Страница 215, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

1. Решение квадратных неравенств.

Квадратное неравенство — это неравенство вида $ax^2 + bx + c > 0$, $ax^2 + bx + c < 0$, $ax^2 + bx + c \ge 0$ или $ax^2 + bx + c \le 0$, где $x$ — переменная, а $a$, $b$, $c$ — некоторые числа, причем $a \neq 0$. Существует несколько методов решения таких неравенств.

а) Алгоритм решения с использованием графика квадратичной функции

Этот метод основан на том, как расположен график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ (парабола) относительно оси абсцисс (оси Ox).

1. Определить направление ветвей параболы по знаку старшего коэффициента $a$:

• Если $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
• Если $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Найти корни соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Эти корни ($x_1$ и $x_2$) являются точками пересечения параболы с осью Ox. 3. Схематически изобразить параболу в координатной плоскости, учитывая направление ветвей и точки пересечения с осью Ox. 4. Определить по графику, на каких промежутках оси Ox функция принимает положительные (график выше оси) или отрицательные (график ниже оси) значения. 5. Записать ответ, учитывая знак неравенства (строгое или нестрогое).

Пример: Решить неравенство $x^2 - x - 6 > 0$.

1. Рассматриваем функцию $y = x^2 - x - 6$. 2. Старший коэффициент $a = 1 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх. 3. Находим нули функции, решив уравнение $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни: $x_1 = -2$, $x_2 = 3$. 4. Парабола с ветвями вверх пересекает ось Ox в точках -2 и 3. 5. Из схематического графика видно, что функция $y$ положительна ($y>0$) на промежутках, где парабола находится выше оси Ox. Это происходит левее точки -2 и правее точки 3. 6. Так как неравенство строгое ($>$), сами точки -2 и 3 в решение не входят.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (3; +\infty)$.

б) Метод интервалов

Это универсальный алгебраический метод, который подходит для многих типов неравенств.

1. Привести неравенство к виду $f(x) > 0$ (или $<, \ge, \le$). 2. Найти нули функции $f(x)$, то есть решить уравнение $f(x) = 0$. 3. Отметить найденные нули на числовой прямой. Эти точки разбивают прямую на несколько интервалов. 4. Определить знак функции $f(x)$ в каждом из полученных интервалов. Для этого достаточно выбрать любую "пробную" точку из каждого интервала и подставить ее значение в функцию. 5. Выбрать интервалы, знаки в которых соответствуют знаку исходного неравенства. Если неравенство нестрогое ($\ge$ или $\le$), то нули функции включаются в ответ.

Пример: Решить неравенство $-x^2 + 2x + 3 \ge 0$.

1. Для удобства вычислений умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный: $x^2 - 2x - 3 \le 0$. 2. Находим нули функции $y = x^2 - 2x - 3$, решая уравнение $x^2 - 2x - 3 = 0$. Корни: $x_1 = -1$, $x_2 = 3$. 3. Отмечаем точки -1 и 3 на числовой прямой. Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки будут "закрашенными". Прямая разбивается на три интервала: $(-\infty; -1]$, $[-1; 3]$ и $[3; +\infty)$. 4. Определяем знак выражения $x^2 - 2x - 3$ на каждом интервале:

• Интервал $(-\infty; -1)$: возьмем $x = -2 \implies (-2)^2 - 2(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5 > 0$. Ставим знак "+".
• Интервал $(-1; 3)$: возьмем $x = 0 \implies 0^2 - 2(0) - 3 = -3 < 0$. Ставим знак "-".
• Интервал $(3; +\infty)$: возьмем $x = 4 \implies 4^2 - 2(4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5 > 0$. Ставим знак "+".

5. Нам нужно решить неравенство $x^2 - 2x - 3 \le 0$, то есть выбрать промежуток со знаком "минус". Это промежуток от -1 до 3.

Ответ: $x \in [-1; 3]$.

в) Особые случаи (дискриминант $D \le 0$)

Когда у квадратного уравнения нет двух различных действительных корней, решение неравенства имеет свои особенности.

Случай 1: Дискриминант равен нулю ($D = 0$).

Уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ имеет один корень $x_0$. Парабола касается оси Ox в своей вершине. Выражение $ax^2 + bx + c$ можно представить как $a(x-x_0)^2$.

• Если $a > 0$, то выражение $a(x-x_0)^2$ всегда неотрицательно. Оно равно нулю при $x = x_0$ и положительно при всех остальных $x$.
• Если $a < 0$, то выражение $a(x-x_0)^2$ всегда неположительно.

Пример: Решить $9x^2 - 6x + 1 > 0$. 1. Уравнение $9x^2 - 6x + 1 = 0$ можно записать как $(3x - 1)^2 = 0$. Корень один: $x_0 = \frac{1}{3}$. 2. Неравенство принимает вид $(3x - 1)^2 > 0$. 3. Квадрат любого выражения, не равного нулю, всегда положителен. Выражение $(3x-1)^2$ равно нулю только при $x = \frac{1}{3}$. 4. Следовательно, неравенство выполняется для всех действительных чисел, кроме $x = \frac{1}{3}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{3}) \cup (\frac{1}{3}; +\infty)$.

Случай 2: Дискриминант отрицателен ($D < 0$).

Уравнение $ax^2 + bx + c = 0$ не имеет действительных корней. Парабола не пересекает ось Ox и целиком лежит либо выше, либо ниже нее.

• Если $a > 0$, парабола находится полностью выше оси Ox, и выражение $ax^2 + bx + c$ всегда положительно.
• Если $a < 0$, парабола находится полностью ниже оси Ox, и выражение $ax^2 + bx + c$ всегда отрицательно.

Пример: Решить $x^2 + 2x + 3 < 0$. 1. Находим дискриминант уравнения $x^2 + 2x + 3 = 0$: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. 2. Так как $D < 0$, у уравнения нет действительных корней. 3. Старший коэффициент $a = 1 > 0$. 4. Это означает, что парабола $y = x^2 + 2x + 3$ целиком лежит выше оси Ox, и значение выражения $x^2 + 2x + 3$ всегда положительно. 5. Неравенство $x^2 + 2x + 3 < 0$ требует, чтобы положительное выражение было меньше нуля, что невозможно.

Ответ: $x \in \varnothing$ (решений нет).

2. Стандартный вид положительного числа.

Стандартный вид положительного числа — это его представление в виде произведения $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$, а $n$ — целое число. Эта форма записи особенно удобна для очень больших или очень маленьких чисел, которые часто встречаются в физике, химии, астрономии и других науках.

Число $a$ называется мантиссой числа. По определению, мантисса должна быть числом, большим или равным единице и меньшим десяти. Например, 2,5; 9,81; 1,0.

Число $n$ называется порядком числа. Порядок показывает, на сколько разрядов нужно сдвинуть десятичную запятую в мантиссе, чтобы получить исходное число. Порядок может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Алгоритм приведения числа к стандартному виду:

1. Записать число в виде десятичной дроби (если оно целое, запятая ставится в конце).
2. Переместить запятую влево или вправо так, чтобы слева от нее осталась только одна ненулевая цифра. Полученное число и будет мантиссой $a$.
3. Определить порядок $n$. Он равен количеству разрядов, на которое была смещена запятая.
   • Если запятая смещалась влево (для чисел, больших или равных 10), то порядок $n$ будет положительным.
   • Если запятая смещалась вправо (для чисел, меньших 1), то порядок $n$ будет отрицательным.
4. Записать число в виде $a \cdot 10^n$.

Примеры:

1. Представить число 384 000 000 в стандартном виде.

Это очень большое число. Следуем алгоритму:

Исходное число: 384 000 000. Десятичная запятая находится в конце: 384 000 000,0.

Чтобы получить мантиссу $a$ (число от 1 до 10), переносим запятую влево так, чтобы она оказалась после первой значащей цифры, то есть после 3. Получаем 3,84. Итак, $a = 3.84$.

Мы сместили запятую на 8 разрядов влево. Значит, порядок $n$ будет положительным и равным 8, то есть $n = 8$.

Таким образом, стандартный вид числа 384 000 000 равен $3.84 \cdot 10^8$.

2. Представить число 0,00000167 в стандартном виде.

Это очень маленькое число. Следуем алгоритму:

Исходное число: 0,00000167.

