Страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

18 Решите графически систему уравнений:

a) $\begin{cases} y = (x + 3)^2 - 3 \\ y = x + 6 \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = -x^2 - 4x \\ y = (x + 1)^2 - 1 \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = 2x + 5 \\ y = -x^2 + 8x - 3 \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = x^2 - 6x + 6 \\ y = -(x - 4)^2 + 2 \end{cases}$

а) Для решения данной системы уравнений графически необходимо построить графики обеих функций в одной координатной плоскости и найти точки их пересечения.

Первое уравнение: $y = (x + 3)^2 - 3$. Графиком этой функции является парабола. Это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 3 единицы влево по оси Ox и на 3 единицы вниз по оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(-3; -3)$, а ветви направлены вверх. Для более точного построения найдем несколько точек:
при $x = -5$, $y = (-5 + 3)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$;
при $x = -4$, $y = (-4 + 3)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$;
при $x = -2$, $y = (-2 + 3)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$;
при $x = -1$, $y = (-1 + 3)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$;
при $x = 0$, $y = (0 + 3)^2 - 3 = 9 - 3 = 6$.

Второе уравнение: $y = x + 6$. Графиком этой функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, например, $(0; 6)$ и $(-6; 0)$.

Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек и будут решением системы. Из графика находим точки пересечения: $(-5; 1)$ и $(0; 6)$.

Ответ: $(-5; 1), (0; 6)$.

б) Для решения системы построим графики функций $y = -x^2 - 4x$ и $y = (x + 1)^2 - 1$.

Первая функция: $y = -x^2 - 4x$. Это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный). Найдем координаты ее вершины: $x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2(-1)} = -2$. $y_0 = -(-2)^2 - 4(-2) = -4 + 8 = 4$. Вершина находится в точке $(-2; 4)$. Парабола пересекает ось Ox в точках, где $y=0$, т.е. $-x(x+4)=0$, откуда $x=0$ и $x=-4$. Точки: $(0;0)$ и $(-4;0)$.

Вторая функция: $y = (x + 1)^2 - 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Ее вершина находится в точке $(-1; -1)$. Парабола пересекает ось Ox в точках, где $(x+1)^2-1=0$, т.е. $(x+1)^2=1$, откуда $x+1=\pm1$. Получаем $x=0$ и $x=-2$. Точки: $(0;0)$ и $(-2;0)$.

Построив обе параболы, находим их точки пересечения. Из графиков видно, что это точки с координатами $(-3; 3)$ и $(0; 0)$.

Ответ: $(-3; 3), (0; 0)$.

в) Решим систему графически, построив графики функций $y = 2x + 5$ и $y = -x^2 + 8x - 3$.

Первая функция: $y = 2x + 5$. Это прямая. Для построения возьмем две точки: при $x=0$, $y=5$ (точка $(0; 5)$), и при $x=1$, $y=2(1)+5=7$ (точка $(1; 7)$).

Вторая функция: $y = -x^2 + 8x - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем ее вершину: $x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-8}{2(-1)} = 4$. $y_0 = -(4)^2 + 8(4) - 3 = -16 + 32 - 3 = 13$. Вершина в точке $(4; 13)$. Для построения найдем еще несколько точек: при $x=2$, $y=-(2)^2+8(2)-3 = -4+16-3 = 9$. При $x=3$, $y=-(3)^2+8(3)-3 = -9+24-3 = 12$.

Строим графики в одной системе координат. Точки пересечения прямой и параболы являются решением системы. По графику определяем координаты этих точек: $(2; 9)$ и $(4; 13)$.

Ответ: $(2; 9), (4; 13)$.

г) Для решения системы построим графики парабол $y = x^2 - 6x + 6$ и $y = -(x - 4)^2 + 2$.

Первая парабола: $y = x^2 - 6x + 6$. Ветви направлены вверх. Координаты вершины: $x_0 = \frac{-(-6)}{2(1)} = 3$. $y_0 = 3^2 - 6(3) + 6 = 9 - 18 + 6 = -3$. Вершина в точке $(3; -3)$. Найдем несколько точек: при $x=2$, $y=2^2-6(2)+6 = 4-12+6 = -2$. При $x=5$, $y=5^2-6(5)+6=25-30+6=1$.

