Номер 20, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 20, страница 221.

Условие.

20 a) $x^2 + 4x + 4 > 0;$

б) $3x^2 - 6x + 5 > 0;$

в) $-x^2 + 6x - 9 \ge 0;$

г) $-2x^2 + 4x - 7 > 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $x^2 + 4x + 4 > 0$

Для решения данного квадратного неравенства рассмотрим левую часть. Выражение $x^2 + 4x + 4$ является полным квадратом суммы. Воспользуемся формулой сокращенного умножения $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

$x^2 + 4x + 4 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2 = (x+2)^2$

Таким образом, исходное неравенство можно переписать в виде:

$(x+2)^2 > 0$

Квадрат любого действительного числа всегда неотрицателен, то есть $(x+2)^2 \ge 0$. Неравенство является строгим, поэтому нам нужно исключить случай, когда выражение равно нулю.

$(x+2)^2 = 0$ при $x+2 = 0$, то есть при $x = -2$.

Следовательно, неравенство $(x+2)^2 > 0$ выполняется для всех действительных чисел $x$, кроме $x = -2$.

Ответ: $x \in (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

б) $3x^2 - 6x + 5 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = 3x^2 - 6x + 5$. Её график — парабола. Чтобы определить, как она расположена относительно оси Ox, найдем корни соответствующего квадратного уравнения $3x^2 - 6x + 5 = 0$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 36 - 60 = -24$

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Это означает, что парабола не пересекает ось Ox.

Старший коэффициент $a = 3$ положителен ($a > 0$), значит, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, вся парабола находится выше оси Ox.

Это означает, что выражение $3x^2 - 6x + 5$ всегда принимает положительные значения при любом действительном $x$.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

в) $-x^2 + 6x - 9 \ge 0$

Для удобства умножим обе части неравенства на $-1$, изменив при этом знак неравенства на противоположный:

$x^2 - 6x + 9 \le 0$

Левая часть неравенства представляет собой полный квадрат разности. Воспользуемся формулой $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x-3)^2$

Неравенство принимает вид:

$(x-3)^2 \le 0$

Квадрат любого действительного числа всегда является неотрицательной величиной, то есть $(x-3)^2 \ge 0$.

Таким образом, неравенство $(x-3)^2 \le 0$ может выполняться только в одном единственном случае — когда левая часть равна нулю.

$(x-3)^2 = 0$

$x - 3 = 0$

$x = 3$

Ответ: $x = 3$.

г) $-2x^2 + 4x - 7 > 0$

Рассмотрим квадратичную функцию $y = -2x^2 + 4x - 7$ и определим знак ее значений. Графиком является парабола. Найдем корни соответствующего уравнения $-2x^2 + 4x - 7 = 0$.

Вычислим дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot (-2) \cdot (-7) = 16 - 56 = -40$

Дискриминант $D < 0$, поэтому действительных корней у уравнения нет, и парабола не пересекает ось Ox.

Старший коэффициент $a = -2$ отрицателен ($a < 0$), следовательно, ветви параболы направлены вниз. Это означает, что вся парабола расположена ниже оси Ox.

Таким образом, выражение $-2x^2 + 4x - 7$ всегда принимает отрицательные значения при любом действительном $x$.

Исходное неравенство требует, чтобы это выражение было больше нуля, что невозможно.

Ответ: решений нет ( $x \in \emptyset$ ).