Номер 44, страница 225, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 44, страница 225.

Условие.

44 Используя график данной функции, определите, при каких значениях x выполняется неравенство $y \ge b, y < b$, если:

а) $y = \sqrt{x+3}-1, b=0;$

б) $y = -\sqrt{x-1}, b=-2;$

в) $y = -\sqrt{x+2}, b=0;$

г) $y = \sqrt{x+3}, b=5.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = \sqrt{x+3} - 1, b = 0$

Требуется решить неравенство $y \ge b$, то есть $\sqrt{x+3} - 1 \ge 0$.

1. Найдем область определения функции (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным:

$x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.

2. Решим само неравенство:

$\sqrt{x+3} - 1 \ge 0$

$\sqrt{x+3} \ge 1$

Поскольку обе части неравенства неотрицательны, мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:

$(\sqrt{x+3})^2 \ge 1^2$

$x + 3 \ge 1$

$x \ge -2$

3. Совместим полученное решение с ОДЗ. Необходимо, чтобы выполнялись оба условия: $x \ge -2$ и $x \ge -3$. Пересечением этих двух множеств является $x \ge -2$.

Графически это означает нахождение тех значений $x$, при которых график функции $y = \sqrt{x+3} - 1$ (стандартный график $y=\sqrt{x}$, смещенный на 3 единицы влево и на 1 единицу вниз) расположен на оси абсцисс ($y=0$) или выше нее. График пересекает ось абсцисс в точке, где $y=0$, то есть $\sqrt{x+3} - 1 = 0$, что дает $x=-2$. Так как функция возрастающая, ее значения будут больше или равны нулю при $x \ge -2$.

Ответ: $x \in [-2; +\infty)$.

б) $y = -\sqrt{x-1}, b = -2$

Требуется решить неравенство $y \ge b$, то есть $-\sqrt{x-1} \ge -2$.

1. Найдем ОДЗ:

$x - 1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

2. Решим неравенство:

$-\sqrt{x-1} \ge -2$

Умножим обе части на $-1$, при этом знак неравенства изменится на противоположный:

$\sqrt{x-1} \le 2$

Обе части неотрицательны, возводим в квадрат:

$(\sqrt{x-1})^2 \le 2^2$

$x - 1 \le 4$

$x \le 5$

3. Совместим решение с ОДЗ: $x \ge 1$ и $x \le 5$. Пересечением является интервал $1 \le x \le 5$.

Графически мы ищем те значения $x$, при которых график функции $y = -\sqrt{x-1}$ (график $y=\sqrt{x}$, отраженный относительно оси $x$ и смещенный на 1 единицу вправо) находится на прямой $y=-2$ или выше нее. Начальная точка графика — $(1, 0)$. Найдем точку пересечения с прямой $y=-2$: $-\sqrt{x-1} = -2$, откуда $x=5$. Так как функция убывающая, ее значения лежат в диапазоне $[-2, 0]$ при $x$ от 1 до 5.

Ответ: $x \in [1; 5]$.

в) $y = -\sqrt{x+2}, b = 0$

Требуется решить неравенство $y < b$, то есть $-\sqrt{x+2} < 0$.

1. Найдем ОДЗ:

$x + 2 \ge 0 \implies x \ge -2$.

2. Решим неравенство:

$-\sqrt{x+2} < 0$

Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства:

$\sqrt{x+2} > 0$

Квадратный корень положителен всегда, когда его подкоренное выражение строго положительно.

$x + 2 > 0$

$x > -2$

3. Совместим решение с ОДЗ: $x > -2$ и $x \ge -2$. Пересечением является $x > -2$.

График функции $y = -\sqrt{x+2}$ начинается в точке $(-2, 0)$ и убывает. Мы ищем значения $x$, при которых график находится строго ниже оси абсцисс ($y=0$). Это выполняется для всех точек графика, за исключением его начальной точки, где $y=0$.

Ответ: $x \in (-2; +\infty)$.

г) $y = \sqrt{x+3} + 3, b = 5$

Требуется решить неравенство $y < b$, то есть $\sqrt{x+3} + 3 < 5$.

1. Найдем ОДЗ:

$x + 3 \ge 0 \implies x \ge -3$.

2. Решим неравенство:

$\sqrt{x+3} + 3 < 5$

$\sqrt{x+3} < 2$

Так как обе части неотрицательны, возведем их в квадрат:

$(\sqrt{x+3})^2 < 2^2$

$x + 3 < 4$

$x < 1$

3. Совместим решение с ОДЗ: $x \ge -3$ и $x < 1$. Пересечением является интервал $-3 \le x < 1$.

График функции $y = \sqrt{x+3} + 3$ начинается в точке $(-3, 3)$ и возрастает. Мы ищем значения $x$, при которых график находится строго ниже прямой $y=5$. Найдем точку пересечения: $\sqrt{x+3} + 3 = 5$, откуда $\sqrt{x+3}=2$, $x+3=4$, $x=1$. Таким образом, график находится ниже линии $y=5$ на промежутке от его начальной точки $x=-3$ (включительно) до точки пересечения $x=1$ (не включительно).

Ответ: $x \in [-3; 1)$.