Номер 21, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 21, страница 221.

Условие.

21 а) При каких значениях m уравнение $2x^2 - 8x + 5 = m$ имеет один корень, два корня, не имеет корней?

б) При каких значениях k уравнение $-3x^2 - 12x - 7 = k$ имеет один корень, два корня, не имеет корней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Чтобы определить количество корней уравнения $2x^2 - 8x + 5 = m$ в зависимости от параметра $m$, приведем его к стандартному виду квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

$2x^2 - 8x + (5 - m) = 0$

Количество действительных корней квадратного уравнения зависит от знака его дискриминанта $D = b^2 - 4ac$. В данном случае коэффициенты равны: $a=2$, $b=-8$, $c=5-m$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (5 - m) = 64 - 8(5 - m) = 64 - 40 + 8m = 24 + 8m$.

1. Уравнение имеет один корень, если $D = 0$:
$24 + 8m = 0$
$8m = -24$
$m = -3$

2. Уравнение имеет два корня, если $D > 0$:
$24 + 8m > 0$
$8m > -24$
$m > -3$

3. Уравнение не имеет корней, если $D < 0$:
$24 + 8m < 0$
$8m < -24$
$m < -3$

Ответ: уравнение имеет один корень при $m = -3$, два корня при $m > -3$, не имеет корней при $m < -3$.

б) Рассмотрим уравнение $-3x^2 - 12x - 7 = k$. Аналогично предыдущему пункту, приведем его к стандартному виду и найдем дискриминант.

$-3x^2 - 12x - (7 + k) = 0$

Для удобства умножим все уравнение на $-1$:

$3x^2 + 12x + (7 + k) = 0$

Коэффициенты: $a=3$, $b=12$, $c=7+k$.

Вычислим дискриминант (можно использовать формулу для четверти дискриминанта $D/4 = (b/2)^2 - ac$, так как коэффициент $b$ четный):

$D/4 = (12/2)^2 - 3 \cdot (7 + k) = 6^2 - 3(7 + k) = 36 - 21 - 3k = 15 - 3k$.

1. Уравнение имеет один корень, если $D/4 = 0$:
$15 - 3k = 0$
$3k = 15$
$k = 5$

2. Уравнение имеет два корня, если $D/4 > 0$:
$15 - 3k > 0$
$15 > 3k$
$k < 5$

3. Уравнение не имеет корней, если $D/4 < 0$:
$15 - 3k < 0$
$15 < 3k$
$k > 5$

Ответ: уравнение имеет один корень при $k = 5$, два корня при $k < 5$, не имеет корней при $k > 5$.