Вторая парабола: $y = -(x - 4)^2 + 2$. Ветви направлены вниз. Вершина находится в точке $(4; 2)$. Найдем несколько точек: при $x=3$, $y=-(3-4)^2+2 = -1+2 = 1$. При $x=5$, $y=-(5-4)^2+2 = -1+2 = 1$.

Построим обе параболы в одной системе координат. Точки их пересечения и будут решением. Из графика видно, что это точки с координатами $(2; -2)$ и $(5; 1)$.

Ответ: $(2; -2), (5; 1)$.

Решите графически квадратное неравенство:

19 a) $0.5(x + 3)^2 - 8 > 0;$

б) $-3x^2 + 6x + 9 \geq 0;$

в) $\frac{1}{4}(x - 1)^2 - 4 \leq 0;$

г) $-2x^2 - 6x + 8 < 0.$

а) $0,5(x + 3)^2 - 8 > 0$

Для графического решения этого неравенства рассмотрим функцию $y = 0,5(x + 3)^2 - 8$. Графиком этой функции является парабола.

1. Определим направление ветвей параболы. Коэффициент при старшем члене $a = 0,5 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы. Функция представлена в виде $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, где $(x_v; y_v)$ – вершина. В нашем случае $x_v = -3$, $y_v = -8$. Вершина находится в точке $(-3; -8)$.

3. Найдем нули функции (точки пересечения с осью Ox), решив уравнение $y=0$:

$0,5(x + 3)^2 - 8 = 0$

$0,5(x + 3)^2 = 8$

$(x + 3)^2 = 16$

$x + 3 = \pm \sqrt{16}$

$x + 3 = 4$ или $x + 3 = -4$

Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -7$.

4. Схематически изобразим параболу. Это парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $x = -7$ и $x = 1$. Нам нужно найти значения $x$, при которых $y > 0$, то есть где график функции находится выше оси Ox. Это происходит на интервалах левее точки $x = -7$ и правее точки $x = 1$.

Поскольку неравенство строгое ($>$), точки $x = -7$ и $x = 1$ не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (1; \infty)$.

б) $-3x^2 + 6x + 9 \ge 0$

Рассмотрим функцию $y = -3x^2 + 6x + 9$. Ее график – парабола.

1. Коэффициент $a = -3 < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем нули функции, решив уравнение $-3x^2 + 6x + 9 = 0$. Для удобства разделим все уравнение на -3:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни:

$x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -1$ и $x = 3$.

3. Схематически изобразим параболу. Это парабола с ветвями вниз, которая пересекает ось Ox в точках -1 и 3. Нас интересуют значения $x$, при которых $y \ge 0$, то есть где график функции находится на оси Ox или выше нее. Это происходит на отрезке между корнями.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки $x = -1$ и $x = 3$ включаются в решение.

Ответ: $x \in [-1; 3]$.

в) $\frac{1}{4}(x - 1)^2 - 4 \le 0$

Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{4}(x - 1)^2 - 4$. Графиком является парабола.

1. Коэффициент $a = \frac{1}{4} > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Функция задана в виде $y = a(x - x_v)^2 + y_v$. Вершина параболы находится в точке $(1; -4)$.

3. Найдем нули функции, решив уравнение $\frac{1}{4}(x - 1)^2 - 4 = 0$:

$\frac{1}{4}(x - 1)^2 = 4$

$(x - 1)^2 = 16$

$x - 1 = \pm 4$

$x - 1 = 4$ или $x - 1 = -4$

Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.

4. Схематически изобразим параболу. Ветви направлены вверх, точки пересечения с осью Ox – это $x = -3$ и $x = 5$. Необходимо найти значения $x$, для которых $y \le 0$, то есть где график находится на оси Ox или ниже нее. Это выполняется на отрезке между корнями.

Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки $x = -3$ и $x = 5$ включаются в решение.

Ответ: $x \in [-3; 5]$.

г) $-2x^2 - 6x + 8 < 0$

Рассмотрим параболу, заданную функцией $y = -2x^2 - 6x + 8$.

