Страница 222, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

25 Используя график функции $y = -\frac{6}{x + 3} - 2$, найдите:

а) область определения и множество значений функции;

б) промежутки монотонности функции;

в) координаты центра симметрии гиперболы;

г) асимптоты гиперболы.

Дана функция $y = -\frac{6}{x+3} - 2$. Это гипербола, полученная из графика функции $y = -\frac{6}{x}$ путем сдвига на 3 единицы влево по оси Ox и на 2 единицы вниз по оси Oy.

а) область определения и множество значений функции;
Область определения функции $D(y)$ — это все значения аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для данной функции знаменатель дроби не может быть равен нулю.
$x + 3 \neq 0$
$x \neq -3$
Следовательно, область определения — это все действительные числа, кроме -3.
Множество значений функции $E(y)$ — это все значения, которые может принимать $y$. Дробное выражение $-\frac{6}{x+3}$ не может быть равно нулю, так как числитель не равен нулю. Следовательно, вся функция не может быть равна -2.
$y \neq 0 - 2$
$y \neq -2$
Следовательно, множество значений — это все действительные числа, кроме -2.
Ответ: область определения $D(y) = (-\infty; -3) \cup (-3; +\infty)$, множество значений $E(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

б) промежутки монотонности функции;
Для определения промежутков монотонности найдем производную функции:
$y' = \left(-\frac{6}{x+3} - 2\right)' = (-6(x+3)^{-1} - 2)' = -6 \cdot (-1)(x+3)^{-2} \cdot 1 - 0 = \frac{6}{(x+3)^2}$.
Так как $(x+3)^2 > 0$ для всех $x$ из области определения, то производная $y' = \frac{6}{(x+3)^2}$ всегда положительна ($y' > 0$).
Если производная функции положительна на некотором промежутке, то функция на этом промежутке возрастает.
Таким образом, функция возрастает на всей своей области определения.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -3)$ и $(-3; +\infty)$.

в) координаты центра симметрии гиперболы;
График функции $y = \frac{k}{x-a} + b$ имеет центр симметрии в точке $(a; b)$.
В нашем случае функция имеет вид $y = \frac{-6}{x-(-3)} + (-2)$.
Отсюда $a = -3$ и $b = -2$.
Центр симметрии — это точка пересечения асимптот.
Ответ: $(-3; -2)$.

г) асимптоты гиперболы.
Асимптоты гиперболы вида $y = \frac{k}{x-a} + b$ — это прямые $x=a$ (вертикальная асимптота) и $y=b$ (горизонтальная асимптота).
Вертикальная асимптота соответствует значению $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $x+3=0 \implies x=-3$.
Горизонтальная асимптота соответствует значению, к которому стремится $y$ при $x \to \pm\infty$. При $x \to \pm\infty$, дробь $-\frac{6}{x+3} \to 0$, следовательно $y \to -2$.
Ответ: вертикальная асимптота: $x = -3$; горизонтальная асимптота: $y = -2$.

26 Функция задана формулой:

а) $y = \frac{1}{x} + 4;$

б) $y = -\frac{4}{x - 3} + 5;$

в) $y = -\frac{2}{x - 5};$

г) $y = -\frac{3}{x + 1} - 2.$

Не выполняя построения графика, найдите:

1) область определения функции;

2) множество значений функции;

3) промежутки монотонности функции;

4) координаты центра симметрии гиперболы;

5) асимптоты гиперболы.

а) $y = \frac{1}{x} + 4$

Это функция вида $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $k=1$, $a=0$, $b=4$.

1) область определения функции;
Область определения функции - это все значения аргумента $x$, при которых функция имеет смысл. Для данной функции знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
$x \neq 0$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

2) множество значений функции;
Множество значений функции - это все значения, которые может принимать $y$. Выражение $\frac{1}{x}$ не может быть равно нулю. Следовательно, $y$ не может быть равно $4$.
$y = \frac{1}{x} + 4 \implies y - 4 = \frac{1}{x} \implies y-4 \neq 0 \implies y \neq 4$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 4) \cup (4; +\infty)$.

3) промежутки монотонности функции;
Поскольку коэффициент $k=1 > 0$, функция является убывающей на каждом из интервалов своей области определения.
Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.

4) координаты центра симметрии гиперболы;
Центр симметрии гиперболы $y = \frac{k}{x-a} + b$ находится в точке $(a; b)$. Для данной функции $a=0$ и $b=4$.
Ответ: $(0; 4)$.

5) асимптоты гиперболы.
Вертикальная асимптота - это прямая $x=a$, а горизонтальная асимптота - это прямая $y=b$.
Ответ: вертикальная асимптота $x=0$, горизонтальная асимптота $y=4$.

