Номер 18, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 18, страница 221.

Условие.

18 Решите графически систему уравнений:

a) $\begin{cases} y = (x + 3)^2 - 3 \\ y = x + 6 \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = -x^2 - 4x \\ y = (x + 1)^2 - 1 \end{cases}$

в) $\begin{cases} y = 2x + 5 \\ y = -x^2 + 8x - 3 \end{cases}$

г) $\begin{cases} y = x^2 - 6x + 6 \\ y = -(x - 4)^2 + 2 \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для решения данной системы уравнений графически необходимо построить графики обеих функций в одной координатной плоскости и найти точки их пересечения.

Первое уравнение: $y = (x + 3)^2 - 3$. Графиком этой функции является парабола. Это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 3 единицы влево по оси Ox и на 3 единицы вниз по оси Oy. Вершина параболы находится в точке $(-3; -3)$, а ветви направлены вверх. Для более точного построения найдем несколько точек:
при $x = -5$, $y = (-5 + 3)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$;
при $x = -4$, $y = (-4 + 3)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$;
при $x = -2$, $y = (-2 + 3)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$;
при $x = -1$, $y = (-1 + 3)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$;
при $x = 0$, $y = (0 + 3)^2 - 3 = 9 - 3 = 6$.

Второе уравнение: $y = x + 6$. Графиком этой функции является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, например, $(0; 6)$ и $(-6; 0)$.

Построив оба графика в одной системе координат, мы увидим, что они пересекаются в двух точках. Координаты этих точек и будут решением системы. Из графика находим точки пересечения: $(-5; 1)$ и $(0; 6)$.

Ответ: $(-5; 1), (0; 6)$.

б) Для решения системы построим графики функций $y = -x^2 - 4x$ и $y = (x + 1)^2 - 1$.

Первая функция: $y = -x^2 - 4x$. Это парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ отрицательный). Найдем координаты ее вершины: $x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-(-4)}{2(-1)} = -2$. $y_0 = -(-2)^2 - 4(-2) = -4 + 8 = 4$. Вершина находится в точке $(-2; 4)$. Парабола пересекает ось Ox в точках, где $y=0$, т.е. $-x(x+4)=0$, откуда $x=0$ и $x=-4$. Точки: $(0;0)$ и $(-4;0)$.

Вторая функция: $y = (x + 1)^2 - 1$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Ее вершина находится в точке $(-1; -1)$. Парабола пересекает ось Ox в точках, где $(x+1)^2-1=0$, т.е. $(x+1)^2=1$, откуда $x+1=\pm1$. Получаем $x=0$ и $x=-2$. Точки: $(0;0)$ и $(-2;0)$.

Построив обе параболы, находим их точки пересечения. Из графиков видно, что это точки с координатами $(-3; 3)$ и $(0; 0)$.

Ответ: $(-3; 3), (0; 0)$.

в) Решим систему графически, построив графики функций $y = 2x + 5$ и $y = -x^2 + 8x - 3$.

Первая функция: $y = 2x + 5$. Это прямая. Для построения возьмем две точки: при $x=0$, $y=5$ (точка $(0; 5)$), и при $x=1$, $y=2(1)+5=7$ (точка $(1; 7)$).

Вторая функция: $y = -x^2 + 8x - 3$. Это парабола, ветви которой направлены вниз. Найдем ее вершину: $x_0 = \frac{-b}{2a} = \frac{-8}{2(-1)} = 4$. $y_0 = -(4)^2 + 8(4) - 3 = -16 + 32 - 3 = 13$. Вершина в точке $(4; 13)$. Для построения найдем еще несколько точек: при $x=2$, $y=-(2)^2+8(2)-3 = -4+16-3 = 9$. При $x=3$, $y=-(3)^2+8(3)-3 = -9+24-3 = 12$.

Строим графики в одной системе координат. Точки пересечения прямой и параболы являются решением системы. По графику определяем координаты этих точек: $(2; 9)$ и $(4; 13)$.

Ответ: $(2; 9), (4; 13)$.

г) Для решения системы построим графики парабол $y = x^2 - 6x + 6$ и $y = -(x - 4)^2 + 2$.

Первая парабола: $y = x^2 - 6x + 6$. Ветви направлены вверх. Координаты вершины: $x_0 = \frac{-(-6)}{2(1)} = 3$. $y_0 = 3^2 - 6(3) + 6 = 9 - 18 + 6 = -3$. Вершина в точке $(3; -3)$. Найдем несколько точек: при $x=2$, $y=2^2-6(2)+6 = 4-12+6 = -2$. При $x=5$, $y=5^2-6(5)+6=25-30+6=1$.

Вторая парабола: $y = -(x - 4)^2 + 2$. Ветви направлены вниз. Вершина находится в точке $(4; 2)$. Найдем несколько точек: при $x=3$, $y=-(3-4)^2+2 = -1+2 = 1$. При $x=5$, $y=-(5-4)^2+2 = -1+2 = 1$.

Построим обе параболы в одной системе координат. Точки их пересечения и будут решением. Из графика видно, что это точки с координатами $(2; -2)$ и $(5; 1)$.

Ответ: $(2; -2), (5; 1)$.