Номер 17, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 17, страница 220.

Условие.

17 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на данном промежутке:

а) $y = 2x^2 + 4x - 6$ на отрезке $[-3; -1];$

б) $y = -\frac{1}{3}(x + 4)^2$ на отрезке $[-7; -4];$

в) $y = 3x^2 - 6$ на луче $[-1; +\infty);$

г) $y = -2x^2 + 8x$ на интервале $(0; 4).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Дана функция $y = 2x^2 + 4x - 6$ на отрезке $[-3; -1]$.

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ ($a=2$) положителен, ветви параболы направлены вверх. Наименьшее и наибольшее значения на замкнутом отрезке функция достигает либо в вершине, либо на концах отрезка.

Найдем абсциссу вершины параболы по формуле $x_0 = -\frac{b}{2a}$:

$x_0 = -\frac{4}{2 \cdot 2} = -1$.

Абсцисса вершины $x_0 = -1$ совпадает с правым концом отрезка $[-3; -1]$. Это означает, что на всем отрезке функция является монотонно убывающей.

Следовательно, наименьшее значение достигается в правой крайней точке отрезка ($x = -1$), а наибольшее — в левой ($x = -3$).

Вычислим эти значения:

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = 2(-1)^2 + 4(-1) - 6 = 2 - 4 - 6 = -8$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-3) = 2(-3)^2 + 4(-3) - 6 = 2 \cdot 9 - 12 - 6 = 18 - 18 = 0$.

Ответ: наименьшее значение -8, наибольшее значение 0.

б) Дана функция $y = -\frac{1}{3}(x + 4)^2$ на отрезке $[-7; -4]$.

Это квадратичная функция, график — парабола с ветвями вниз ($a = -\frac{1}{3} < 0$). Наибольшее значение функция достигает в вершине.

Функция задана в виде $y=a(x-x_0)^2+y_0$, откуда видно, что вершина параболы находится в точке с абсциссой $x_0 = -4$.

Абсцисса вершины $x_0 = -4$ совпадает с правым концом отрезка $[-7; -4]$. Это означает, что на данном отрезке функция является монотонно возрастающей.

Следовательно, наибольшее значение достигается в точке $x = -4$, а наименьшее — в точке $x = -7$.

Вычислим эти значения:

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-4) = -\frac{1}{3}(-4 + 4)^2 = 0$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-7) = -\frac{1}{3}(-7 + 4)^2 = -\frac{1}{3}(-3)^2 = -\frac{1}{3} \cdot 9 = -3$.

Ответ: наименьшее значение -3, наибольшее значение 0.

в) Дана функция $y = 3x^2 - 6$ на луче $[-1; +\infty)$.

Это парабола с ветвями, направленными вверх ($a = 3 > 0$). Вершина параболы находится в точке $x_0 = 0$.

Точка $x_0 = 0$ принадлежит лучу $[-1; +\infty)$. Поскольку ветви параболы направлены вверх, в этой точке функция достигает своего глобального минимума, который и будет наименьшим значением на данном луче.

$y_{наим} = y(0) = 3(0)^2 - 6 = -6$.

Так как на луче $[-1; +\infty)$ переменная $x$ может принимать сколь угодно большие значения, а ветви параболы направлены вверх, функция неограниченно возрастает. Следовательно, наибольшего значения у функции на данном луче не существует.

Ответ: наименьшее значение -6, наибольшего значения не существует.

г) Дана функция $y = -2x^2 + 8x$ на интервале $(0; 4)$.

Это парабола с ветвями, направленными вниз ($a = -2 < 0$). Наибольшее значение функция достигает в своей вершине.

Найдем абсциссу вершины:

$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{8}{2 \cdot (-2)} = 2$.

Точка $x_0 = 2$ принадлежит интервалу $(0; 4)$. Так как ветви параболы направлены вниз, в этой точке функция достигает своего наибольшего значения.

$y_{наиб} = y(2) = -2(2)^2 + 8(2) = -2 \cdot 4 + 16 = -8 + 16 = 8$.

Интервал $(0; 4)$ является открытым, то есть концы интервала $x=0$ и $x=4$ не включаются в область рассмотрения. Найдем значения функции в этих точках, чтобы понять поведение функции на границах:

$y(0) = -2(0)^2 + 8(0) = 0$.

$y(4) = -2(4)^2 + 8(4) = -32 + 32 = 0$.

Функция стремится к 0 на концах интервала, но никогда не достигает этого значения, принимая значения, сколь угодно близкие к 0. Следовательно, наименьшего значения у функции на данном интервале не существует.

Ответ: наибольшее значение 8, наименьшего значения не существует.