Страница 228, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

64 Постройте график функции $y = f(x)$, где

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x + 3, & \text{если } x < -1 \\ -x^2 + 1, & \text{если } x \ge -1 \end{cases}$

С помощью графика определите, при каких значениях $p$ уравнение $f(x) = p$ имеет один корень, два корня, три корня.

Задача состоит из двух частей: построение графика кусочно-заданной функции и анализ количества корней уравнения $f(x)=p$ в зависимости от параметра $p$.

Построение графика функции $y = f(x)$

Функция задана двумя различными выражениями на двух интервалах. Построим каждую часть отдельно.

1. При $x < -1$ имеем функцию $y = x^2 + 4x + 3$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля).

Найдем координаты вершины параболы ($x_в, y_в$):

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 \cdot 1} = -2$.

$y_в = f(-2) = (-2)^2 + 4(-2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.

Вершина параболы находится в точке $(-2, -1)$. Так как $x_в = -2 < -1$, вершина принадлежит этой части графика и является точкой локального минимума всей функции $f(x)$.

Найдем значение функции на границе интервала, в точке $x = -1$. Поскольку неравенство строгое ($x < -1$), точка на графике будет выколотой (незакрашенной).

$y(-1) = (-1)^2 + 4(-1) + 3 = 1 - 4 + 3 = 0$.

Таким образом, эта часть графика представляет собой ветвь параболы, начинающуюся от вершины $(-2, -1)$ и проходящую через точку $(-3, 0)$ (корень уравнения $x^2+4x+3=0$), стремящуюся к выколотой точке $(-1, 0)$.

2. При $x \ge -1$ имеем функцию $y = -x^2 + 1$.

Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен -1, что меньше нуля).

Найдем координаты вершины параболы:

$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$.

$y_в = f(0) = -(0)^2 + 1 = 1$.

Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$. Так как $x_в = 0 \ge -1$, вершина принадлежит этой части графика и является точкой локального максимума.

Найдем значение функции на границе интервала, в точке $x = -1$. Поскольку неравенство нестрогое ($x \ge -1$), точка на графике будет закрашенной.

$y(-1) = -(-1)^2 + 1 = -1 + 1 = 0$.

Эта часть графика начинается в точке $(-1, 0)$, которая "закрашивает" выколотую точку от первой части, делая функцию непрерывной. График достигает максимума в точке $(0, 1)$ и затем убывает, пересекая ось абсцисс в точке $(1, 0)$.

Определение количества корней уравнения $f(x)=p$

Количество корней уравнения $f(x) = p$ соответствует количеству точек пересечения графика функции $y=f(x)$ с горизонтальной прямой $y=p$. Проанализируем это количество, мысленно перемещая прямую $y=p$ вдоль оси ординат.

Один корень

Уравнение имеет один корень, когда прямая $y=p$ касается графика в одной точке. Это происходит, когда прямая проходит через точку локального минимума, то есть через вершину первой параболы $(-2, -1)$.

Ответ: $p = -1$.

Два корня

Уравнение имеет два корня в двух случаях. Во-первых, когда прямая $y=p$ касается графика в точке локального максимума $(0, 1)$, пересекая при этом левую ветвь графика. Это происходит при $p=1$. Во-вторых, когда прямая $y=p$ расположена выше локального максимума, пересекая обе ветви графика (левую ветвь первой параболы и правую ветвь второй). Это происходит при $p > 1$.

Объединяя эти два случая, получаем, что уравнение имеет два корня при $p \ge 1$.

Ответ: $p \ge 1$.

Три корня

Уравнение имеет три корня, когда прямая $y=p$ пересекает график в трех точках. Это происходит, когда прямая расположена строго между локальным минимумом ($y=-1$) и локальным максимумом ($y=1$).

При $-1 < p < 0$ прямая пересекает первую параболу в двух точках и вторую в одной.

При $p=0$ прямая пересекает график в точках с абсциссами $x=-3, x=-1, x=1$.

При $0 < p < 1$ прямая пересекает первую параболу в одной точке и вторую в двух.

