Страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник часть 1, 2 Мордкович, Александрова

42 Решите графически уравнение:

а) $\sqrt{x-3} = 1;$

б) $-\sqrt{x+1} = 4-2x;$

в) $3-\sqrt{x+2} = 0;$

г) $\sqrt{x+3} = \frac{1}{3}x+1.$

а) Чтобы решить уравнение $\sqrt{x - 3} = 1$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x - 3}$ и $y = 1$.
График функции $y = \sqrt{x - 3}$ — это ветвь параболы, которая является графиком стандартной функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутым на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Область определения этой функции: $x - 3 \ge 0$, то есть $x \ge 3$.
График функции $y = 1$ — это прямая линия, параллельная оси Ox и проходящая через точку (0, 1).
Найдем точку пересечения этих двух графиков. Абсцисса этой точки будет решением уравнения. Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в одной точке. Координаты этой точки (4, 1).
Проверим это аналитически: подставим $x=4$ в исходное уравнение.
$\sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1$.
$1 = 1$.
Равенство верное, значит, абсцисса точки пересечения найдена правильно.
Ответ: $x = 4$.

б) Чтобы решить уравнение $-\sqrt{x + 1} = 4 - 2x$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = -\sqrt{x + 1}$ и $y = 4 - 2x$.
График функции $y = -\sqrt{x + 1}$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 1 единицу влево вдоль оси Ox, а затем отраженный симметрично относительно оси Ox. Область определения: $x + 1 \ge 0$, то есть $x \ge -1$.
График функции $y = 4 - 2x$ — это прямая линия. Для её построения найдём две точки: если $x=0$, то $y=4$ (точка (0, 4)); если $x=2$, то $y=0$ (точка (2, 0)).
Построив графики, мы находим их точку пересечения. Визуально можно определить, что абсцисса точки пересечения равна 3.
Проверим, подставив $x = 3$ в обе части исходного уравнения:
Левая часть: $-\sqrt{3 + 1} = -\sqrt{4} = -2$.
Правая часть: $4 - 2 \cdot 3 = 4 - 6 = -2$.
$-2 = -2$.
Равенство верное, значит, $x=3$ является решением уравнения.
Ответ: $x = 3$.

в) Чтобы решить уравнение $3 - \sqrt{x + 2} = 0$ графически, преобразуем его к виду $\sqrt{x + 2} = 3$. Теперь построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x + 2}$ и $y = 3$.
График функции $y = \sqrt{x + 2}$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Область определения: $x + 2 \ge 0$, то есть $x \ge -2$.
График функции $y = 3$ — это прямая линия, параллельная оси Ox и проходящая через точку (0, 3).
Найдем точку пересечения этих двух графиков. Построив их, мы видим, что они пересекаются в одной точке. Абсцисса этой точки (7, 3) и является решением.
Проверим это аналитически: подставим $x=7$ в преобразованное уравнение.
$\sqrt{7 + 2} = \sqrt{9} = 3$.
$3 = 3$.
Равенство верное.
Ответ: $x = 7$.

г) Чтобы решить уравнение $\sqrt{x + 3} = \frac{1}{3}x + 1$ графически, построим в одной системе координат графики функций $y = \sqrt{x + 3}$ и $y = \frac{1}{3}x + 1$.
График функции $y = \sqrt{x + 3}$ — это график функции $y = \sqrt{x}$, сдвинутый на 3 единицы влево вдоль оси Ox. Область определения: $x + 3 \ge 0$, то есть $x \ge -3$.
График функции $y = \frac{1}{3}x + 1$ — это прямая линия. Для её построения найдём две точки: если $x=-3$, то $y = \frac{1}{3}(-3) + 1 = 0$ (точка (-3, 0)); если $x=6$, то $y = \frac{1}{3}(6) + 1 = 3$ (точка (6, 3)).
Построив графики, мы увидим, что они пересекаются в двух точках.
Проверим, являются ли найденные точки (-3, 0) и (6, 3) точками пересечения, подставив их абсциссы в уравнение функции $y = \sqrt{x + 3}$:
Для $x = -3$: $y = \sqrt{-3 + 3} = \sqrt{0} = 0$. Точка (-3, 0) принадлежит обоим графикам.
Для $x = 6$: $y = \sqrt{6 + 3} = \sqrt{9} = 3$. Точка (6, 3) принадлежит обоим графикам.
Следовательно, абсциссы этих точек являются решениями уравнения.
Ответ: $x_1 = -3, x_2 = 6$.

