Номер 3, страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Домашняя контрольная работа №5. Вариант 2. Глава 5. Неравенства. Часть 2 - номер 3, страница 215.

Условие.

3 Решите неравенство $\frac{3x^2 + x}{4} - \frac{2 - 7x}{5} \ge \frac{3x^2 + 17}{10}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения данного неравенства приведем все его части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 4, 5 и 10 равен 20. Умножим обе части неравенства на 20. Так как 20 > 0, знак неравенства не изменится.

$ \frac{3x^2 + x}{4} - \frac{2 - 7x}{5} \ge \frac{3x^2 + 17}{10} \quad | \cdot 20 $

$ 20 \cdot \frac{3x^2 + x}{4} - 20 \cdot \frac{2 - 7x}{5} \ge 20 \cdot \frac{3x^2 + 17}{10} $

$ 5 \cdot (3x^2 + x) - 4 \cdot (2 - 7x) \ge 2 \cdot (3x^2 + 17) $

Раскроем скобки:

$ 15x^2 + 5x - 8 + 28x \ge 6x^2 + 34 $

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства и приведем подобные члены:

$ (15x^2 - 6x^2) + (5x + 28x) + (-8 - 34) \ge 0 $

$ 9x^2 + 33x - 42 \ge 0 $

Чтобы упростить дальнейшие вычисления, разделим обе части неравенства на 3:

$ 3x^2 + 11x - 14 \ge 0 $

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $3x^2 + 11x - 14 = 0$, чтобы найти точки, в которых выражение обращается в ноль. Для этого вычислим дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 121 + 168 = 289 $

Найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 - 17}{6} = \frac{-28}{6} = -\frac{14}{3} $

$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 + 17}{6} = \frac{6}{6} = 1 $

Мы получили квадратное неравенство $3x^2 + 11x - 14 \ge 0$. Графиком функции $y = 3x^2 + 11x - 14$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент $a=3 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -\frac{14}{3}$ и $x = 1$.

Следовательно, значения функции будут неотрицательными ($y \ge 0$) на промежутках, где график параболы находится выше или на оси абсцисс. Это происходит при $x \le -\frac{14}{3}$ и при $x \ge 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{14}{3}] \cup [1; +\infty)$.