Таким образом, уравнение имеет три корня при $-1 < p < 1$.

Ответ: $p \in (-1; 1)$.

65 Задайте аналитически кусочную функцию $y = f(x)$, график которой изображён:

а) на рис. 78;

$y = \begin{cases} x^2, & x \le 0 \\ \sqrt{x}, & x > 0 \end{cases}$

б) на рис. 79.

$y = \begin{cases} -(x+1)^2+1, & x \le 0 \\ \frac{4}{x}, & x > 0 \end{cases}$

a) на рис. 78

График, изображенный на рисунке 78, является кусочной функцией, состоящей из двух частей, которые соединяются в точке $(0, 0)$. Рассмотрим каждую часть отдельно.

1. Для $x \le 0$, график представляет собой ветвь параболы с вершиной в начале координат $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. Общее уравнение такой параболы $y = ax^2$. Чтобы найти коэффициент $a$, воспользуемся одной из точек на этой части графика, например, точкой с координатами $(-1, 2)$. Подставив эти значения в уравнение, получим: $2 = a \cdot (-1)^2$ $2 = a \cdot 1$ $a = 2$ Следовательно, для $x \le 0$ функция задается формулой $y = 2x^2$.

2. Для $x > 0$, график представляет собой ветвь функции квадратного корня, которая также начинается в точке $(0, 0)$. Общее уравнение такой функции $y = k\sqrt{x}$. Для нахождения коэффициента $k$ используем точку на этой части графика, например, $(4, 2)$. Подставим ее координаты в уравнение: $2 = k\sqrt{4}$ $2 = k \cdot 2$ $k = 1$ Следовательно, для $x > 0$ функция задается формулой $y = \sqrt{x}$.

Объединив обе части, мы получаем аналитическое задание для всей функции.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} 2x^2, & \text{если } x \le 0 \\ \sqrt{x}, & \text{если } x > 0 \end{cases}$

б) на рис. 79

График, изображенный на рисунке 79, является кусочной функцией, состоящей из трех частей. Определим аналитическое выражение для каждой из них.

1. На интервале $-3 \le x \le -2$, график представляет собой отрезок прямой линии. Найдем уравнение этой прямой, используя координаты двух точек, через которые она проходит: $(-3, -3)$ и $(-2, 2)$. Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, имеет вид $\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$. $\frac{y - (-3)}{2 - (-3)} = \frac{x - (-3)}{-2 - (-3)}$
$\frac{y + 3}{5} = \frac{x + 3}{1}$
$y + 3 = 5(x + 3)$
$y + 3 = 5x + 15$
$y = 5x + 12$

2. На интервале $-2 < x \le 0$, график является частью параболы с ветвями, направленными вниз. Общий вид уравнения параболы: $y = ax^2 + bx + c$. График проходит через точки $(-2, 2)$, $(-1, 2)$ и $(0, 0)$. Так как парабола проходит через точку $(0, 0)$, то $c = 0$. Уравнение принимает вид $y = ax^2 + bx$. Подставим координаты двух других точек: Для точки $(-1, 2)$: $2 = a(-1)^2 + b(-1) \implies 2 = a - b$. Для точки $(-2, 2)$: $2 = a(-2)^2 + b(-2) \implies 2 = 4a - 2b$, что эквивалентно $1 = 2a - b$. Решим систему уравнений: $\begin{cases} a - b = 2 \\ 2a - b = 1 \end{cases}$ Вычтем первое уравнение из второго: $(2a - b) - (a - b) = 1 - 2 \implies a = -1$. Найдем $b$ из первого уравнения: $b = a - 2 = -1 - 2 = -3$. Таким образом, уравнение параболы: $y = -x^2 - 3x$.