б) $y = -\frac{4}{x - 3} + 5$

Это функция вида $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $k=-4$, $a=3$, $b=5$.

1) область определения функции;
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.

2) множество значений функции;
Выражение $-\frac{4}{x-3}$ не равно нулю, следовательно $y \neq 5$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

3) промежутки монотонности функции;
Поскольку коэффициент $k=-4 < 0$, функция является возрастающей на каждом из интервалов своей области определения.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 3)$ и $(3; +\infty)$.

4) координаты центра симметрии гиперболы;
Центр симметрии находится в точке $(a; b)$. Для данной функции $a=3$ и $b=5$.
Ответ: $(3; 5)$.

5) асимптоты гиперболы.
Вертикальная асимптота $x=a$, горизонтальная асимптота $y=b$.
Ответ: вертикальная асимптота $x=3$, горизонтальная асимптота $y=5$.

в) $y = -\frac{2}{x - 5}$

Это функция вида $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $k=-2$, $a=5$, $b=0$.

1) область определения функции;
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x - 5 \neq 0 \implies x \neq 5$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

2) множество значений функции;
Выражение $-\frac{2}{x-5}$ не равно нулю, следовательно $y \neq 0$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 0) \cup (0; +\infty)$.

3) промежутки монотонности функции;
Поскольку коэффициент $k=-2 < 0$, функция является возрастающей на каждом из интервалов своей области определения.
Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; 5)$ и $(5; +\infty)$.

4) координаты центра симметрии гиперболы;
Центр симметрии находится в точке $(a; b)$. Для данной функции $a=5$ и $b=0$.
Ответ: $(5; 0)$.

5) асимптоты гиперболы.
Вертикальная асимптота $x=a$, горизонтальная асимптота $y=b$.
Ответ: вертикальная асимптота $x=5$, горизонтальная асимптота $y=0$.

г) $y = \frac{3}{x + 1} - 2$

Это функция вида $y = \frac{k}{x-a} + b$, где $k=3$, $a=-1$, $b=-2$.

1) область определения функции;
Знаменатель не должен быть равен нулю: $x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1$.
Ответ: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

2) множество значений функции;
Выражение $\frac{3}{x+1}$ не равно нулю, следовательно $y \neq -2$.
Ответ: $E(y) = (-\infty; -2) \cup (-2; +\infty)$.

3) промежутки монотонности функции;
Поскольку коэффициент $k=3 > 0$, функция является убывающей на каждом из интервалов своей области определения.
Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$.

4) координаты центра симметрии гиперболы;
Центр симметрии находится в точке $(a; b)$. Для данной функции $a=-1$ и $b=-2$.
Ответ: $(-1; -2)$.

5) асимптоты гиперболы.
Вертикальная асимптота $x=a$, горизонтальная асимптота $y=b$.
Ответ: вертикальная асимптота $x=-1$, горизонтальная асимптота $y=-2$.

27 Задайте гиперболу $y = \frac{k}{x}$ формулой, если известно, что она проходит через точку:

а) $(-\frac{1}{4}; 12);$

б) $(6\sqrt{2}; \frac{\sqrt{2}}{3});$

в) $(\frac{1}{8}; -4);$

г) $(-\frac{1}{\sqrt{3}}; -\sqrt{27}).$

Чтобы задать гиперболу формулой $y = \frac{k}{x}$, необходимо найти значение коэффициента $k$. Для этого нужно подставить координаты известной точки $(x_0; y_0)$, через которую проходит график, в уравнение гиперболы. Из уравнения $y = \frac{k}{x}$ следует, что $k = x \cdot y$.

а) Дана точка $(-\frac{1}{4}; 12)$.
Подставим ее координаты в формулу $k = x \cdot y$:
$k = (-\frac{1}{4}) \cdot 12 = -\frac{12}{4} = -3$
Следовательно, уравнение гиперболы имеет вид $y = \frac{-3}{x}$.
Ответ: $y = -\frac{3}{x}$

б) Дана точка $(6\sqrt{2}; \frac{\sqrt{2}}{3})$.
Подставим ее координаты в формулу $k = x \cdot y$:
$k = 6\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{3} = \frac{6 \cdot (\sqrt{2})^2}{3} = \frac{6 \cdot 2}{3} = \frac{12}{3} = 4$
Следовательно, уравнение гиперболы имеет вид $y = \frac{4}{x}$.
Ответ: $y = \frac{4}{x}$

