Номер 39, страница 224, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 39, страница 224.

Условие.

39 Найдите наибольшее и наименьшее значения функции:

а) $y = \sqrt{x}$ на луче $[4; +\infty)$;

б) $y = -\sqrt{x} + 2$ на отрезке $[0; 3];

в) $y = -\sqrt{x} + 4$ на полуинтервале $(0; 4];

г) $y = \sqrt{x - 3} + 1$ на отрезке $[6; 9].

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для функции $y = \sqrt{x}$ на луче $[4; +\infty)$.

Функция $y = \sqrt{x}$ является монотонно возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 0$). Это означает, что для любых $x_1$ и $x_2$ из области определения таких, что $x_1 < x_2$, выполняется неравенство $y(x_1) < y(x_2)$.

На луче $[4; +\infty)$ функция также возрастает. Следовательно, свое наименьшее значение она принимает в левой границе этого промежутка, то есть в точке $x = 4$.

Вычислим это значение:
$y_{наим} = y(4) = \sqrt{4} = 2$.

Поскольку аргумент $x$ может принимать сколь угодно большие значения (стремится к $+\infty$), значение функции $y$ также неограниченно возрастает. Таким образом, наибольшего значения на данном луче функция не достигает.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 2$; наибольшего значения не существует.

б) Для функции $y = -\sqrt{x} + 2$ на отрезке $[0; 3]$.

Функция $y = \sqrt{x}$ является возрастающей, значит функция $y = -\sqrt{x}$ (полученная отражением относительно оси Ox) является монотонно убывающей. Прибавление константы 2 смещает график функции вверх, но не влияет на ее монотонность. Следовательно, функция $y = -\sqrt{x} + 2$ является монотонно убывающей.

На отрезке $[a; b]$ убывающая функция достигает своего наибольшего значения в точке $x=a$, а наименьшего — в точке $x=b$. Для отрезка $[0; 3]$:

Наибольшее значение достигается при $x = 0$:
$y_{наиб} = y(0) = -\sqrt{0} + 2 = 0 + 2 = 2$.

Наименьшее значение достигается при $x = 3$:
$y_{наим} = y(3) = -\sqrt{3} + 2$.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = 2$; наименьшее значение $y_{наим} = 2 - \sqrt{3}$.

в) Для функции $y = -\sqrt{x} + 4$ на полуинтервале $(0; 4]$.

Как и в предыдущем пункте, функция $y = -\sqrt{x} + 4$ является монотонно убывающей. Рассматривается полуинтервал $(0; 4]$.

Поскольку функция убывает, свое наименьшее значение она принимает в самой правой из рассматриваемых точек. Это точка $x = 4$, она включена в полуинтервал.

Вычислим это значение:
$y_{наим} = y(4) = -\sqrt{4} + 4 = -2 + 4 = 2$.

Наибольшее значение убывающая функция должна принимать в самой левой точке. Левая граница интервала — точка $x = 0$, но она не включена в полуинтервал $(0; 4]$ (круглая скобка). При $x \to 0^+$, значение $y$ стремится к $y(0) = -\sqrt{0} + 4 = 4$. Однако это значение не достигается, так как $x$ не может быть равен 0. Можно найти значения функции сколь угодно близкие к 4, но само значение 4 недостижимо. Следовательно, наибольшего значения у функции на данном полуинтервале нет.

Ответ: наименьшее значение $y_{наим} = 2$; наибольшего значения не существует.

г) Для функции $y = \sqrt{x - 3} + 1$ на отрезке $[6; 9]$.

Функция $y = \sqrt{x-3} + 1$ получена из функции $y = \sqrt{x}$ сдвигом на 3 единицы вправо и на 1 единицу вверх. Эти преобразования сохраняют монотонность, поэтому функция является монотонно возрастающей на всей своей области определения ($x \ge 3$).

На отрезке $[a; b]$ возрастающая функция достигает своего наименьшего значения в точке $x=a$, а наибольшего — в точке $x=b$. Для отрезка $[6; 9]$:

Наименьшее значение достигается при $x = 6$:
$y_{наим} = y(6) = \sqrt{6 - 3} + 1 = \sqrt{3} + 1$.

Наибольшее значение достигается при $x = 9$:
$y_{наиб} = y(9) = \sqrt{9 - 3} + 1 = \sqrt{6} + 1$.

Ответ: наибольшее значение $y_{наиб} = \sqrt{6} + 1$; наименьшее значение $y_{наим} = \sqrt{3} + 1$.