отражение относительно оси OX, чтобы получить $y = -\frac{6}{x-2}$.
Свойства функции:
1. Область определения: Знаменатель не должен равняться нулю, $x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$. Область определения $D(y): (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$.
2. Область значений: Дробь $-\frac{6}{x-2}$ не может быть равна нулю. Область значений $E(y): (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.
3. Асимптоты:
- Вертикальная асимптота: прямая $x = 2$.
- Горизонтальная асимптота: прямая $y = 0$.
4. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OX: пересечения нет, так как $y=0$ не входит в область значений.
- С осью OY: при $x=0$ имеем $y = -\frac{6}{0-2} = 3$. Точка пересечения — $(0; 3)$.
Ответ: Функция $y = -\frac{6}{x-2}$ — гипербола. Область определения: $x \in (-\infty; 2) \cup (2; +\infty)$. Область значений: $y \in (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$. Асимптоты: $x=2$ (вертикальная) и $y=0$ (горизонтальная). Точка пересечения с осью OY: $(0; 3)$.
г) Дана функция $y = 3x^2 - 4$.
Это квадратичная функция, график которой — парабола. График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = x^2$ с помощью следующих преобразований:
1. Растяжение вдоль оси OY в 3 раза, чтобы получить график функции $y = 3x^2$.
2. Параллельный перенос полученного графика на 4 единицы вниз вдоль оси OY.
Свойства функции:
1. Вершина параболы: Функция записана в виде $y=ax^2+c$. Вершина находится в точке $(0; c)$, то есть в $(0; -4)$.
2. Направление ветвей: Коэффициент при $x^2$ равен $3$ (положительный), следовательно, ветви параболы направлены вверх.
3. Область определения: Функция определена для всех действительных чисел. $D(y): (-\infty; +\infty)$.
4. Область значений: Так как ветви направлены вверх, а минимальное значение достигается в вершине, то область значений $E(y): [-4; +\infty)$.
5. Точки пересечения с осями координат:
- С осью OY: вершина параболы лежит на оси OY, поэтому точка пересечения — $(0; -4)$.
- С осью OX (нули функции): при $y=0$ имеем $3x^2 - 4 = 0 \implies 3x^2=4 \implies x^2=\frac{4}{3} \implies x = \pm\sqrt{\frac{4}{3}} = \pm\frac{2}{\sqrt{3}} = \pm\frac{2\sqrt{3}}{3}$. Точки пересечения — $(-\frac{2\sqrt{3}}{3}; 0)$ и $(\frac{2\sqrt{3}}{3}; 0)$.
Ответ: Функция $y = 3x^2 - 4$ — парабола. Ветви направлены вверх. Вершина в точке $(0; -4)$. Область определения: $(-\infty; +\infty)$. Область значений: $[-4; +\infty)$. Пересечение с осью OX в точках $(-\frac{2\sqrt{3}}{3}; 0)$ и $(\frac{2\sqrt{3}}{3}; 0)$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 2 расположенного на странице 217 для 2-й части к учебнику 2019 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №2 (с. 217), авторов: Мордкович (Александр Григорьевич), Александрова (Лилия Александровна), Мишустина (Татьяна Николаевна), Тульчинская (Елена Ефимовна), Семенов (Павел Владимирович), 2-й части учебного пособия издательства Мнемозина.