1. Коэффициент $a = -2 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $-2x^2 - 6x + 8 = 0$. Разделим уравнение на -2:

$x^2 + 3x - 4 = 0$

По теореме Виета находим корни:

$x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.

Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -4$ и $x = 1$.

3. Схематически изобразим параболу с ветвями вниз, пересекающую ось Ox в точках -4 и 1. Нам нужно найти значения $x$, при которых $y < 0$, то есть где график функции находится строго ниже оси Ox. Это происходит на интервалах левее точки $x = -4$ и правее точки $x = 1$.

Неравенство строгое (<), поэтому точки $x = -4$ и $x = 1$ в решение не входят.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (1; \infty)$.

20 a) $x^2 + 4x + 4 > 0;$

б) $3x^2 - 6x + 5 > 0;$

в) $-x^2 + 6x - 9 \ge 0;$

г) $-2x^2 + 4x - 7 > 0.$

а) $x^2 + 4x + 4 > 0$

Для решения данного квадратного неравенства рассмотрим левую часть. Выражение $x^2 + 4x + 4$ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x+2)^2$

Таким образом, исходное неравенство можно переписать в виде:

$(x+2)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x+2)^2 \ge 0$. Неравенство является строгим, поэтому нам нужно исключить случай, когда выражение равно нулю.

$(x+2)^2 = 0$ при $x+2 = 0$, то есть при $x = -2$.

Следовательно, неравенство $(x+2)^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = -2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

б) $3x^2 - 6x + 5 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = 3x^2 - 6x + 5$. Её график — парабола. Чтобы определить, как она расположена относительно оси Ox, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 6x + 5 = 0$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 36 - 60 = -24$

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox.

Старший коэффициент $a = 3$ положителен ($a > 0$), значит, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, вся парабола находится выше оси Ox.

Это означает, что выражение $3x^2 - 6x + 5$ всегда принимает положительные значения при любом действительном $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) $-x^2 + 6x - 9 \ge 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на $-1$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 6x + 9 \le 0$

Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$

Неравенство принимает вид:

$(x-3)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной, то есть $(x-3)^2 \ge 0$.

Таким образом, неравенство $(x-3)^2 \le 0$ может выполняться только в одном единственном случае — когда левая часть равна нулю.

$(x-3)^2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$.

г) $-2x^2 + 4x - 7 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -2x^2 + 4x - 7$ и определим знак ее значений. Графиком является парабола. Найдем корни соответствующего уравнения $-2x^2 + 4x - 7 = 0$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-7) = 16 - 56 = -40$

Дискриминант $D < 0$, поэтому действительных корней у уравнения нет, и парабола не пересекает ось Ox.

Старший коэффициент $a = -2$ отрицателен ($a < 0$), следовательно, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что вся парабола расположена ниже оси Ox.

Таким образом, выражение $-2x^2 + 4x - 7$ всегда принимает отрицательные значения при любом действительном $x$.

Исходное неравенство требует, чтобы это выражение было больше нуля, что невозможно.

Ответ: решений нет ( $x \in \emptyset$ ).

21 а) При каких значениях m уравнение $2x^2 - 8x + 5 = m$ имеет один корень, два корня, не имеет корней?

б) При каких значениях k уравнение $-3x^2 - 12x - 7 = k$ имеет один корень, два корня, не имеет корней?

а) Чтобы определить количество корней уравнения $2x^2 - 8x + 5 = m$ в зависимости от параметра $m$, приведем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

$2x^2 - 8x + (5 - m) = 0$

Количество действительных корней квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. В данном случае коэффициенты равны: $a=2$, $b=-8$, $c=5-m$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (5 - m) = 64 - 8(5 - m) = 64 - 40 + 8m = 24 + 8m$.

1. Уравнение имеет один корень, если $D = 0$:
$24 + 8m = 0$
$8m = -24$
$m = -3$

2. Уравнение имеет два корня, если $D > 0$:
$24 + 8m > 0$
$8m > -24$
$m > -3$

3. Уравнение не имеет корней, если $D < 0$:
$24 + 8m < 0$
$8m < -24$
$m < -3$

Ответ: уравнение имеет один корень при $m = -3$, два корня при $m > -3$, не имеет корней при $m < -3$.