43 Решите графически систему уравнений:

a) $ \begin{cases} y = x^2 - 6x + 5, \\ y = \sqrt{x - 3} - 4; \end{cases} $

б) $ \begin{cases} y = -\sqrt{x + 1} - 1, \\ y = \frac{2}{x - 1}. \end{cases} $

a)

Для решения системы уравнений графическим методом построим графики каждой функции на одной координатной плоскости.

Первое уравнение: $y = x^2 - 6x + 5$. Это квадратичная функция, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх. Найдем координаты вершины параболы: $x_0 = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = 3$. $y_0 = 3^2 - 6 \cdot 3 + 5 = 9 - 18 + 5 = -4$. Вершина находится в точке $(3; -4)$. Найдем точки пересечения с осями. С осью OY ($x=0$): $y = 5$. Точка $(0; 5)$. С осью OX ($y=0$): $x^2 - 6x + 5 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$ и $x_2 = 5$. Точки $(1; 0)$ и $(5; 0)$.

Второе уравнение: $y = \sqrt{x - 3} - 4$. Это график функции $y = \sqrt{x}$, смещенный на 3 единицы вправо и на 4 единицы вниз. Область определения функции: $x - 3 \geq 0$, то есть $x \geq 3$. Начальная точка графика: при $x=3$, $y = \sqrt{3-3} - 4 = -4$. Точка $(3; -4)$. Для построения найдем еще одну точку: при $x=4$, $y = \sqrt{4-3} - 4 = 1 - 4 = -3$. Точка $(4; -3)$.

Построим оба графика. Точки пересечения графиков являются решениями системы. Из построения видно, что графики пересекаются в двух точках. Первая точка — это вершина параболы и одновременно начальная точка графика корня: $(3; -4)$. Вторая точка пересечения — $(4; -3)$. Проверим вторую точку: Для параболы: $y = 4^2 - 6 \cdot 4 + 5 = 16 - 24 + 5 = -3$. Для корня: $y = \sqrt{4-3} - 4 = 1 - 4 = -3$. Координаты $(4; -3)$ удовлетворяют обоим уравнениям.

Ответ: $(3; -4)$, $(4; -3)$.

б)

Построим графики функций, заданных уравнениями системы, в одной координатной плоскости.

Первое уравнение: $y = -\sqrt{x + 1} - 1$. Это график функции $y = \sqrt{x}$, который отражен относительно оси OX, а затем смещен на 1 единицу влево и на 1 единицу вниз. Область определения: $x+1 \geq 0$, то есть $x \geq -1$. Начальная точка графика: при $x=-1$, $y = -\sqrt{-1+1} - 1 = -1$. Точка $(-1; -1)$. Найдем еще несколько точек для построения: При $x=0$, $y = -\sqrt{0+1} - 1 = -1 - 1 = -2$. Точка $(0; -2)$. При $x=3$, $y = -\sqrt{3+1} - 1 = -2 - 1 = -3$. Точка $(3; -3)$.

Второе уравнение: $y = \frac{2}{x - 1}$. Это дробно-линейная функция, графиком которой является гипербола. График получен смещением гиперболы $y = \frac{2}{x}$ на 1 единицу вправо. Асимптоты: вертикальная $x=1$ и горизонтальная $y=0$. Найдем несколько точек для построения: При $x=0$, $y = \frac{2}{0-1} = -2$. Точка $(0; -2)$. При $x=-1$, $y = \frac{2}{-1-1} = -1$. Точка $(-1; -1)$. При $x=2$, $y = \frac{2}{2-1} = 2$. Точка $(2; 2)$. При $x=3$, $y = \frac{2}{3-1} = 1$. Точка $(3; 1)$.

Построим графики. Решением системы являются координаты точек их пересечения. Из построения и вычисленных точек видно, что графики пересекаются в точках $(-1; -1)$ и $(0; -2)$. Проверим эти точки: Для точки $(-1; -1)$: $y = -\sqrt{-1+1} - 1 = -1$. $y = \frac{2}{-1-1} = -1$. Для точки $(0; -2)$: $y = -\sqrt{0+1} - 1 = -2$. $y = \frac{2}{0-1} = -2$. Обе точки являются решениями системы.