3. На интервале $0 < x \le 4$, график представляет собой часть гиперболы. Из графика видно, что прямая $x=0$ является вертикальной асимптотой, а прямая $y=1$ — горизонтальной асимптотой. Уравнение такой гиперболы имеет вид $y = \frac{k}{x} + c$, где $c$ — это ордината горизонтальной асимптоты, т.е. $c=1$. Уравнение принимает вид $y = \frac{k}{x} + 1$. Чтобы найти коэффициент $k$, используем точку на графике, например, $(4, 2)$. $2 = \frac{k}{4} + 1 \implies 1 = \frac{k}{4} \implies k=4$. Следовательно, уравнение этой части графика: $y = \frac{4}{x} + 1$.

Объединив все три части, получаем аналитическое выражение для всей функции.

Ответ: $f(x) = \begin{cases} 5x+12, & \text{если } -3 \le x \le -2 \\ -x^2 - 3x, & \text{если } -2 < x \le 0 \\ \frac{4}{x} + 1, & \text{если } 0 < x \le 4 \end{cases}$

66 Постройте график уравнения:

a) $(xy - 6)(\sqrt{x + 4} + y) = 0;$

б) $(y + x^2 - 3)(y^2 - x) = 0;$

в) $(y - 2x^2 + 1)(xy + 8) = 0;$

г) $(\sqrt{x^2} - y)(x^2 - 4x + y) = 0.$

а) Данное уравнение $(xy - 6)(\sqrt{x+4} + y) = 0$ представляет собой произведение двух множителей, которое равно нулю. Это возможно, если один из множителей равен нулю, при условии, что все выражение имеет смысл. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x + 4 \ge 0$, откуда $x \ge -4$. Таким образом, уравнение равносильно совокупности двух систем:
1) $\begin{cases} xy - 6 = 0 \\ x \ge -4 \end{cases} \implies \begin{cases} y = \frac{6}{x} \\ x \ge -4, x \neq 0 \end{cases}$
2) $\begin{cases} \sqrt{x+4} + y = 0 \\ x \ge -4 \end{cases} \implies \begin{cases} y = -\sqrt{x+4} \\ x \ge -4 \end{cases}$
График первого уравнения системы — это гипербола $y = \frac{6}{x}$ с ветвями в I и III координатных четвертях. Учитывая ОДЗ, мы строим эту гиперболу только для $x \ge -4$ (точка $x=0$ выколота).
График второго уравнения — это $y = -\sqrt{x+4}$. Это нижняя ветвь параболы $x = y^2 - 4$ (так как $y \le 0$). Вершина этой параболы находится в точке $(-4, 0)$, и ее ветви направлены вправо.
Искомый график является объединением этих двух графиков.
Ответ: График уравнения — это объединение гиперболы $y = 6/x$ (рассматриваемой при $x \geq -4, x \neq 0$) и нижней ветви параболы $x=y^2-4$, заданной уравнением $y=-\sqrt{x+4}$.

б) Уравнение $(y + x^2 - 3)(y^2 - x) = 0$ распадается на совокупность двух уравнений, так как произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Область допустимых значений (ОДЗ) для этого уравнения — все действительные числа.
Совокупность уравнений:
1) $y + x^2 - 3 = 0 \implies y = -x^2 + 3$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 3)$.
2) $y^2 - x = 0 \implies x = y^2$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вправо. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$, и она симметрична относительно оси Ox.
График исходного уравнения является объединением этих двух парабол.
Ответ: График уравнения — это объединение двух парабол: параболы $y = -x^2 + 3$ с вершиной в $(0, 3)$ и ветвями вниз, и параболы $x = y^2$ с вершиной в $(0, 0)$ и ветвями вправо.

в) Уравнение $(y - 2x^2 + 1)(xy + 8) = 0$ эквивалентно совокупности двух уравнений, поскольку произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. ОДЗ: $x \in \mathbb{R}, y \in \mathbb{R}$.
Рассмотрим два случая:
1) $y - 2x^2 + 1 = 0 \implies y = 2x^2 - 1$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы находится в точке $(0, -1)$.
2) $xy + 8 = 0 \implies y = -\frac{8}{x}$. Это уравнение гиперболы с ветвями во II и IV координатных четвертях. Асимптотами являются оси координат $x=0$ и $y=0$.
Искомый график представляет собой объединение параболы $y = 2x^2 - 1$ и гиперболы $y = -8/x$.
Ответ: График уравнения — это объединение параболы $y = 2x^2 - 1$ (вершина в $(0, -1)$, ветви вверх) и гиперболы $y = -8/x$ (ветви во II и IV квадрантах).

