Номер 16, страница 220, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 16, страница 220.

Условие.

16 Используя график квадратичной функции, определите, при каких значениях $x$ выполняется условие $y = 0$, $y > 0$, $y < 0$:

а) $y = -2x^2 + 12x - 10;$

б) $y = 0.5(x + 5)^2 - 8;$

в) $y = 3x^2 + 12x + 9;$

г) $y = -(x - 2)^2 + 9.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для решения задачи необходимо для каждой квадратичной функции определить направление ветвей параболы и найти ее нули (точки пересечения с осью абсцисс). Зная эти два параметра, можно определить промежутки, на которых функция положительна ($y > 0$) или отрицательна ($y < 0$).

а) y = -2x² + 12x - 10

1. Направление ветвей. Коэффициент при $x^2$ равен $a = -2$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Нули функции ($y=0$). Решим уравнение: $-2x^2 + 12x - 10 = 0$ Разделим все члены уравнения на $-2$: $x^2 - 6x + 5 = 0$ По теореме Виета (или через дискриминант) находим корни: $x_1 = 1$, $x_2 = 5$.

3. Анализ знаков. Парабола с ветвями вниз пересекает ось Ox в точках $x=1$ и $x=5$.

• $y = 0$ в точках пересечения, т.е. при $x=1$ и $x=5$.
• $y > 0$ (график выше оси Ox) между корнями, т.е. при $x \in (1; 5)$.
• $y < 0$ (график ниже оси Ox) за пределами корней, т.е. при $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$.

Ответ: $y = 0$ при $x=1, x=5$; $y > 0$ при $x \in (1; 5)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; 1) \cup (5; +\infty)$.

б) y = 0,5(x + 5)² - 8

1. Направление ветвей. Коэффициент $a = 0,5$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Нули функции ($y=0$). Решим уравнение: $0,5(x + 5)^2 - 8 = 0$ $0,5(x + 5)^2 = 8$ $(x + 5)^2 = 16$ $x + 5 = \pm4$ Отсюда получаем два корня: $x_1 = 4 - 5 = -1$ $x_2 = -4 - 5 = -9$

3. Анализ знаков. Парабола с ветвями вверх пересекает ось Ox в точках $x=-9$ и $x=-1$.

• $y = 0$ при $x=-9$ и $x=-1$.
• $y > 0$ за пределами корней, т.е. при $x \in (-\infty; -9) \cup (-1; +\infty)$.
• $y < 0$ между корнями, т.е. при $x \in (-9; -1)$.

Ответ: $y = 0$ при $x=-9, x=-1$; $y > 0$ при $x \in (-\infty; -9) \cup (-1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-9; -1)$.

в) y = 3x² + 12x + 9

1. Направление ветвей. Коэффициент $a = 3$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.

2. Нули функции ($y=0$). Решим уравнение: $3x^2 + 12x + 9 = 0$ Разделим все члены уравнения на $3$: $x^2 + 4x + 3 = 0$ По теореме Виета находим корни: $x_1 = -1$, $x_2 = -3$.

3. Анализ знаков. Парабола с ветвями вверх пересекает ось Ox в точках $x=-3$ и $x=-1$.

• $y = 0$ при $x=-3$ и $x=-1$.
• $y > 0$ за пределами корней, т.е. при $x \in (-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)$.
• $y < 0$ между корнями, т.е. при $x \in (-3; -1)$.

Ответ: $y = 0$ при $x=-3, x=-1$; $y > 0$ при $x \in (-\infty; -3) \cup (-1; +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-3; -1)$.

г) y = -(x - 2)² + 9

1. Направление ветвей. Коэффициент $a = -1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.

2. Нули функции ($y=0$). Решим уравнение: $-(x - 2)^2 + 9 = 0$ $(x - 2)^2 = 9$ $x - 2 = \pm3$ Отсюда получаем два корня: $x_1 = 3 + 2 = 5$ $x_2 = -3 + 2 = -1$

3. Анализ знаков. Парабола с ветвями вниз пересекает ось Ox в точках $x=-1$ и $x=5$.

• $y = 0$ при $x=-1$ и $x=5$.
• $y > 0$ между корнями, т.е. при $x \in (-1; 5)$.
• $y < 0$ за пределами корней, т.е. при $x \in (-\infty; -1) \cup (5; +\infty)$.

Ответ: $y = 0$ при $x=-1, x=5$; $y > 0$ при $x \in (-1; 5)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty; -1) \cup (5; +\infty)$.