Чтобы получить мантиссу $a$, переносим запятую вправо так, чтобы она оказалась после первой значащей цифры, то есть после 1. Получаем 1,67. Итак, $a = 1.67$.

Мы сместили запятую на 6 разрядов вправо. Значит, порядок $n$ будет отрицательным и равным -6, то есть $n = -6$.

Таким образом, стандартный вид числа 0,00000167 равен $1.67 \cdot 10^{-6}$.

Ответ: Стандартным видом положительного числа называют его запись в форме $a \cdot 10^n$, где число $a$ (мантисса) удовлетворяет условию $1 \le a < 10$, а $n$ (порядок) является целым числом.

3 Решите неравенство $\frac{4x^2+x}{3} - \frac{5x-1}{6} \leq \frac{x^2+17}{9}$

Для решения данного неравенства приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное знаменателей 3, 6 и 9 равно 18. Умножим обе части неравенства на 18. Так как 18 – положительное число, знак неравенства не изменится.

$ \frac{4x^2+x}{3} - \frac{5x-1}{6} \le \frac{x^2+17}{9} \quad | \cdot 18 $

$ 18 \cdot \frac{4x^2+x}{3} - 18 \cdot \frac{5x-1}{6} \le 18 \cdot \frac{x^2+17}{9} $

$ 6(4x^2+x) - 3(5x-1) \le 2(x^2+17) $

Раскроем скобки в полученном выражении:

$ 24x^2 + 6x - 15x + 3 \le 2x^2 + 34 $

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$ 24x^2 - 9x + 3 \le 2x^2 + 34 $

Перенесем все члены неравенства в левую часть, чтобы получить квадратное неравенство вида $ax^2+bx+c \le 0$:

$ 24x^2 - 9x + 3 - 2x^2 - 34 \le 0 $

$ 22x^2 - 9x - 31 \le 0 $

Теперь решим полученное квадратное неравенство. Для этого найдем корни соответствующего квадратного уравнения $22x^2 - 9x - 31 = 0$ с помощью дискриминанта.

$ D = b^2 - 4ac = (-9)^2 - 4 \cdot 22 \cdot (-31) = 81 + 2728 = 2809 $

Найдем квадратный корень из дискриминанта:

$ \sqrt{D} = \sqrt{2809} = 53 $

Теперь найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 - 53}{2 \cdot 22} = \frac{-44}{44} = -1 $

$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{9 + 53}{2 \cdot 22} = \frac{62}{44} = \frac{31}{22} $

Мы получили два корня: $x_1 = -1$ и $x_2 = \frac{31}{22}$. Графиком функции $y = 22x^2 - 9x - 31$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($22 > 0$).

Неравенство $22x^2 - 9x - 31 \le 0$ выполняется на промежутке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решением неравенства является отрезок.

Ответ: $x \in [-1; \frac{31}{22}]$.

4 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству $y < -3x + 1$.

Чтобы изобразить на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству $y < -3x + 1$, необходимо выполнить следующие действия.

Сначала нужно построить граничную линию, которая соответствует данному неравенству. Граничная линия задается уравнением $y = -3x + 1$. Это уравнение является линейной функцией, и ее график — это прямая. Для построения прямой достаточно найти координаты двух любых точек, принадлежащих ей.

Найдем две точки:

• При $x = 0$, значение $y$ будет: $y = -3 \cdot 0 + 1 = 1$. Таким образом, первая точка имеет координаты $(0, 1)$. Это точка пересечения прямой с осью OY.
• При $x = 1$, значение $y$ будет: $y = -3 \cdot 1 + 1 = -2$. Таким образом, вторая точка имеет координаты $(1, -2)$.

Теперь проведем прямую через точки $(0, 1)$ и $(1, -2)$. Поскольку в исходном неравенстве используется строгий знак "<", точки, лежащие на самой прямой, не являются частью решения. Поэтому граничную прямую следует изображать пунктирной (прерывистой) линией.

Далее, эта прямая делит всю координатную плоскость на две полуплоскости. Нам нужно определить, какая из них является решением неравенства. Для этого выберем любую контрольную точку, не лежащую на прямой. Самый простой вариант — начало координат, точка $(0, 0)$.