г) Рассмотрим уравнение $(\sqrt{x^2} - y)(x^2 - 4x + y) = 0$. Упростим выражение $\sqrt{x^2} = |x|$. Уравнение принимает вид $(|x| - y)(x^2 - 4x + y) = 0$.
Это уравнение распадается на совокупность двух уравнений. ОДЗ: $x, y$ — любые действительные числа.
1) $|x| - y = 0 \implies y = |x|$. Графиком этой функции является объединение двух лучей: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. График имеет V-образную форму с вершиной в начале координат.
2) $x^2 - 4x + y = 0 \implies y = -x^2 + 4x$. Это уравнение параболы, ветви которой направлены вниз. Найдем вершину: $x_v = -\frac{4}{2(-1)} = 2$, $y_v = -(2)^2 + 4(2) = 4$. Вершина находится в точке $(2, 4)$. Парабола пересекает ось Ox в точках $(0, 0)$ и $(4, 0)$.
График исходного уравнения является объединением графика функции $y = |x|$ и параболы $y = -x^2 + 4x$.
Ответ: График уравнения — это объединение графика модуля $y=|x|$ и параболы $y = -x^2 + 4x$ с вершиной в точке $(2, 4)$ и ветвями вниз.

67 Постройте график функции $y = f(x)$, где:

a) $f(x) = \begin{cases} x^2 - 4, \text{ если } x \le -2 \text{ и } x \ge 2; \\ -(x^2 - 4), \text{ если } -2 < x < 2; \end{cases}$

б) $f(x) = \begin{cases} -(x^2 - 9), \text{ если } -3 \le x \le 3; \\ x^2 - 9, \text{ если } x < -3 \text{ и } x > 3. \end{cases}$

Используя определение модуля, запишите заданную кусочную функцию в виде $y = |f(x)|$.

Рассмотрим заданную кусочную функцию:

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4, & \text{если } x \le -2 \text{ и } x \ge 2 \\ -(x^2 - 4), & \text{если } -2 < x < 2 \end{cases}$

Для построения графика и приведения функции к требуемому виду, проанализируем выражение $g(x) = x^2 - 4$.

1. Анализ выражения $x^2 - 4$

Данное выражение задает параболу с ветвями, направленными вверх. Найдем ее нули, то есть точки пересечения с осью абсцисс (Ox):

$x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x_1 = -2, x_2 = 2$.

Определим знаки выражения на интервалах, на которые ось Ox разбивается нулями функции. Если $x < -2$ или $x > 2$, то $x^2 > 4$, и, следовательно, $x^2 - 4 > 0$. Если $-2 < x < 2$, то $x^2 < 4$, и, следовательно, $x^2 - 4 < 0$. Если $x = -2$ или $x = 2$, то $x^2 - 4 = 0$. Итак, выражение $x^2 - 4$ является неотрицательным ($x^2 - 4 \ge 0$) при $x \in (-\infty, -2] \cup [2, \infty)$ и отрицательным ($x^2 - 4 < 0$) при $x \in (-2, 2)$.

2. Приведение к виду с модулем

Сравним условия в определении кусочной функции $f(x)$ с полученными знаками выражения $x^2 - 4$. При $x \le -2$ и $x \ge 2$, где $x^2 - 4 \ge 0$, по условию $f(x) = x^2 - 4$. При $-2 < x < 2$, где $x^2 - 4 < 0$, по условию $f(x) = -(x^2 - 4)$.

Это полностью соответствует определению модуля: $|a| = a$, если $a \ge 0$, и $|a| = -a$, если $a < 0$. Таким образом, заданную кусочную функцию можно записать в виде функции с модулем:

$y = f(x) = |x^2 - 4|$.