Ответ: $(-1; -1)$, $(0; -2)$.

44 Используя график данной функции, определите, при каких значениях x выполняется неравенство $y \ge b, y < b$, если:

а) $y = \sqrt{x+3}-1, b=0;$

б) $y = -\sqrt{x-1}, b=-2;$

в) $y = -\sqrt{x+2}, b=0;$

г) $y = \sqrt{x+3}, b=5.$

а) $y = \sqrt{x+3} - 1, b = 0$

Требуется решить неравенство $y \ge b$, то есть $\sqrt{x+3} - 1 \ge 0$.

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.

2. Решим само неравенство:

$\sqrt{x+3} - 1 \ge 0$

$\sqrt{x+3} \ge 1$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{x+3})^2 \ge 1^2$

$x + 3 \ge 1$

$x \ge -2$

3. Совместим полученное решение с ОДЗ. Необходимо, чтобы выполнялись оба условия: $x \ge -2$ и $x \ge -3$. Пересечением этих двух множеств является $x \ge -2$.

Графически это означает нахождение тех значений $x$, при которых график функции $y = \sqrt{x+3} - 1$ (стандартный график $y=\sqrt{x}$, смещенный на 3 единицы влево и на 1 единицу вниз) расположен на оси абсцисс ($y=0$) или выше нее. График пересекает ось абсцисс в точке, где $y=0$, то есть $\sqrt{x+3} - 1 = 0$, что дает $x=-2$. Так как функция возрастающая, ее значения будут больше или равны нулю при $x \ge -2$.

Ответ: $x \in [-2; +\infty)$.

б) $y = -\sqrt{x-1}, b = -2$

Требуется решить неравенство $y \ge b$, то есть $-\sqrt{x-1} \ge -2$.

1. Найдем ОДЗ:

$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

2. Решим неравенство:

$-\sqrt{x-1} \ge -2$

Умножим обе части на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$\sqrt{x-1} \le 2$

Обе части неотрицательны, возводим в квадрат:

$(\sqrt{x-1})^2 \le 2^2$

$x - 1 \le 4$

$x \le 5$

3. Совместим решение с ОДЗ: $x \ge 1$ и $x \le 5$. Пересечением является интервал $1 \le x \le 5$.

Графически мы ищем те значения $x$, при которых график функции $y = -\sqrt{x-1}$ (график $y=\sqrt{x}$, отраженный относительно оси $x$ и смещенный на 1 единицу вправо) находится на прямой $y=-2$ или выше нее. Начальная точка графика — $(1, 0)$. Найдем точку пересечения с прямой $y=-2$: $-\sqrt{x-1} = -2$, откуда $x=5$. Так как функция убывающая, ее значения лежат в диапазоне $[-2, 0]$ при $x$ от 1 до 5.

Ответ: $x \in [1; 5]$.

в) $y = -\sqrt{x+2}, b = 0$

Требуется решить неравенство $y < b$, то есть $-\sqrt{x+2} < 0$.

1. Найдем ОДЗ:

$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

2. Решим неравенство:

$-\sqrt{x+2} < 0$

Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства:

$\sqrt{x+2} > 0$

Квадратный корень положителен всегда, когда его подкоренное выражение строго положительно.

$x + 2 > 0$

$x > -2$

3. Совместим решение с ОДЗ: $x > -2$ и $x \ge -2$. Пересечением является $x > -2$.

График функции $y = -\sqrt{x+2}$ начинается в точке $(-2, 0)$ и убывает. Мы ищем значения $x$, при которых график находится строго ниже оси абсцисс ($y=0$). Это выполняется для всех точек графика, за исключением его начальной точки, где $y=0$.

Ответ: $x \in (-2; +\infty)$.

г) $y = \sqrt{x+3} + 3, b = 5$

Требуется решить неравенство $y < b$, то есть $\sqrt{x+3} + 3 < 5$.

1. Найдем ОДЗ:

$x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.