Подставим координаты точки $(0, 0)$ в исходное неравенство $y < -3x + 1$:

$0 < -3 \cdot 0 + 1$

$0 < 1$

Полученное неравенство $0 < 1$ является верным. Это означает, что точка $(0, 0)$ принадлежит искомому множеству. Так как эта точка расположена ниже построенной прямой, то решением является вся полуплоскость, которая находится ниже прямой $y = -3x + 1$. Эту область на графике следует заштриховать.

Ответ:

Искомое множество точек — это открытая полуплоскость, расположенная ниже прямой $y = -3x + 1$. Граничная прямая $y = -3x + 1$ изображается пунктирной линией и не входит в искомое множество. На графике это вся заштрихованная область под пунктирной прямой, проходящей через точки $(0, 1)$ и $(1, -2)$.

5 При каких значениях x имеет смысл выражение $\sqrt{x^2 - 7x + 12} - \frac{2x + 1}{x^2 + 2x}$?

Для того чтобы данное выражение имело смысл, должны одновременно выполняться два условия: выражение, стоящее под знаком квадратного корня, должно быть неотрицательным, и знаменатель дроби не должен обращаться в нуль.

Рассмотрим первое условие. Выражение под корнем $x^2 - 7x + 12$ должно быть больше или равно нулю. Запишем неравенство: $x^2 - 7x + 12 \ge 0$. Для его решения найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 7x + 12 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 12. Отсюда легко найти корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = 4$. Графиком функции $y = x^2 - 7x + 12$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Следовательно, функция принимает неотрицательные значения при $x$ вне интервала между корнями, включая сами корни. Решением неравенства является объединение промежутков: $x \in (-\infty, 3] \cup [4, +\infty)$.

Рассмотрим второе условие. Знаменатель дроби $x^2 + 2x$ не должен быть равен нулю: $x^2 + 2x \ne 0$. Разложим левую часть на множители: $x(x + 2) \ne 0$. Это произведение не равно нулю, если каждый из множителей не равен нулю, то есть $x \ne 0$ и $x + 2 \ne 0$. Отсюда получаем ограничения: $x \ne 0$ и $x \ne -2$.

Наконец, объединим результаты. Область допустимых значений $x$ — это все числа из множества $(-\infty, 3] \cup [4, +\infty)$, за исключением чисел -2 и 0. Оба значения, $x = -2$ и $x = 0$, входят в промежуток $(-\infty, 3]$, поэтому их необходимо исключить. Таким образом, получаем итоговое множество.

Ответ: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 0) \cup (0, 3] \cup [4, +\infty)$.

6 Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = \begin{cases} \frac{2}{x}, & \text{если } x < -1; \\ |x| - 3, & \text{если } -1 \le x \le 6. \end{cases}$

a) Вычислите $f(-5)$, $f(0)$, $f(7)$.

б) Постройте график функции $y = f(x)$.

в) Перечислите свойства функции.

а) Вычислите f(-5), f(0), f(7).

Для вычисления значений функции в заданных точках необходимо определить, какому интервалу из определения функции принадлежит аргумент $x$.

• Вычисление $f(-5)$.
  Аргумент $x = -5$ удовлетворяет условию $x < -1$. Следовательно, используем первую формулу: $f(x) = \frac{2}{x}$.
  $f(-5) = \frac{2}{-5} = -0.4$.

• Вычисление $f(0)$.
  Аргумент $x = 0$ удовлетворяет условию $-1 \le x \le 6$. Следовательно, используем вторую формулу: $f(x) = |x| - 3$.
  $f(0) = |0| - 3 = 0 - 3 = -3$.

• Вычисление $f(7)$.
  Аргумент $x = 7$ не принадлежит области определения функции, так как не удовлетворяет ни одному из условий: $7 \not< -1$ и $7 \not\in [-1, 6]$.
  Следовательно, значение $f(7)$ не существует.

Ответ: $f(-5) = -0.4$; $f(0) = -3$; $f(7)$ не существует.

б) Постройте график функции y = f(x).

