Номер 5, страница 216, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №5. Вариант 2. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 5, страница 216.

Условие.

5 При каких значениях x имеет смысл выражение $\sqrt{x^2 + 9x + 14} - \frac{x + 2}{x^2 - 4x + 3}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для того чтобы данное выражение имело смысл, должны одновременно выполняться два условия: выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, а знаменатель дроби не должен равняться нулю.

Рассмотрим первое условие: подкоренное выражение $x^2 + 9x + 14$ должно быть больше или равно нулю.

$x^2 + 9x + 14 \ge 0$

Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 + 9x + 14 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $-9$, а произведение равно $14$. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = -7$ и $x_2 = -2$.

Поскольку ветви параболы $y = x^2 + 9x + 14$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 9x + 14 \ge 0$ выполняется при значениях $x$ за пределами интервала между корнями. Таким образом, решение этого неравенства: $x \in (-\infty, -7] \cup [-2, +\infty)$.

Рассмотрим второе условие: знаменатель дроби $x^2 - 4x + 3$ не должен быть равен нулю.

$x^2 - 4x + 3 \ne 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна $4$, а произведение равно $3$. Корни уравнения: $x_3 = 1$ и $x_4 = 3$.

Это означает, что $x$ не может принимать значения $1$ и $3$.

Теперь объединим оба условия. Из множества решений первого неравенства $x \in (-\infty, -7] \cup [-2, +\infty)$ необходимо исключить точки $x=1$ и $x=3$.

Обе точки, $1$ и $3$, принадлежат промежутку $[-2, +\infty)$. Исключив их, мы разбиваем этот промежуток на три: $[-2, 1)$, $(1, 3)$ и $(3, +\infty)$.

Таким образом, область определения исходного выражения представляет собой объединение следующих промежутков: $(-\infty, -7]$, $[-2, 1)$, $(1, 3)$, $(3, +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty, -7] \cup [-2, 1) \cup (1, 3) \cup (3, +\infty)$.