2. Решим неравенство:

$\sqrt{x+3} + 3 < 5$

$\sqrt{x+3} < 2$

Так как обе части неотрицательны, возведем их в квадрат:

$(\sqrt{x+3})^2 < 2^2$

$x + 3 < 4$

$x < 1$

3. Совместим решение с ОДЗ: $x \ge -3$ и $x < 1$. Пересечением является интервал $-3 \le x < 1$.

График функции $y = \sqrt{x+3} + 3$ начинается в точке $(-3, 3)$ и возрастает. Мы ищем значения $x$, при которых график находится строго ниже прямой $y=5$. Найдем точку пересечения: $\sqrt{x+3} + 3 = 5$, откуда $\sqrt{x+3}=2$, $x+3=4$, $x=1$. Таким образом, график находится ниже линии $y=5$ на промежутке от его начальной точки $x=-3$ (включительно) до точки пересечения $x=1$ (не включительно).

Ответ: $x \in [-3; 1)$.

Постройте график функции:

45. а) $y = |x|;$

б) $y = |x + 1|;$

в) $y = |x| - 3;$

г) $y = |x - 3| + 1.$

а) $y = |x|$

График функции $y = |x|$ строится на основе определения модуля. Модуль числа $x$ — это само число $x$, если $x$ неотрицательно, и число $-x$, если $x$ отрицательно. Таким образом, функцию можно записать в виде системы:

$y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

При $x \ge 0$ график совпадает с прямой $y=x$. Это биссектриса первого координатного угла, проходящая через точки (0, 0), (1, 1), (2, 2) и так далее.

При $x < 0$ график совпадает с прямой $y=-x$. Это биссектриса второго координатного угла, проходящая через точки (0, 0), (-1, 1), (-2, 2) и так далее.

В результате график функции $y = |x|$ представляет собой два луча, выходящих из одной точки (0, 0), которая является вершиной графика. Этот график имеет V-образную форму.

Ответ: График функции $y=|x|$ — это объединение двух лучей: $y=x$ для $x \ge 0$ и $y=-x$ для $x < 0$. Вершина графика находится в точке (0, 0).

б) $y = |x + 1|$

Для построения графика функции $y = |x+1|$ воспользуемся преобразованием графика функции $y = |x|$. График функции вида $y = f(x+a)$ получается из графика $y=f(x)$ сдвигом (параллельным переносом) на $a$ единиц вдоль оси абсцисс (Ox). Если $a>0$, сдвиг выполняется влево, если $a<0$ — вправо.

В нашем случае $f(x)=|x|$ и $a=1$. Следовательно, чтобы получить график $y=|x+1|$, нужно сдвинуть график $y=|x|$ на 1 единицу влево.

Вершина графика $y=|x|$ находилась в точке (0, 0). После сдвига на 1 единицу влево, вершина графика $y=|x+1|$ окажется в точке (-1, 0).

Ответ: График функции $y=|x+1|$ получается путем сдвига графика функции $y=|x|$ на 1 единицу влево вдоль оси Ox. Вершина нового графика находится в точке (-1, 0).

в) $y = |x| - 3$

Для построения графика функции $y = |x| - 3$ также воспользуемся преобразованием графика $y = |x|$. График функции вида $y = f(x) + c$ получается из графика $y=f(x)$ сдвигом на $c$ единиц вдоль оси ординат (Oy). Если $c>0$, сдвиг выполняется вверх, если $c<0$ — вниз.

В данном случае $f(x)=|x|$ и $c=-3$. Это означает, что для получения графика $y=|x|-3$ нужно сдвинуть график $y=|x|$ на 3 единицы вниз.

Вершина графика, которая у $y=|x|$ была в точке (0, 0), сместится в точку (0, -3).

Найдем точки пересечения с осью Ox, приравняв $y$ к нулю: $|x|-3=0 \implies |x|=3$. Отсюда $x=3$ или $x=-3$. Точки пересечения с осью абсцисс: (3, 0) и (-3, 0).

Ответ: График функции $y=|x|-3$ получается путем сдвига графика функции $y=|x|$ на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Вершина нового графика находится в точке (0, -3).

г) $y = |x - 3| + 1$

График функции $y = |x - 3| + 1$ можно получить из графика функции $y = |x|$ с помощью двух последовательных преобразований: сдвига по горизонтали и сдвига по вертикали.

1. Сначала построим график функции $y = |x-3|$. Это график $y=|x|$, сдвинутый на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Вершина этого графика будет в точке (3, 0).