б) Рассмотрим уравнение $-3x^2 - 12x - 7 = k$. Аналогично предыдущему пункту, приведем его к стандартному виду и найдем дискриминант.

$-3x^2 - 12x - (7 + k) = 0$

Для удобства умножим все уравнение на $-1$:

$3x^2 + 12x + (7 + k) = 0$

Коэффициенты: $a=3$, $b=12$, $c=7+k$.

Вычислим дискриминант (можно использовать формулу для четверти дискриминанта $D/4 = (b/2)^2 - ac$, так как коэффициент $b$ четный):

$D/4 = (12/2)^2 - 3 \cdot (7 + k) = 6^2 - 3(7 + k) = 36 - 21 - 3k = 15 - 3k$.

1. Уравнение имеет один корень, если $D/4 = 0$:
$15 - 3k = 0$
$3k = 15$
$k = 5$

2. Уравнение имеет два корня, если $D/4 > 0$:
$15 - 3k > 0$
$15 > 3k$
$k < 5$

3. Уравнение не имеет корней, если $D/4 < 0$:
$15 - 3k < 0$
$15 < 3k$
$k > 5$

Ответ: уравнение имеет один корень при $k = 5$, два корня при $k < 5$, не имеет корней при $k > 5$.

22 Постройте график функции $y = \frac{3}{x}$. По графику определите:

а) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[1; 6];

б) значения аргумента, при которых $y > 1$.

Для построения графика функции $y = \frac{3}{x}$ составим таблицу значений. Данная функция является обратной пропорциональностью, ее график — гипербола, состоящая из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях. Ось Ox и ось Oy являются асимптотами графика.

Составим таблицу значений для нескольких точек:

На основе этих точек строим график (гиперболу). Теперь, используя график, ответим на вопросы.

а) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [1; 6];

Рассмотрим часть графика, соответствующую отрезку $x \in [1; 6]$. Это часть ветви гиперболы в первой четверти. На этом отрезке функция монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в левой границе отрезка, а наименьшее — в правой.

При $x = 1$, значение функции $y(1) = \frac{3}{1} = 3$. Это наибольшее значение.

При $x = 6$, значение функции $y(6) = \frac{3}{6} = 0.5$. Это наименьшее значение.

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $[1; 6]$ равно 3, наименьшее значение равно 0.5.

б) значения аргумента, при которых y > 1.

Чтобы найти значения аргумента, при которых $y > 1$, начертим на графике прямую $y = 1$. Нам нужно найти те значения $x$, для которых график функции $y = \frac{3}{x}$ расположен выше этой прямой.

Найдем точку пересечения графика функции и прямой $y=1$:
$\frac{3}{x} = 1 \implies x = 3$.

Из графика видно, что ветвь гиперболы в I четверти находится выше прямой $y=1$ при значениях $x$ от 0 до 3. Ветвь в III четверти полностью лежит ниже оси Ox, то есть все её значения $y$ отрицательны и не могут быть больше 1.

Таким образом, условие $y > 1$ выполняется при $0 < x < 3$.

Ответ: $y > 1$ при $x \in (0; 3)$.

23 Постройте график функции $y = \frac{3}{x-3}$. С помощью графика най-

дите:

а) координаты центра симметрии гиперболы;

б) промежутки монотонности функции.

График функции $y = \frac{3}{x-3}$ является гиперболой. Его можно построить, сдвинув график функции $y = \frac{3}{x}$ на 3 единицы вправо вдоль оси абсцисс.

1. Область определения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x-3 \neq 0$, следовательно, $x \neq 3$. Область определения функции: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2. Асимптоты.

• Вертикальная асимптота: прямая $x = 3$.
• Горизонтальная асимптота: прямая $y = 0$.

3. Построение графика по точкам.

Составим таблицу значений для нескольких точек на каждой ветви гиперболы:

На координатной плоскости строим асимптоты $x=3$ и $y=0$. Затем отмечаем вычисленные точки и соединяем их плавными кривыми (ветвями гиперболы), которые приближаются к асимптотам.

а) координаты центра симметрии гиперболы;

Центр симметрии гиперболы — это точка пересечения ее асимптот. В данном случае это точка пересечения прямых $x=3$ и $y=0$. Следовательно, координаты центра симметрии — $(3; 0)$.

