Номер 38, страница 224, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 38, страница 224.

Условие.

38 a) $y = \sqrt{-x}$;

б) $y = \sqrt{3-x}$;

в) $y = \sqrt{-x+2}$;

г) $y = -\sqrt{2-x}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = \sqrt{-x}$

Для анализа функции $y = \sqrt{-x}$ найдем ее область определения, область значений и рассмотрим построение графика.

1. Область определения функции (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$-x \geq 0$
Умножим обе части неравенства на -1, при этом знак неравенства изменится на противоположный:
$x \leq 0$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty, 0]$.

2. Область значений функции. По определению, арифметический квадратный корень принимает только неотрицательные значения.
$y \geq 0$
Следовательно, область значений функции: $E(y) = [0, +\infty)$.

3. Построение графика. График функции $y = \sqrt{-x}$ получается из графика базовой функции $y = \sqrt{x}$ путем симметричного отражения относительно оси Oy. Если график $y = \sqrt{x}$ является ветвью параболы, выходящей из начала координат и идущей вправо и вверх, то график $y = \sqrt{-x}$ — это ветвь параболы, выходящая из начала координат (0,0) и идущая влево и вверх.
Некоторые точки для построения: (0, 0); (-1, 1); (-4, 2).

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty, 0]$. Область значений $E(y) = [0, +\infty)$. График является отражением графика функции $y = \sqrt{x}$ относительно оси Oy.

б) $y = \sqrt{3-x}$

Для анализа функции $y = \sqrt{3-x}$ найдем ее область определения, область значений и рассмотрим построение графика.

1. Область определения функции (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$3-x \geq 0$
$3 \geq x$ или $x \leq 3$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty, 3]$.

2. Область значений функции. Арифметический квадратный корень всегда неотрицателен.
$y \geq 0$
Следовательно, область значений функции: $E(y) = [0, +\infty)$.

3. Построение графика. График функции $y = \sqrt{3-x}$ можно получить путем преобразования графика $y = \sqrt{-x}$. Запишем функцию в виде $y = \sqrt{-(x-3)}$. Это означает, что график функции $y = \sqrt{-x}$ необходимо сдвинуть на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Начальная точка графика переместится из (0, 0) в точку (3, 0).
Некоторые точки для построения: (3, 0); (2, 1); (-1, 2).

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty, 3]$. Область значений $E(y) = [0, +\infty)$. График получается сдвигом графика функции $y=\sqrt{-x}$ на 3 единицы вправо.

в) $y = \sqrt{-x} + 2$

Для анализа функции $y = \sqrt{-x} + 2$ найдем ее область определения, область значений и рассмотрим построение графика.

1. Область определения функции (ОДЗ). Как и в пункте а), выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$-x \geq 0 \implies x \leq 0$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty, 0]$.

2. Область значений функции. Значение выражения $\sqrt{-x}$ неотрицательно: $\sqrt{-x} \ge 0$.
Прибавляя 2 к обеим частям неравенства, получаем:
$\sqrt{-x} + 2 \geq 2$
Следовательно, $y \ge 2$. Область значений функции: $E(y) = [2, +\infty)$.

3. Построение графика. График функции $y = \sqrt{-x} + 2$ получается из графика $y = \sqrt{-x}$ путем сдвига на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Начальная точка графика переместится из (0, 0) в точку (0, 2).
Некоторые точки для построения: (0, 2); (-1, 3); (-4, 4).

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty, 0]$. Область значений $E(y) = [2, +\infty)$. График получается сдвигом графика функции $y=\sqrt{-x}$ на 2 единицы вверх.

г) $y = -\sqrt{2-x}$

Для анализа функции $y = -\sqrt{2-x}$ найдем ее область определения, область значений и рассмотрим построение графика.

1. Область определения функции (ОДЗ). Выражение под корнем должно быть неотрицательным.
$2-x \geq 0 \implies 2 \geq x$ или $x \leq 2$
Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty, 2]$.

2. Область значений функции. Выражение $\sqrt{2-x}$ принимает неотрицательные значения: $\sqrt{2-x} \ge 0$.
Так как перед корнем стоит знак минус, умножим неравенство на -1, изменив знак:
$-\sqrt{2-x} \leq 0$
Следовательно, $y \le 0$. Область значений функции: $E(y) = (-\infty, 0]$.

3. Построение графика. График функции $y = -\sqrt{2-x}$ можно получить из графика $y = \sqrt{x}$ серией преобразований. Представим функцию как $y = -\sqrt{-(x-2)}$.
Последовательность преобразований:
1) $y = \sqrt{x}$ (базовый график).
2) $y = \sqrt{-x}$ (отражение относительно оси Oy).
3) $y = -\sqrt{-x}$ (отражение относительно оси Ox).
4) $y = -\sqrt{-(x-2)}$ (сдвиг вправо на 2 единицы).
Таким образом, начальная точка графика смещается в (2, 0), а ветвь параболы направлена влево и вниз.
Некоторые точки для построения: (2, 0); (1, -1); (-2, -2).

Ответ: Область определения $D(y) = (-\infty, 2]$. Область значений $E(y) = (-\infty, 0]$. График получается из графика $y=\sqrt{x}$ отражением относительно обеих координатных осей и последующим сдвигом на 2 единицы вправо.