График функции $y = f(x)$ состоит из двух частей, построенных на разных промежутках:

1. На интервале $(-\infty, -1)$ строим график функции $y = \frac{2}{x}$. Это ветвь гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти. График проходит через точки, например, $(-2, -1)$ и $(-4, -0.5)$, и асимптотически приближается к оси Ox при $x \to -\infty$. В точке $x=-1$ имеется разрыв, но мы можем найти предел: $\lim_{x\to-1^-} \frac{2}{x} = -2$. Таким образом, эта часть графика заканчивается в точке $(-1, -2)$, которая не включается (является "выколотой").

2. На отрезке $[-1, 6]$ строим график функции $y = |x| - 3$. Этот график представляет собой ломаную линию из двух отрезков, соединенных в точке $(0, -3)$.

   • На отрезке $[-1, 0]$ функция равна $y = -x - 3$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $f(-1) = |-1| - 3 = -2$ и $f(0) = |0| - 3 = -3$. То есть, отрезок от $(-1, -2)$ до $(0, -3)$.
   • На отрезке $[0, 6]$ функция равна $y = x - 3$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, -3)$ и $f(6) = |6| - 3 = 3$. То есть, отрезок от $(0, -3)$ до $(6, 3)$.

   Точки $(-1, -2)$ и $(6, 3)$ принадлежат графику. Точка $(-1, -2)$ от этой части графика "закрашивает" выколотую точку от первой части, делая функцию непрерывной.

Ответ: График функции представляет собой ветвь гиперболы $y=2/x$ на интервале $(-\infty, -1)$, которая приближается к оси абсцисс при $x \to -\infty$ и подходит к точке $(-1, -2)$, и ломаную линию на отрезке $[-1, 6]$, которая соединяет последовательно точки $(-1, -2)$, $(0, -3)$ (вершина) и $(6, 3)$.

в) Перечислите свойства функции.

• Область определения: $D(f) = (-\infty, 6]$.

• Область значений: $E(f) = [-3, 3]$.

• Четность: Функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной), так как ее область определения не симметрична относительно начала координат.

• Нули функции: $f(x)=0$ при $x=3$.

• Промежутки знакопостоянства:
  $f(x) > 0$ при $x \in (3, 6]$.
  $f(x) < 0$ при $x \in (-\infty, 3)$.

• Промежутки монотонности:
  Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
  Функция возрастает на промежутке $[0, 6]$.

• Экстремумы функции:
  $x_{min} = 0$ — точка минимума.
  Наименьшее значение функции: $y_{min} = f(0) = -3$.
  Наибольшее значение функции: $y_{max} = f(6) = 3$.

• Непрерывность: Функция непрерывна на всей области определения $(-\infty, 6]$.

Ответ: Основные свойства функции (область определения и значений, четность, нули, знакопостоянство, монотонность, экстремумы, непрерывность) перечислены выше.

7 Вычислите $4\sqrt{3} + \sqrt{48} - 2\sqrt{75}$ с точностью до 0,1.

Для того чтобы вычислить значение выражения $4\sqrt{3} + \sqrt{48} - 2\sqrt{75}$ с точностью до 0,1, необходимо сначала упростить выражение, приведя все слагаемые к общему виду.

Первый член, $4\sqrt{3}$, уже находится в простейшем виде.

Упростим второй член, $\sqrt{48}$. Для этого разложим подкоренное число 48 на множители так, чтобы один из них был наибольшим возможным полным квадратом:
$48 = 16 \times 3 = 4^2 \times 3$
Следовательно, $\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = \sqrt{16} \times \sqrt{3} = 4\sqrt{3}$.

Упростим третий член, $2\sqrt{75}$. Разложим подкоренное число 75 на множители:
$75 = 25 \times 3 = 5^2 \times 3$
Следовательно, $2\sqrt{75} = 2\sqrt{25 \times 3} = 2 \times (\sqrt{25} \times \sqrt{3}) = 2 \times (5\sqrt{3}) = 10\sqrt{3}$.

Теперь подставим упрощенные значения обратно в исходное выражение:
$4\sqrt{3} + \sqrt{48} - 2\sqrt{75} = 4\sqrt{3} + 4\sqrt{3} - 10\sqrt{3}$.