2. Затем сдвинем полученный график $y = |x-3|$ на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Это и будет искомый график $y = |x-3|+1$.

В результате этих двух сдвигов вершина графика из точки (0, 0) переместится в точку (3, 1). Ветви графика будут направлены вверх.

Ответ: График функции $y=|x-3|+1$ получается путем сдвига графика функции $y=|x|$ на 3 единицы вправо вдоль оси Ox и на 1 единицу вверх вдоль оси Oy. Вершина итогового графика находится в точке (3, 1).

46 а) $y = -|x|;$

б) $y = -|x + 4| - 2;$

в) $y = -|x - 2|;$

г) $y = 2 - |x|.$

Для решения данных задач мы будем использовать метод геометрических преобразований графика функции $y = |x|$. График функции $y = |x|$ представляет собой две прямые, $y=x$ для $x \ge 0$ и $y=-x$ для $x < 0$, образующие "галочку" с вершиной в начале координат (0, 0) и ветвями, направленными вверх.

а) $y = -|x|$

Для построения графика этой функции нужно выполнить преобразование над графиком $y = |x|$.

1. Берём за основу график функции $y = |x|$.

2. Применяем преобразование вида $y = -f(x)$, которое соответствует симметричному отражению графика $f(x)$ относительно оси абсцисс (оси Ox). В данном случае мы отражаем график $y = |x|$ относительно оси Ox.

В результате вершина "галочки" остаётся в точке (0, 0), но её ветви теперь направлены вниз. График состоит из лучей $y = -x$ для $x \ge 0$ и $y = x$ для $x < 0$.

Ответ: График функции $y = -|x|$ — это график функции $y = |x|$, отражённый симметрично относительно оси абсцисс. Вершина графика находится в точке (0, 0), ветви направлены вниз.

б) $y = -|x + 4| - 2$

Для построения графика этой функции выполним последовательность преобразований над графиком $y = |x|$.

1. Начинаем с графика $y = |x|$ (вершина в (0, 0), ветви вверх).

2. Выполняем сдвиг по горизонтали: $y = |x + 4|$. Это преобразование вида $y = f(x+a)$, которое сдвигает график $f(x)$ на $a$ единиц влево. График $y = |x|$ сдвигается на 4 единицы влево. Вершина перемещается в точку (-4, 0).

3. Выполняем отражение: $y = -|x + 4|$. График, полученный на предыдущем шаге, отражается симметрично относительно оси Ox. Вершина остаётся в точке (-4, 0), но ветви теперь направлены вниз.

4. Выполняем сдвиг по вертикали: $y = -|x + 4| - 2$. Это преобразование вида $y = f(x) - b$, которое сдвигает график на $b$ единиц вниз. График $y = -|x + 4|$ сдвигается на 2 единицы вниз. Вершина перемещается из (-4, 0) в точку (-4, -2).

Ответ: График функции $y = -|x + 4| - 2$ получается из графика $y = |x|$ путём сдвига на 4 единицы влево, отражения относительно оси Ox и сдвига на 2 единицы вниз. Вершина итогового графика находится в точке (-4, -2), ветви направлены вниз.

в) $y = -|x - 2|$

Построим график этой функции, последовательно преобразуя график $y = |x|$.

1. Исходный график — $y = |x|$ (вершина в (0, 0), ветви вверх).

2. Выполняем сдвиг по горизонтали: $y = |x - 2|$. Это преобразование вида $y = f(x-a)$, которое сдвигает график $f(x)$ на $a$ единиц вправо. График $y = |x|$ сдвигается на 2 единицы вправо. Вершина перемещается в точку (2, 0).

3. Выполняем отражение: $y = -|x - 2|$. График $y = |x - 2|$ отражается симметрично относительно оси Ox. Вершина остаётся в точке (2, 0), а ветви теперь направлены вниз.

Ответ: График функции $y = -|x - 2|$ получается из графика $y = |x|$ путём сдвига на 2 единицы вправо и отражения относительно оси Ox. Вершина графика находится в точке (2, 0), ветви направлены вниз.

г) $y = 2 - |x|$

Для удобства анализа перепишем функцию в виде $y = -|x| + 2$. Построим её график с помощью преобразований.