Ответ: $(3; 0)$.

б) промежутки монотонности функции.

По графику видно, что на обоих промежутках области определения функция является убывающей. При увеличении $x$ на промежутке $(-\infty; 3)$ значения $y$ уменьшаются (график идет вниз). Аналогично, при увеличении $x$ на промежутке $(3; +\infty)$ значения $y$ также уменьшаются.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$.

24 Постройте график функции $y = -\frac{4}{x} + 3$. С помощью графика найдите:

а) асимптоты гиперболы;

б) множество значений функции.

Для построения графика функции $y = -\frac{4}{x} + 3$ выполним следующие шаги:

1. Определим тип функции. Это обратная пропорциональность, график которой — гипербола. Функция имеет вид $y = \frac{k}{x} + b$, где $k=-4$ и $b=3$.

2. Найдем базовую функцию. График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = -\frac{4}{x}$ путем сдвига.

3. Проанализируем базовую функцию. Поскольку коэффициент $k=-4$ отрицателен, ветви гиперболы $y = -\frac{4}{x}$ расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами для этой базовой функции служат оси координат: $x=0$ (вертикальная) и $y=0$ (горизонтальная).

4. Применим преобразование. Функция $y = -\frac{4}{x} + 3$ получается из $y = -\frac{4}{x}$ сдвигом всего графика на 3 единицы вверх вдоль оси Oy. При этом вертикальная асимптота $x=0$ остается на месте, а горизонтальная асимптота смещается на 3 единицы вверх и становится прямой $y=3$.

5. Найдем координаты точек для построения. Составим таблицу значений, выбирая удобные значения $x$ (делители числа 4):

• при $x = -4$, $y = -\frac{4}{-4} + 3 = 1 + 3 = 4$. Точка $(-4; 4)$.
• при $x = -2$, $y = -\frac{4}{-2} + 3 = 2 + 3 = 5$. Точка $(-2; 5)$.
• при $x = -1$, $y = -\frac{4}{-1} + 3 = 4 + 3 = 7$. Точка $(-1; 7)$.
• при $x = 1$, $y = -\frac{4}{1} + 3 = -4 + 3 = -1$. Точка $(1; -1)$.
• при $x = 2$, $y = -\frac{4}{2} + 3 = -2 + 3 = 1$. Точка $(2; 1)$.
• при $x = 4$, $y = -\frac{4}{4} + 3 = -1 + 3 = 2$. Точка $(4; 2)$.

Построив в системе координат асимптоты (пунктирными линиями) и отметив вычисленные точки, можно провести через них две ветви гиперболы.

а) асимптоты гиперболы;

Асимптоты — это прямые, к которым неограниченно приближаются ветви графика функции. Для функции вида $y = \frac{k}{x-a} + b$ асимптотами являются прямые $x=a$ и $y=b$.В нашем случае функция $y = -\frac{4}{x} + 3$ может быть записана как $y = \frac{-4}{x-0} + 3$.Вертикальная асимптота определяется из условия, что знаменатель дроби равен нулю: $x-0=0$, то есть $x=0$.Горизонтальная асимптота определяется значением, к которому стремится функция при $x \to \pm\infty$. В этом случае дробь $-\frac{4}{x}$ стремится к 0, а вся функция стремится к 3. Таким образом, горизонтальная асимптота — это прямая $y=3$.
Ответ: $x=0$ и $y=3$.

б) множество значений функции.

Множество значений функции — это совокупность всех значений, которые может принимать $y$.Из графика видно, что он существует при любых значениях $y$, кроме значения, соответствующего горизонтальной асимптоте. Ветви гиперболы бесконечно приближаются к прямой $y=3$, но никогда её не достигают.Алгебраически, чтобы найти множество значений, можно выразить $x$ через $y$ из уравнения функции:$y = -\frac{4}{x} + 3$$y - 3 = -\frac{4}{x}$$x(y - 3) = -4$$x = -\frac{4}{y-3}$Данное выражение определено для всех $y$, кроме тех, что обращают знаменатель в ноль. То есть, $y-3 \neq 0$, откуда $y \neq 3$.Следовательно, функция может принимать любые действительные значения, кроме 3.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.