Все слагаемые содержат общий множитель $\sqrt{3}$, поэтому мы можем выполнить действия с их коэффициентами:
$(4 + 4 - 10)\sqrt{3} = (8 - 10)\sqrt{3} = -2\sqrt{3}$.

Для нахождения численного значения с требуемой точностью используем приближенное значение $\sqrt{3} \approx 1,732...$
$-2\sqrt{3} \approx -2 \times 1,732 = -3,464$.

Округлим полученный результат до десятых (до одного знака после запятой). Так как вторая цифра после запятой (6) больше или равна 5, то первую цифру после запятой (4) увеличиваем на единицу.
$-3,464 \approx -3,5$.

Ответ: $-3,5$

8 Найдите порядок произведения чисел $2.345 \cdot 10^2$ и $3.564 \cdot 10^{-5}$.

Чтобы найти порядок произведения двух чисел, записанных в стандартном виде, необходимо сначала вычислить само это произведение. Стандартный вид числа — это запись вида $a \cdot 10^n$, где $1 \le a < 10$ и $n$ — целое число. Число $n$ называется порядком числа.

Нам даны два числа: $2,345 \cdot 10^2$ и $3,564 \cdot 10^{-5}$.

Найдем их произведение:

$(2,345 \cdot 10^2) \cdot (3,564 \cdot 10^{-5})$

Для удобства вычислений сгруппируем отдельно числовые множители (мантиссы) и степени десяти:

$(2,345 \cdot 3,564) \cdot (10^2 \cdot 10^{-5})$

1. Вычислим произведение мантисс:

$2,345 \cdot 3,564 = 8,35758$

2. Вычислим произведение степеней, используя свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$10^2 \cdot 10^{-5} = 10^{2 + (-5)} = 10^{-3}$

3. Объединим полученные результаты:

$8,35758 \cdot 10^{-3}$

Мы получили число в стандартном виде, так как его мантисса $a = 8,35758$ удовлетворяет условию $1 \le 8,35758 < 10$. Порядок этого числа равен показателю степени десяти, то есть $-3$.

Ответ: $-3$

9 Выбрали произвольное целое число, которое является решением неравенства $5 < 2x < 45$. Какова вероятность того, что выбранное число будет двузначным?

Для решения задачи сначала найдем все целые числа, которые удовлетворяют заданному неравенству. Затем определим, какая их часть является двузначными числами, и вычислим вероятность.

1. Нахождение множества всех целых решений неравенства.

Дано двойное неравенство: $5 < 2x < 45$.

Чтобы найти значения $x$, разделим все части неравенства на 2:

$\frac{5}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{45}{2}$

Выполнив деление, получаем:

$2.5 < x < 22.5$

По условию, $x$ – это целое число. Следовательно, решениями неравенства являются все целые числа, которые больше 2.5 и меньше 22.5. Это числа от 3 до 22 включительно.

Общее количество целых решений (обозначим его $N$) можно найти по формуле для количества целых чисел в диапазоне $[a, b]$: $b - a + 1$.

$N = 22 - 3 + 1 = 20$

Итак, всего существует 20 возможных целых чисел, которые можно выбрать.

2. Нахождение количества благоприятных исходов.

Благоприятным исходом по условию задачи является выбор двузначного числа. Найдем, сколько двузначных чисел содержится в полученном множестве решений {3, 4, ..., 22}.

Двузначными числами в этом диапазоне являются числа от 10 до 22 включительно.

Количество благоприятных исходов (обозначим его $m$) также найдем по формуле:

$m = 22 - 10 + 1 = 13$

Таким образом, у нас 13 благоприятных исходов.

3. Вычисление вероятности.

Вероятность события ($P$) вычисляется по классической формуле как отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов:

$P = \frac{m}{N}$

Подставим найденные значения:

$P = \frac{13}{20}$

Чтобы выразить вероятность в виде десятичной дроби, разделим 13 на 20:

$P = 0.65$

Ответ: $0.65$

1 Решите неравенство $\frac{7x}{3} - \frac{11(x+1)}{6} < \frac{3x-1}{3} - \frac{13-x}{2}$.