1. Исходный график — $y = |x|$ (вершина в (0, 0), ветви вверх).

2. Выполняем отражение: $y = -|x|$. График $y = |x|$ отражается симметрично относительно оси Ox. Вершина остаётся в точке (0, 0), ветви направляются вниз.

3. Выполняем сдвиг по вертикали: $y = -|x| + 2$. Это преобразование вида $y = f(x) + b$, которое сдвигает график на $b$ единиц вверх. График $y = -|x|$ сдвигается на 2 единицы вверх. Вершина перемещается из (0, 0) в точку (0, 2).

Ответ: График функции $y = 2 - |x|$ получается из графика $y = |x|$ путём отражения относительно оси Ox и последующего сдвига на 2 единицы вверх. Вершина графика находится в точке (0, 2), ветви направлены вниз.

47 Постройте график функции $y = |x - 4| - 5$. Найдите:

а) наименьшее значение функции;

б) промежутки монотонности функции;

в) нули функции;

г) значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0$.

Для построения графика функции $y = |x - 4| - 5$ можно использовать метод преобразования графиков. Исходный график $y = |x|$ (V-образная линия с вершиной в начале координат) сдвигается на 4 единицы вправо по оси абсцисс, а затем на 5 единиц вниз по оси ординат. В результате вершина графика окажется в точке $(4, -5)$.

Также можно раскрыть модуль, чтобы представить функцию в кусочно-линейном виде:

$y = \begin{cases} (x - 4) - 5, & \text{если } x - 4 \ge 0 \\ -(x - 4) - 5, & \text{если } x - 4 < 0 \end{cases} \implies y = \begin{cases} x - 9, & \text{если } x \ge 4 \\ -x - 1, & \text{если } x < 4 \end{cases}$

График состоит из двух лучей, исходящих из точки $(4, -5)$.

а) наименьшее значение функции

Выражение $|x - 4|$ является неотрицательным для любого значения $x$, то есть $|x - 4| \ge 0$. Минимальное значение этого выражения равно 0 и достигается при $x = 4$. Таким образом, наименьшее значение функции $y$ равно $0 - 5 = -5$.

Ответ: -5.

б) промежутки монотонности функции

Исходя из кусочно-линейного представления функции:

1. На промежутке $(-\infty, 4)$ функция имеет вид $y = -x - 1$. Угловой коэффициент прямой равен -1, что означает, что функция на этом промежутке убывает.

2. На промежутке $(4, +\infty)$ функция имеет вид $y = x - 9$. Угловой коэффициент прямой равен 1, что означает, что функция на этом промежутке возрастает.

В точке $x=4$ функция достигает своего минимума, меняя убывание на возрастание.

Ответ: функция убывает на промежутке $(-\infty, 4]$ и возрастает на промежутке $[4, +\infty)$.

в) нули функции

Нули функции — это значения $x$, при которых $y = 0$. Необходимо решить уравнение:

$|x - 4| - 5 = 0$

$|x - 4| = 5$

Данное уравнение эквивалентно двум линейным уравнениям:

$x - 4 = 5$ или $x - 4 = -5$

$x = 9$ или $x = -1$

Ответ: -1; 9.

г) значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0$

Для нахождения промежутков, где $y > 0$, решим неравенство:

$|x - 4| - 5 > 0 \implies |x - 4| > 5$

Это неравенство распадается на два:

$x - 4 > 5$ или $x - 4 < -5$

$x > 9$ или $x < -1$

Следовательно, $y > 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (9, +\infty)$.

Для нахождения промежутков, где $y < 0$, решим неравенство:

$|x - 4| - 5 < 0 \implies |x - 4| < 5$

Это равносильно двойному неравенству:

$-5 < x - 4 < 5$

Прибавив 4 ко всем частям, получаем:

$-1 < x < 9$

Следовательно, $y < 0$ при $x \in (-1, 9)$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (9, +\infty)$; $y < 0$ при $x \in (-1, 9)$.

48 Постройте график функции $y = -|x + 3| + 4$. Найдите:

а) наибольшее значение функции;

б) промежутки монотонности функции;

в) нули функции;

г) значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0$.

Для построения графика функции $ y = -|x + 3| + 4 $ можно использовать метод преобразований графика функции $y = |x|$ или раскрыть модуль.