в) Дана точка $(\frac{1}{8}; -4)$.
Подставим ее координаты в формулу $k = x \cdot y$:
$k = \frac{1}{8} \cdot (-4) = -\frac{4}{8} = -\frac{1}{2}$
Следовательно, уравнение гиперболы имеет вид $y = \frac{-1/2}{x}$, что можно записать как $y = -\frac{1}{2x}$.
Ответ: $y = -\frac{1}{2x}$

г) Дана точка $(-\frac{1}{\sqrt{3}}; -\sqrt{27})$.
Подставим ее координаты в формулу $k = x \cdot y$:
$k = (-\frac{1}{\sqrt{3}}) \cdot (-\sqrt{27}) = \frac{\sqrt{27}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{27}{3}} = \sqrt{9} = 3$
Следовательно, уравнение гиперболы имеет вид $y = \frac{3}{x}$.
Ответ: $y = \frac{3}{x}$

28 Определите, принадлежит ли графику данной функции точка А, если:

a) $y = \frac{10}{x + 4}$, $A(-3,9; 100)$;

б) $y = -x^2 - \sqrt{2}x + 15$, $A(-\sqrt{2}; 15)$;

в) $y = -\frac{18}{x + 15}$, $A(0; 1,2)$;

г) $y = \frac{x^2}{7} + x\sqrt{7}$, $A(-\sqrt{7}; 6)$.

а) $y = \frac{10}{x + 4}$, $A(-3,9; 100)$

Чтобы определить, принадлежит ли точка графику функции, необходимо подставить координаты точки в уравнение функции. Если в результате подстановки мы получим верное числовое равенство, то точка принадлежит графику. В противном случае — не принадлежит.

Подставим координаты точки $A$ (где $x = -3,9$ и $y = 100$) в уравнение функции:

$100 = \frac{10}{-3,9 + 4}$

Выполним вычисления в правой части уравнения:

$\frac{10}{-3,9 + 4} = \frac{10}{0,1} = 100$

В результате получаем верное равенство:

$100 = 100$

Следовательно, точка A принадлежит графику данной функции.

Ответ: да, принадлежит.

б) $y = -x^2 - \sqrt{2}x + 15$, $A(-\sqrt{2}; 15)$

Подставим координаты точки $A$ (где $x = -\sqrt{2}$ и $y = 15$) в уравнение функции:

$15 = -(-\sqrt{2})^2 - \sqrt{2}(-\sqrt{2}) + 15$

Выполним вычисления в правой части уравнения:

$-(-\sqrt{2})^2 - \sqrt{2}(-\sqrt{2}) + 15 = -(2) - (-2) + 15 = -2 + 2 + 15 = 15$

В результате получаем верное равенство:

$15 = 15$

Следовательно, точка A принадлежит графику данной функции.

Ответ: да, принадлежит.

в) $y = -\frac{18}{x + 15}$, $A(0; 1,2)$

Подставим координаты точки $A$ (где $x = 0$ и $y = 1,2$) в уравнение функции:

$1,2 = -\frac{18}{0 + 15}$

Выполним вычисления в правой части уравнения:

$-\frac{18}{0 + 15} = -\frac{18}{15} = -\frac{6}{5} = -1,2$

В результате получаем неверное равенство:

$1,2 \neq -1,2$

Следовательно, точка A не принадлежит графику данной функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

г) $y = \frac{x^2}{7} + x\sqrt{7}$, $A(-\sqrt{7}; 6)$

Подставим координаты точки $A$ (где $x = -\sqrt{7}$ и $y = 6$) в уравнение функции:

$6 = \frac{(-\sqrt{7})^2}{7} + (-\sqrt{7})\sqrt{7}$

Выполним вычисления в правой части уравнения:

$\frac{(-\sqrt{7})^2}{7} + (-\sqrt{7})\sqrt{7} = \frac{7}{7} - 7 = 1 - 7 = -6$

В результате получаем неверное равенство:

$6 \neq -6$

Следовательно, точка A не принадлежит графику данной функции.

Ответ: нет, не принадлежит.

29 Найдите наименьшее и наибольшее значения функции на указанном промежутке:

a) $y = -\frac{6}{x}$ на луче $[1; +\infty)$;

б) $y = \frac{4}{x+1}$ на отрезке $[0; 3];$

в) $y = \frac{8}{x} - 2$ на отрезке $[-4; -1];$

г) $y = -\frac{4}{x-3} + 1$ на полуинтервале $(3; 7].$

а) $y = -\frac{6}{x}$ на луче $[1; +\infty)$

Данная функция является преобразованием гиперболы. Рассмотрим поведение функции $f(x) = \frac{1}{x}$. На промежутке $(0; +\infty)$ эта функция является убывающей. Следовательно, функция $g(x) = \frac{6}{x}$ также является убывающей на этом промежутке.