Для решения данного линейного неравенства необходимо избавиться от знаменателей. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 3, 6 и 2. НОК(3, 6, 2) = 6.
Умножим обе части неравенства на 6. Так как 6 > 0, знак неравенства не изменится.
$ \frac{7x}{3} - \frac{11(x+1)}{6} < \frac{3x-1}{3} - \frac{13-x}{2} \quad |\cdot 6 $
$ 6 \cdot \frac{7x}{3} - 6 \cdot \frac{11(x+1)}{6} < 6 \cdot \frac{3x-1}{3} - 6 \cdot \frac{13-x}{2} $
Выполним сокращение дробей:
$ 2 \cdot 7x - 11(x+1) < 2(3x-1) - 3(13-x) $
Теперь раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$ 14x - 11x - 11 < 6x - 2 - 39 + 3x $
Приведем подобные слагаемые в каждой части:
$ (14x - 11x) - 11 < (6x + 3x) - (2 + 39) $
$ 3x - 11 < 9x - 41 $
Перенесем слагаемые, содержащие переменную $x$, в правую часть, а числовые слагаемые — в левую часть, не забывая менять знаки при переносе:
$ 41 - 11 < 9x - 3x $
$ 30 < 6x $
Разделим обе части неравенства на 6. Так как 6 — положительное число, знак неравенства сохранится:
$ \frac{30}{6} < x $
$ 5 < x $
Это неравенство можно записать как $x > 5$. Решением является множество всех чисел, которые строго больше 5. В виде интервала это записывается следующим образом:
Ответ: $x \in (5; +\infty)$.

2 Используя метод выделения квадрата двучлена, докажите, что при любых неотрицательных значениях переменной $x$ выполняется неравенство $x^3 - 10x\sqrt{x} + 26 > 0$.

Для доказательства неравенства $x^3 - 10x\sqrt{x} + 26 > 0$ при условии, что $x$ — неотрицательное число ($x \ge 0$), применим метод выделения полного квадрата.

Первым шагом преобразуем выражения, содержащие переменную $x$. Заметим, что:
$x^3 = (x^{3/2})^2$
$x\sqrt{x} = x^1 \cdot x^{1/2} = x^{1+1/2} = x^{3/2}$

Подставив эти выражения в левую часть исходного неравенства, получим выражение, которое можно рассматривать как квадратный трехчлен относительно $x^{3/2}$:
$(x^{3/2})^2 - 10(x^{3/2}) + 26$

Теперь выделим полный квадрат, используя формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
В нашем случае, пусть $a = x^{3/2}$. Тогда член $-10x^{3/2}$ соответствует $-2ab$.
$-2 \cdot a \cdot b = -2 \cdot x^{3/2} \cdot b = -10x^{3/2}$
Отсюда следует, что $2b = 10$, а значит $b=5$.

Для получения полного квадрата нам необходимо слагаемое $b^2 = 5^2 = 25$. Представим свободный член 26 в виде суммы $25+1$:
$(x^{3/2})^2 - 10x^{3/2} + 25 + 1$

Теперь сгруппируем первые три члена, чтобы получить квадрат двучлена:
$((x^{3/2})^2 - 10x^{3/2} + 25) + 1 = (x^{3/2} - 5)^2 + 1$

Проанализируем полученное выражение $(x^{3/2} - 5)^2 + 1$.
Поскольку по условию $x \ge 0$, выражение $x^{3/2}$ является действительным числом. Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть:
$(x^{3/2} - 5)^2 \ge 0$

Прибавляя к обеим частям этого неравенства 1, получаем:
$(x^{3/2} - 5)^2 + 1 \ge 0 + 1$
$(x^{3/2} - 5)^2 + 1 \ge 1$

Так как наименьшее значение левой части исходного неравенства равно 1, а $1 > 0$, то неравенство $x^3 - 10x\sqrt{x} + 26 > 0$ выполняется при всех неотрицательных значениях $x$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Преобразовав левую часть неравенства к виду $(x^{3/2} - 5)^2 + 1$ и показав, что значение этого выражения всегда не меньше 1 (а следовательно, строго больше 0) при $x \ge 0$, мы доказали исходное неравенство.

3 Решите неравенство $\frac{3x^2 + x}{4} - \frac{2 - 7x}{5} \ge \frac{3x^2 + 17}{10}$.

