Номер 37, страница 224, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 37, страница 224.

Условие.

37 a) $y = \sqrt{x + 4}$;

б) $y = \sqrt{x + 6}$;

в) $y = -\sqrt{x + 1}$;

г) $y = \sqrt{x - 2} - 2.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = \sqrt{x + 4}$

Область определения (D(y)):
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$x + 4 \ge 0$
$x \ge -4$
Таким образом, область определения функции: $D(y) = [-4; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
Арифметический квадратный корень $\sqrt{x + 4}$ принимает только неотрицательные значения, то есть $\sqrt{x + 4} \ge 0$.
Следовательно, $y \ge 0$. Наименьшее значение $y=0$ достигается при $x=-4$.
Таким образом, область значений функции: $E(y) = [0; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [-4; +\infty)$; область значений $E(y) = [0; +\infty)$.

б) $y = \sqrt{x} + 6$

Область определения (D(y)):
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$x \ge 0$
Таким образом, область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
По определению, $\sqrt{x} \ge 0$. Прибавив к обеим частям неравенства 6, получаем:
$\sqrt{x} + 6 \ge 6$
Следовательно, $y \ge 6$. Наименьшее значение $y=6$ достигается при $x=0$.
Таким образом, область значений функции: $E(y) = [6; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$; область значений $E(y) = [6; +\infty)$.

в) $y = -\sqrt{x} + 1$

Область определения (D(y)):
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$x \ge 0$
Таким образом, область определения функции: $D(y) = [0; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
Известно, что $\sqrt{x} \ge 0$. Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$-\sqrt{x} \le 0$
Теперь прибавим 1 к обеим частям:
$-\sqrt{x} + 1 \le 1$
Следовательно, $y \le 1$. Наибольшее значение $y=1$ достигается при $x=0$.
Таким образом, область значений функции: $E(y) = (-\infty; 1]$.

Ответ: Область определения $D(y) = [0; +\infty)$; область значений $E(y) = (-\infty; 1]$.

г) $y = \sqrt{x - 2} - 2$

Область определения (D(y)):
Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным.
$x - 2 \ge 0$
$x \ge 2$
Таким образом, область определения функции: $D(y) = [2; +\infty)$.

Область значений (E(y)):
По определению, $\sqrt{x - 2} \ge 0$. Вычтем из обеих частей неравенства 2:
$\sqrt{x - 2} - 2 \ge -2$
Следовательно, $y \ge -2$. Наименьшее значение $y=-2$ достигается при $x=2$.
Таким образом, область значений функции: $E(y) = [-2; +\infty)$.

Ответ: Область определения $D(y) = [2; +\infty)$; область значений $E(y) = [-2; +\infty)$.