Наша функция $y(x) = -g(x) = -\frac{6}{x}$ получается умножением убывающей функции на -1, что меняет характер монотонности на противоположный. Таким образом, на луче $[1; +\infty)$, который является частью промежутка $(0; +\infty)$, функция $y = -\frac{6}{x}$ монотонно возрастает.

Поскольку функция возрастает, свое наименьшее значение она принимает в левой крайней точке промежутка, то есть при $x=1$.

$y_{наим} = y(1) = -\frac{6}{1} = -6$.

Наибольшего значения функция не достигает, так как при $x \to +\infty$ значение функции стремится к 0, но никогда его не достигает: $\lim_{x \to +\infty} \left(-\frac{6}{x}\right) = 0$. Верхняя грань значений функции равна 0, но это значение не является максимумом.

Ответ: наименьшее значение функции равно -6, наибольшего значения не существует.

б) $y = \frac{4}{x+1}$ на отрезке $[0; 3]$

Функция является смещенной гиперболой. На заданном отрезке $[0; 3]$ знаменатель $x+1$ положителен и возрастает (от $0+1=1$ до $3+1=4$).

Поскольку знаменатель $x+1$ положительный и монотонно возрастает на данном отрезке, то обратная величина $\frac{1}{x+1}$ будет монотонно убывать. Соответственно, функция $y = \frac{4}{x+1}$ (полученная умножением на положительную константу 4) также будет монотонно убывать на отрезке $[0; 3]$.

Так как функция убывает, ее наибольшее значение достигается в левой крайней точке отрезка ($x=0$), а наименьшее — в правой ($x=3$).

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = \frac{4}{0+1} = 4$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(3) = \frac{4}{3+1} = \frac{4}{4} = 1$.

Ответ: наименьшее значение функции равно 1, наибольшее значение равно 4.

в) $y = \frac{8}{x} - 2$ на отрезке $[-4; -1]$

Рассмотрим функцию $f(x) = \frac{8}{x}$. На промежутке $(-\infty; 0)$ эта функция является убывающей. Заданный отрезок $[-4; -1]$ полностью лежит в этом промежутке.

Функция $y(x) = \frac{8}{x} - 2$ получается из $f(x)$ сдвигом на 2 единицы вниз по оси ординат. Такой сдвиг не меняет характер монотонности. Следовательно, функция $y = \frac{8}{x} - 2$ монотонно убывает на отрезке $[-4; -1]$.

Поскольку функция убывает, ее наибольшее значение будет в левой крайней точке отрезка ($x=-4$), а наименьшее — в правой ($x=-1$).

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-4) = \frac{8}{-4} - 2 = -2 - 2 = -4$.

Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-1) = \frac{8}{-1} - 2 = -8 - 2 = -10$.

Ответ: наименьшее значение функции равно -10, наибольшее значение равно -4.

г) $y = -\frac{4}{x-3} + 1$ на полуинтервале $(3; 7]$

Рассмотрим поведение функции на заданном полуинтервале. На промежутке $(3; +\infty)$ выражение $x-3$ положительно и возрастает.

Функция $f(u) = \frac{1}{u}$ является убывающей для $u > 0$. Значит, функция $g(x) = \frac{4}{x-3}$ также является убывающей на $(3; +\infty)$, так как $x-3>0$.

Наша функция $y(x) = -\frac{4}{x-3} + 1$ получается из $g(x)$ путем умножения на -1 (что меняет убывание на возрастание) и сдвигом на 1 вверх (что не меняет характер монотонности). Таким образом, функция $y(x)$ монотонно возрастает на всем полуинтервале $(3; 7]$.

Так как функция возрастает, свое наибольшее значение она принимает в самой правой точке промежутка, которая в него включена, то есть при $x=7$.

Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(7) = -\frac{4}{7-3} + 1 = -\frac{4}{4} + 1 = -1 + 1 = 0$.

Наименьшего значения функция не достигает. Левая граница $x=3$ не включена в интервал. При приближении $x$ к 3 справа ($x \to 3^+$), знаменатель $x-3$ стремится к 0 с положительной стороны ($x-3 \to 0^+$). Тогда дробь $\frac{4}{x-3}$ стремится к $+\infty$, а выражение $-\frac{4}{x-3}$ стремится к $-\infty$. Таким образом, функция не ограничена снизу на данном интервале, и ее наименьшего значения не существует.

$\lim_{x \to 3^+} \left(-\frac{4}{x-3} + 1\right) = -\infty$.

Ответ: наибольшее значение функции равно 0, наименьшего значения не существует.