Номер 14, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 14, страница 218.

Условие.

14 Постройте график функции $y = x^2 - 6x$. С помощью графика найдите:

а) корни уравнения $x^2 - 6x = -5$;

б) решение неравенства $x^2 - 6x \ge 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = x^2 - 6x$ необходимо выполнить несколько шагов. Данная функция является квадратичной, поэтому её график — парабола.

1. Направление ветвей.
   Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля ($a=1 > 0$), следовательно, ветви параболы направлены вверх.
2. Координаты вершины.
   Абсциссу вершины параболы найдем по формуле $x_v = -\frac{b}{2a}$. Для нашей функции $a=1, b=-6$.

   $x_v = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3$.

   Ординату вершины найдем, подставив значение $x_v$ в уравнение функции:

   $y_v = (3)^2 - 6 \cdot 3 = 9 - 18 = -9$.

   Таким образом, вершина параболы находится в точке $(3, -9)$.
3. Точки пересечения с осями координат.
   Пересечение с осью ординат (осью Oy) происходит при $x=0$:

   $y = 0^2 - 6 \cdot 0 = 0$.

   Точка пересечения — $(0, 0)$.
   Пересечение с осью абсцисс (осью Ox) происходит при $y=0$:

   $x^2 - 6x = 0$

   $x(x-6) = 0$

   $x_1 = 0$, $x_2 = 6$.

   Точки пересечения — $(0, 0)$ и $(6, 0)$.
4. Дополнительные точки.
   Для более точного построения графика составим таблицу значений, выбрав точки симметрично относительно оси симметрии параболы $x=3$.

   x	-1	0	1	2	3	4	5	6	7
   y	7	0	-5	-8	-9	-8	-5	0	7

Построив параболу по этим точкам, мы можем использовать график для решения поставленных задач.

---

а) корни уравнения $x^2 - 6x = -5$

Чтобы найти корни уравнения $x^2 - 6x = -5$ графически, нужно найти абсциссы точек пересечения графика функции $y = x^2 - 6x$ и прямой $y = -5$.

Мысленно или с помощью линейки проведём на графике горизонтальную прямую на уровне $y=-5$. Эта прямая пересечет параболу в двух точках. Из построенного графика и таблицы значений видно, что ординату $y=-5$ имеют точки с абсциссами $x=1$ и $x=5$.

Таким образом, решениями уравнения являются $x=1$ и $x=5$.

Ответ: $1; 5$.

б) решение неравенства $x^2 - 6x \geq 0$

Чтобы решить неравенство $x^2 - 6x \geq 0$ графически, нужно найти все значения $x$, для которых график функции $y=x^2-6x$ расположен на оси Ox или выше неё (то есть $y \geq 0$).

Глядя на график, мы видим, что парабола пересекает ось Ox в точках $x=0$ и $x=6$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому значения функции неотрицательны ($y \geq 0$) на двух промежутках: левее точки $x=0$ и правее точки $x=6$, включая сами эти точки.

Следовательно, решение неравенства — это объединение двух лучей: $(-\infty, 0]$ и $[6, \infty)$.

Ответ: $(-\infty, 0] \cup [6, \infty)$.