Номер 25, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 25, страница 222.

Условие.

25 Используя график функции $y = -\frac{6}{x + 3} - 2$, найдите:

а) область определения и множество значений функции;

б) промежутки монотонности функции;

в) координаты центра симметрии гиперболы;

г) асимптоты гиперболы.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Дана функция $y = -\frac{6}{x+3} - 2$. Это гипербола, полученная из графика функции $y = -\frac{6}{x}$ путем сдвига на 3 единицы влево по оси Ox и на 2 единицы вниз по оси Oy.

а) область определения и множество значений функции;
Область определения функции $D(y)$ — это все значения аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для данной функции знаменатель дроби не может быть равен нулю.
$x + 3 \neq 0$
$x \neq -3$
Следовательно, область определения — это все действительные числа, кроме -3.
Множество значений функции $E(y)$ — это все значения, которые может принимать $y$. Дробное выражение $-\frac{6}{x+3}$ не может быть равно нулю, так как числитель не равен нулю. Следовательно, вся функция не может быть равна -2.
$y \neq 0 - 2$
$y \neq -2$
Следовательно, множество значений — это все действительные числа, кроме -2.
Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$, множество значений $E(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

б) промежутки монотонности функции;
Для определения промежутков монотонности найдем производную функции:
$y' = \left(-\frac{6}{x+3} - 2\right)' = (-6(x+3)^{-1} - 2)' = -6 \cdot (-1)(x+3)^{-2} \cdot 1 - 0 = \frac{6}{(x+3)^2}$.
Так как $(x+3)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то производная $y' = \frac{6}{(x+3)^2}$ всегда положительна ($y' > 0$).
Если производная функции положительна на некотором промежутке, то функция на этом промежутке возрастает.
Таким образом, функция возрастает на всей своей области определения.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3)$ и $(-3; +\infty)$.

в) координаты центра симметрии гиперболы;
График функции $y = \frac{k}{x-a} + b$ имеет центр симметрии в точке $(a; b)$.
В нашем случае функция имеет вид $y = \frac{-6}{x-(-3)} + (-2)$.
Отсюда $a = -3$ и $b = -2$.
Центр симметрии — это точка пересечения асимптот.
Ответ: $(-3; -2)$.

г) асимптоты гиперболы.
Асимптоты гиперболы вида $y = \frac{k}{x-a} + b$ — это прямые $x=a$ (вертикальная асимптота) и $y=b$ (горизонтальная асимптота).
Вертикальная асимптота соответствует значению $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $x+3=0 \implies x=-3$.
Горизонтальная асимптота соответствует значению, к которому стремится $y$ при $x \to \pm\infty$. При $x \to \pm\infty$, дробь $-\frac{6}{x+3} \to 0$, следовательно $y \to -2$.
Ответ: вертикальная асимптота: $x = -3$; горизонтальная асимптота: $y = -2$.