1. Метод преобразований:

1. Берем за основу график функции $y = |x|$ (V-образная линия с вершиной в точке $(0, 0)$).
2. Сдвигаем его на 3 единицы влево по оси Ox, получаем график $y = |x + 3|$. Вершина теперь в точке $(-3, 0)$.
3. Отражаем полученный график симметрично относительно оси Ox. Получаем график $y = -|x + 3|$. Это перевернутая V-образная линия с вершиной в $(-3, 0)$.
4. Сдвигаем последний график на 4 единицы вверх по оси Oy. Получаем искомый график $y = -|x + 3| + 4$. Вершина графика находится в точке $(-3, 4)$.

2. Раскрытие модуля:

Функция $y = -|x + 3| + 4$ может быть записана как кусочно-линейная функция:

$y = \begin{cases} -(x+3)+4, & \text{если } x+3 \ge 0 \\ -(-(x+3))+4, & \text{если } x+3 < 0 \end{cases}$

Упрощая, получаем:

$y = \begin{cases} -x+1, & \text{если } x \ge -3 \\ x+7, & \text{если } x < -3 \end{cases}$

График состоит из двух лучей, исходящих из точки с абсциссой $x = -3$. Найдем ординату этой точки (вершины): $y = -(-3) + 1 = 4$. Вершина: $(-3, 4)$.

Для построения найдем точки пересечения с осями:

• С осью Oy ($x=0$): $y = -|0+3|+4 = -3+4=1$. Точка $(0, 1)$.
• С осью Ox ($y=0$): $-|x+3|+4=0 \Rightarrow |x+3|=4$. Отсюда $x+3=4$ (т.е. $x=1$) или $x+3=-4$ (т.е. $x=-7$). Точки $(1, 0)$ и $(-7, 0)$.

На основе этих данных строим график.

Теперь ответим на вопросы задачи, используя полученные данные.

а) наибольшее значение функции;

Поскольку график представляет собой перевернутую V-образную линию ("гору"), его вершина является точкой максимума. Координаты вершины - $(-3, 4)$. Наибольшее значение функции равно ординате вершины.

Ответ: $y_{наиб} = 4$.

б) промежутки монотонности функции;

Монотонность функции — это промежутки, на которых она только возрастает или только убывает. Глядя на график или на кусочно-линейное представление, видим, что до вершины (при $x < -3$) функция возрастает, а после вершины (при $x > -3$) — убывает.

Ответ: функция возрастает на промежутке $(-\infty, -3]$; функция убывает на промежутке $[-3, +\infty)$.

в) нули функции;

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых $y = 0$. Мы уже нашли их, когда искали точки пересечения с осью Ox.

Решим уравнение $-|x+3|+4=0$:

$|x+3|=4$

Это уравнение распадается на два:

$x+3=4 \quad \Rightarrow \quad x=1$

$x+3=-4 \quad \Rightarrow \quad x=-7$

Ответ: $x = -7, x = 1$.

г) значения аргумента, при которых $y > 0, y < 0$.

Для нахождения этих промежутков решим соответствующие неравенства.

$y > 0 \implies -|x+3|+4 > 0 \implies 4 > |x+3|$. Это двойное неравенство: $-4 < x+3 < 4$. Вычитая 3 из всех частей, получаем: $-7 < x < 1$.

$y < 0 \implies -|x+3|+4 < 0 \implies 4 < |x+3|$. Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств: $x+3 > 4$ или $x+3 < -4$. Решая их, получаем: $x > 1$ или $x < -7$.

Ответ: $y > 0$ при $x \in (-7, 1)$; $y < 0$ при $x \in (-\infty, -7) \cup (1, +\infty)$.

49 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $y = |x|$ на отрезке $[-\sqrt{2}; 1];$

б) $y = -|x + 4|$ на отрезке $[-\sqrt{2}; 1];$

в) $y = -|x| + 5$ на отрезке $[-1; \sqrt{3}];$

г) $y = |x - 1| - 3$ на отрезке $[2; \sqrt{5}].$

а) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y = |x|$ на отрезке $[-\sqrt{2}; 1]$.

График функции $y = |x|$ представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(0, 0)$. В точке $x=0$ функция достигает своего наименьшего значения. Эта точка принадлежит заданному отрезку $[-\sqrt{2}; 1]$, так как $-\sqrt{2} < 0 < 1$. Следовательно, наименьшее значение функции на отрезке равно $y(0) = |0| = 0$.

