Номер 12, страница 218, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 12, страница 218.

Условие.

12 Постройте график функции $y = 0,5x^2 - x - 1,5$. С помощью графика найдите:

а) промежутки возрастания и убывания функции;

б) наименьшее значение функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = 0,5x^2 - x - 1,5$, которая является параболой, найдем ее ключевые точки.

Это квадратичная функция вида $y = ax^2 + bx + c$ с коэффициентами $a = 0,5$, $b = -1$, $c = -1,5$. Так как $a = 0,5 > 0$, ветви параболы направлены вверх.

1. Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$.

Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_в = -\frac{b}{2a}$:

$x_в = -\frac{-1}{2 \cdot 0,5} = \frac{1}{1} = 1$.

Подставим $x_в = 1$ в уравнение функции, чтобы найти ординату вершины:

$y_в = 0,5(1)^2 - 1 - 1,5 = 0,5 - 1 - 1,5 = -2$.

Таким образом, вершина параболы находится в точке $(1; -2)$.

2. Найдем точки пересечения с осями координат.

Пересечение с осью Oy (при $x=0$):

$y = 0,5(0)^2 - 0 - 1,5 = -1,5$. Точка пересечения: $(0; -1,5)$.

Пересечение с осью Ox (при $y=0$):

$0,5x^2 - x - 1,5 = 0$.

Умножим уравнение на 2 для удобства:

$x^2 - 2x - 3 = 0$.

Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 2, а их произведение равно -3. Корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -1$.

Точки пересечения с осью Ox: $(-1; 0)$ и $(3; 0)$.

3. Найдем несколько дополнительных точек для точности построения.

Составим таблицу значений, используя найденные точки и симметрию относительно оси $x=1$:

$x$	-2	-1	0	1	2	3	4
$y$	2,5	0	-1,5	-2	-1,5	0	2,5

Построим график по найденным точкам. График функции — парабола с вершиной в точке $(1; -2)$, ветви которой направлены вверх. Парабола пересекает ось Oy в точке $(0; -1,5)$ и ось Ox в точках $(-1; 0)$ и $(3; 0)$.

Теперь, используя свойства графика, ответим на вопросы.

а) промежутки возрастания и убывания функции;

Вершина параболы находится в точке с абсциссой $x=1$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция убывает на промежутке слева от вершины и возрастает на промежутке справа от вершины. Таким образом, функция убывает при $x \le 1$ и возрастает при $x \ge 1$.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty; 1]$ и возрастает на промежутке $[1; +\infty)$.

б) наименьшее значение функции.

Так как ветви параболы направлены вверх, ее вершина является точкой минимума. Наименьшее значение функции равно ординате вершины параболы. Ордината вершины равна $y_в = -2$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -2.