Номер 19, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 19, страница 221.

Условие.

Решите графически квадратное неравенство:

19 a) $0.5(x + 3)^2 - 8 > 0;$

б) $-3x^2 + 6x + 9 \geq 0;$

в) $\frac{1}{4}(x - 1)^2 - 4 \leq 0;$

г) $-2x^2 - 6x + 8 < 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $0,5(x + 3)^2 - 8 > 0$

Для графического решения этого неравенства рассмотрим функцию $y = 0,5(x + 3)^2 - 8$. Графиком этой функции является парабола.

1. Определим направление ветвей параболы. Коэффициент при старшем члене $a = 0,5 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Найдем координаты вершины параболы. Функция представлена в виде $y = a(x - x_v)^2 + y_v$, где $(x_v; y_v)$ – вершина. В нашем случае $x_v = -3$, $y_v = -8$. Вершина находится в точке $(-3; -8)$.

3. Найдем нули функции (точки пересечения с осью Ox), решив уравнение $y=0$:

$0,5(x + 3)^2 - 8 = 0$

$0,5(x + 3)^2 = 8$

$(x + 3)^2 = 16$

$x + 3 = \pm \sqrt{16}$

$x + 3 = 4$ или $x + 3 = -4$

Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -7$.

4. Схематически изобразим параболу. Это парабола с ветвями вверх, пересекающая ось Ox в точках $x = -7$ и $x = 1$. Нам нужно найти значения $x$, при которых $y > 0$, то есть где график функции находится выше оси Ox. Это происходит на интервалах левее точки $x = -7$ и правее точки $x = 1$.

Поскольку неравенство строгое ($>$), точки $x = -7$ и $x = 1$ не включаются в решение.

Ответ: $x \in (-\infty; -7) \cup (1; \infty)$.

б) $-3x^2 + 6x + 9 \ge 0$

Рассмотрим функцию $y = -3x^2 + 6x + 9$. Ее график – парабола.

1. Коэффициент $a = -3 < 0$, значит, ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем нули функции, решив уравнение $-3x^2 + 6x + 9 = 0$. Для удобства разделим все уравнение на -3:

$x^2 - 2x - 3 = 0$

По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни:

$x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -1$ и $x = 3$.

3. Схематически изобразим параболу. Это парабола с ветвями вниз, которая пересекает ось Ox в точках -1 и 3. Нас интересуют значения $x$, при которых $y \ge 0$, то есть где график функции находится на оси Ox или выше нее. Это происходит на отрезке между корнями.

Поскольку неравенство нестрогое ($\ge$), точки $x = -1$ и $x = 3$ включаются в решение.

Ответ: $x \in [-1; 3]$.

в) $\frac{1}{4}(x - 1)^2 - 4 \le 0$

Рассмотрим функцию $y = \frac{1}{4}(x - 1)^2 - 4$. Графиком является парабола.

1. Коэффициент $a = \frac{1}{4} > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх.

2. Функция задана в виде $y = a(x - x_v)^2 + y_v$. Вершина параболы находится в точке $(1; -4)$.

3. Найдем нули функции, решив уравнение $\frac{1}{4}(x - 1)^2 - 4 = 0$:

$\frac{1}{4}(x - 1)^2 = 4$

$(x - 1)^2 = 16$

$x - 1 = \pm 4$

$x - 1 = 4$ или $x - 1 = -4$

Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -3$.

4. Схематически изобразим параболу. Ветви направлены вверх, точки пересечения с осью Ox – это $x = -3$ и $x = 5$. Необходимо найти значения $x$, для которых $y \le 0$, то есть где график находится на оси Ox или ниже нее. Это выполняется на отрезке между корнями.

Так как неравенство нестрогое ($\le$), точки $x = -3$ и $x = 5$ включаются в решение.

Ответ: $x \in [-3; 5]$.

г) $-2x^2 - 6x + 8 < 0$

Рассмотрим параболу, заданную функцией $y = -2x^2 - 6x + 8$.

1. Коэффициент $a = -2 < 0$, поэтому ветви параболы направлены вниз.

2. Найдем точки пересечения с осью Ox, решив уравнение $-2x^2 - 6x + 8 = 0$. Разделим уравнение на -2:

$x^2 + 3x - 4 = 0$

По теореме Виета находим корни:

$x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.

Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -4$ и $x = 1$.

3. Схематически изобразим параболу с ветвями вниз, пересекающую ось Ox в точках -4 и 1. Нам нужно найти значения $x$, при которых $y < 0$, то есть где график функции находится строго ниже оси Ox. Это происходит на интервалах левее точки $x = -4$ и правее точки $x = 1$.

Неравенство строгое (<), поэтому точки $x = -4$ и $x = 1$ в решение не входят.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (1; \infty)$.