Наибольшее значение непрерывная функция на отрезке достигает либо в точке экстремума, либо на концах отрезка. Поскольку точка минимума уже найдена, найдем значения функции на концах отрезка:

$y(-\sqrt{2}) = |-\sqrt{2}| = \sqrt{2}$

$y(1) = |1| = 1$

Сравнивая значения на концах отрезка, получаем, что $\sqrt{2} > 1$. Значит, наибольшее значение функции на отрезке равно $\sqrt{2}$.

Ответ: $y_{наим} = 0$, $y_{наиб} = \sqrt{2}$.

б) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y = -|x + 4|$ на отрезке $[-\sqrt{2}; 1]$.

График функции $y = -|x + 4|$ представляет собой перевернутую "галочку" с вершиной в точке $x = -4$. В этой точке функция достигает своего наибольшего значения, равного $y(-4) = -|-4+4| = 0$.

Точка $x = -4$ не принадлежит отрезку $[-\sqrt{2}; 1]$. На промежутке $(-\infty; -4)$ функция возрастает, а на промежутке $(-4; +\infty)$ функция убывает. Так как весь отрезок $[-\sqrt{2}; 1]$ находится правее точки $x=-4$, функция на этом отрезке монотонно убывает.

Для убывающей функции на отрезке наибольшее значение достигается в левой крайней точке, а наименьшее — в правой. Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наибольшее значение: $y(-\sqrt{2}) = -|-\sqrt{2} + 4| = -(4 - \sqrt{2}) = \sqrt{2} - 4$.

Наименьшее значение: $y(1) = -|1 + 4| = -|5| = -5$.

Ответ: $y_{наим} = -5$, $y_{наиб} = \sqrt{2} - 4$.

в) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y = -|x| + 5$ на отрезке $[-1; \sqrt{3}]$.

График функции $y = -|x| + 5$ представляет собой перевернутую "галочку" с вершиной в точке $x=0$. В этой точке функция достигает своего наибольшего значения. Точка $x=0$ принадлежит отрезку $[-1; \sqrt{3}]$. Следовательно, наибольшее значение функции на этом отрезке равно $y(0) = -|0| + 5 = 5$.

Наименьшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Вычислим значения функции на концах:

$y(-1) = -|-1| + 5 = -1 + 5 = 4$

$y(\sqrt{3}) = -|\sqrt{3}| + 5 = 5 - \sqrt{3}$

Сравним полученные значения: $4$ и $5 - \sqrt{3}$. Так как $1 < \sqrt{3} < 2$, то $3 < 5 - \sqrt{3} < 4$. Следовательно, $5 - \sqrt{3}$ является наименьшим значением.

Ответ: $y_{наим} = 5 - \sqrt{3}$, $y_{наиб} = 5$.

г) Найдем наибольшее и наименьшее значения функции $y = |x - 1| - 3$ на отрезке $[2; \sqrt{5}]$.

График функции $y = |x - 1| - 3$ представляет собой "галочку" с вершиной в точке $x=1$. В этой точке функция достигает своего наименьшего значения, равного $y(1)=|1-1|-3=-3$.

Точка $x=1$ не принадлежит отрезку $[2; \sqrt{5}]$. На промежутке $(1; +\infty)$ функция возрастает. Так как весь отрезок $[2; \sqrt{5}]$ находится правее точки $x=1$, функция на этом отрезке монотонно возрастает.

Для возрастающей функции на отрезке наименьшее значение достигается в левой крайней точке, а наибольшее — в правой. Вычислим значения функции на концах отрезка:

Наименьшее значение: $y(2) = |2 - 1| - 3 = 1 - 3 = -2$.

Наибольшее значение: $y(\sqrt{5}) = |\sqrt{5} - 1| - 3$. Так как $\sqrt{5} \approx 2.236 > 1$, то $|\sqrt{5} - 1| = \sqrt{5} - 1$. Тогда $y(\sqrt{5}) = (\sqrt{5} - 1) - 3 = \sqrt{5} - 4$.

Ответ: $y_{наим} = -2$, $y_{наиб} = \sqrt{5} - 4$.