Номер 29, страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 29, страница 222.

Условие.

29 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на указанном промежутке:

a) $y = -\frac{6}{x}$ на луче $[1; +\infty)$;

б) $y = \frac{4}{x+1}$ на отрезке $[0; 3];$

в) $y = \frac{8}{x} - 2$ на отрезке $[-4; -1];$

г) $y = -\frac{4}{x-3} + 1$ на полуинтервале $(3; 7].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = -\frac{6}{x}$ на луче $[1; +\infty)$

Данная функция является преобразованием гиперболы. Рассмотрим поведение функции $f(x) = \frac{1}{x}$. На промежутке $(0; +\infty)$ эта функция является убывающей. Следовательно, функция $g(x) = \frac{6}{x}$ также является убывающей на этом промежутке.

Наша функция $y(x) = -g(x) = -\frac{6}{x}$ получается умножением убывающей функции на -1, что меняет характер монотонности на противоположный. Таким образом, на луче $[1; +\infty)$, который является частью промежутка $(0; +\infty)$, функция $y = -\frac{6}{x}$ монотонно возрастает.

Поскольку функция возрастает, свое наименьшее значение она принимает в левой крайней точке промежутка, то есть при $x=1$.

$y_{наим} = y(1) = -\frac{6}{1} = -6$.

Наибольшего значения функция не достигает, так как при $x \to +\infty$ значение функции стремится к 0, но никогда его не достигает: $\lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{6}{x}\right) = 0$. Верхняя грань значений функции равна 0, но это значение не является максимумом.

Ответ: наименьшее значение функции равно -6, наибольшего значения не существует.

б) $y = \frac{4}{x+1}$ на отрезке $[0; 3]$

Функция является смещенной гиперболой. На заданном отрезке $[0; 3]$ знаменатель $x+1$ положителен и возрастает (от $0+1=1$ до $3+1=4$).

Поскольку знаменатель $x+1$ положительный и монотонно возрастает на данном отрезке, то обратная величина $\frac{1}{x+1}$ будет монотонно убывать. Соответственно, функция $y = \frac{4}{x+1}$ (полученная умножением на положительную константу 4) также будет монотонно убывать на отрезке $[0; 3]$.

Так как функция убывает, ее наибольшее значение достигается в левой крайней точке отрезка ($x=0$), а наименьшее — в правой ($x=3$).

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = \frac{4}{0+1} = 4$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(3) = \frac{4}{3+1} = \frac{4}{4} = 1$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 1, наибольшее значение равно 4.

в) $y = \frac{8}{x} - 2$ на отрезке $[-4; -1]$

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{8}{x}$. На промежутке $(-\infty; 0)$ эта функция является убывающей. Заданный отрезок $[-4; -1]$ полностью лежит в этом промежутке.

Функция $y(x) = \frac{8}{x} - 2$ получается из $f(x)$ сдвигом на 2 единицы вниз по оси ординат. Такой сдвиг не меняет характер монотонности. Следовательно, функция $y = \frac{8}{x} - 2$ монотонно убывает на отрезке $[-4; -1]$.

Поскольку функция убывает, ее наибольшее значение будет в левой крайней точке отрезка ($x=-4$), а наименьшее — в правой ($x=-1$).

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-4) = \frac{8}{-4} - 2 = -2 - 2 = -4$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = \frac{8}{-1} - 2 = -8 - 2 = -10$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -10, наибольшее значение равно -4.

г) $y = -\frac{4}{x-3} + 1$ на полуинтервале $(3; 7]$

Рассмотрим поведение функции на заданном полуинтервале. На промежутке $(3; +\infty)$ выражение $x-3$ положительно и возрастает.

Функция $f(u) = \frac{1}{u}$ является убывающей для $u > 0$. Значит, функция $g(x) = \frac{4}{x-3}$ также является убывающей на $(3; +\infty)$, так как $x-3>0$.

Наша функция $y(x) = -\frac{4}{x-3} + 1$ получается из $g(x)$ путем умножения на -1 (что меняет убывание на возрастание) и сдвигом на 1 вверх (что не меняет характер монотонности). Таким образом, функция $y(x)$ монотонно возрастает на всем полуинтервале $(3; 7]$.

Так как функция возрастает, свое наибольшее значение она принимает в самой правой точке промежутка, которая в него включена, то есть при $x=7$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(7) = -\frac{4}{7-3} + 1 = -\frac{4}{4} + 1 = -1 + 1 = 0$.

Наименьшего значения функция не достигает. Левая граница $x=3$ не включена в интервал. При приближении $x$ к 3 справа ($x \to 3^+$), знаменатель $x-3$ стремится к 0 с положительной стороны ($x-3 \to 0^+$). Тогда дробь $\frac{4}{x-3}$ стремится к $+\infty$, а выражение $-\frac{4}{x-3}$ стремится к $-\infty$. Таким образом, функция не ограничена снизу на данном интервале, и ее наименьшего значения не существует.

$\lim_{x \to 3^+} \left(-\frac{4}{x-3} + 1\right) = -\infty$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 0, наименьшего значения не существует.