Для решения данного неравенства приведем все его части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для чисел 4, 5 и 10 равен 20. Умножим обе части неравенства на 20. Так как 20 > 0, знак неравенства не изменится.

$ \frac{3x^2 + x}{4} - \frac{2 - 7x}{5} \ge \frac{3x^2 + 17}{10} \quad | \cdot 20 $

$ 20 \cdot \frac{3x^2 + x}{4} - 20 \cdot \frac{2 - 7x}{5} \ge 20 \cdot \frac{3x^2 + 17}{10} $

$ 5 \cdot (3x^2 + x) - 4 \cdot (2 - 7x) \ge 2 \cdot (3x^2 + 17) $

Раскроем скобки:

$ 15x^2 + 5x - 8 + 28x \ge 6x^2 + 34 $

Перенесем все слагаемые в левую часть неравенства и приведем подобные члены:

$ (15x^2 - 6x^2) + (5x + 28x) + (-8 - 34) \ge 0 $

$ 9x^2 + 33x - 42 \ge 0 $

Чтобы упростить дальнейшие вычисления, разделим обе части неравенства на 3:

$ 3x^2 + 11x - 14 \ge 0 $

Теперь решим соответствующее квадратное уравнение $3x^2 + 11x - 14 = 0$, чтобы найти точки, в которых выражение обращается в ноль. Для этого вычислим дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-14) = 121 + 168 = 289 $

Найдем корни уравнения:

$ x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 - 17}{6} = \frac{-28}{6} = -\frac{14}{3} $

$ x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{-11 + 17}{6} = \frac{6}{6} = 1 $

Мы получили квадратное неравенство $3x^2 + 11x - 14 \ge 0$. Графиком функции $y = 3x^2 + 11x - 14$ является парабола, ветви которой направлены вверх (так как коэффициент $a=3 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -\frac{14}{3}$ и $x = 1$.

Следовательно, значения функции будут неотрицательными ($y \ge 0$) на промежутках, где график параболы находится выше или на оси абсцисс. Это происходит при $x \le -\frac{14}{3}$ и при $x \ge 1$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{14}{3}] \cup [1; +\infty)$.

4 Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют неравенству $y > 2x + 4$.

Для того чтобы изобразить множество точек, удовлетворяющих неравенству $y > 2x + 4$, необходимо выполнить несколько шагов.

1. Построение граничной прямой
Сначала построим график функции, соответствующей равенству $y = 2x + 4$. Это уравнение прямой линии, которая будет служить границей для искомого множества. Для построения прямой достаточно найти две точки, через которые она проходит.

• Найдем точку пересечения с осью ординат (OY). Для этого примем $x = 0$:
  $y = 2 \cdot 0 + 4 = 4$.
  Получили точку $(0; 4)$.
• Найдем точку пересечения с осью абсцисс (OX). Для этого примем $y = 0$:
  $0 = 2x + 4$
  $2x = -4$
  $x = -2$.
  Получили точку $(-2; 0)$.

Теперь на координатной плоскости можно провести прямую через точки $(0; 4)$ и $(-2; 0)$.

2. Определение искомой области
Исходное неравенство $y > 2x + 4$ является строгим (знак «больше», а не «больше или равно»). Это означает, что точки, лежащие непосредственно на прямой $y = 2x + 4$, не входят в искомое множество. Поэтому на графике эту прямую следует изобразить пунктирной (штриховой) линией.

Прямая делит всю координатную плоскость на две полуплоскости. Чтобы определить, какая из них удовлетворяет неравенству, выберем произвольную контрольную точку, не лежащую на прямой. Удобно использовать начало координат — точку $(0; 0)$. Подставим ее координаты в исходное неравенство:
$0 > 2 \cdot 0 + 4$
$0 > 4$

Мы получили ложное неравенство. Это значит, что полуплоскость, в которой находится точка $(0; 0)$ (область под прямой), не является решением. Следовательно, решением является противоположная полуплоскость — та, что находится выше прямой. Эту область следует заштриховать.

Ответ: Искомое множество точек — это открытая полуплоскость, расположенная выше прямой $y = 2x + 4$. Граница области, прямая $y = 2x + 4$, не входит в это множество и изображается на графике пунктирной линией.