3. Построение графика

График функции $y = |x^2 - 4|$ строится в два шага:

1. Строим график базовой функции $y = x^2 - 4$. Это парабола, полученная смещением графика $y=x^2$ на 4 единицы вниз. Ее вершина находится в точке $(0, -4)$, а ось Ox она пересекает в точках $(-2, 0)$ и $(2, 0)$.

2. Применяем операцию взятия модуля. Та часть графика, которая находится выше или на оси Ox (где $y \ge 0$), остается без изменений. Это участки при $x \le -2$ и $x \ge 2$. Та часть графика, которая находится ниже оси Ox (где $y < 0$), симметрично отражается относительно оси Ox. Это участок параболы между $x = -2$ и $x = 2$.

В результате отражения, часть параболы $y = x^2 - 4$ на интервале $(-2, 2)$ преобразуется в график функции $y = -(x^2 - 4) = 4 - x^2$. Вершина $(0, -4)$ переходит в точку $(0, 4)$.

Итоговый график состоит из трех гладко соединенных частей: ветви параболы $y = x^2 - 4$ на $(-\infty, -2]$, арки параболы $y = 4 - x^2$ на $(-2, 2)$, и ветви параболы $y = x^2 - 4$ на $[2, \infty)$.

Ответ: Заданную функцию можно записать в виде $y = |x^2 - 4|$. График функции получается из параболы $y = x^2 - 4$ путем симметричного отражения ее части, расположенной ниже оси абсцисс (на интервале $x \in (-2, 2)$), относительно этой оси.

Рассмотрим заданную кусочную функцию:

$f(x) = \begin{cases} -(x^2 - 9), & \text{если } -3 \le x \le 3 \\ x^2 - 9, & \text{если } x < -3 \text{ и } x > 3 \end{cases}$

Действуем аналогично предыдущему пункту, взяв за основу выражение $g(x) = x^2 - 9$.

1. Анализ выражения $x^2 - 9$

Это выражение задает параболу с ветвями вверх. Ее нули:

$x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x_1 = -3, x_2 = 3$.

Определим знаки выражения: Если $x < -3$ или $x > 3$, то $x^2 > 9$, значит, $x^2 - 9 > 0$. Если $-3 < x < 3$, то $x^2 < 9$, значит, $x^2 - 9 < 0$. В точках $x = -3$ и $x = 3$ выражение равно нулю. Следовательно, $x^2 - 9$ положительно при $x \in (-\infty, -3) \cup (3, \infty)$ и неположительно ($x^2 - 9 \le 0$) при $x \in [-3, 3]$.

2. Приведение к виду с модулем

Сравним условия из определения $f(x)$ со знаками $x^2 - 9$. При $x < -3$ и $x > 3$, где $x^2 - 9 > 0$, по условию $f(x) = x^2 - 9$. При $-3 \le x \le 3$, где $x^2 - 9 \le 0$, по условию $f(x) = -(x^2 - 9)$.

Это снова в точности определение модуля. Таким образом, функцию можно записать как:

$y = f(x) = |x^2 - 9|$.

3. Построение графика

График функции $y = |x^2 - 9|$ строится аналогично:

1. Строим параболу $y = x^2 - 9$. Вершина в точке $(0, -9)$, нули в точках $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

2. Отражаем часть графика, лежащую ниже оси Ox, относительно этой оси. Это участок параболы на интервале $(-3, 3)$.

В результате отражения участок параболы $y = x^2 - 9$ на интервале $(-3, 3)$ становится графиком функции $y = -(x^2 - 9) = 9 - x^2$. Вершина $(0, -9)$ переходит в точку $(0, 9)$.

Итоговый график состоит из ветвей параболы $y = x^2 - 9$ при $x < -3$ и $x > 3$ и арки параболы $y = 9 - x^2$ на отрезке $[-3, 3]$.

Ответ: Заданную функцию можно записать в виде $y = |x^2 - 9|$. График функции получается из параболы $y = x^2 - 9$ путем симметричного отражения ее части, расположенной ниже оси абсцисс (на интервале $x \in (-3, 3)$), относительно этой оси.