Номер 32, страница 223, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 32, страница 223.

Условие.

32 Решите графически уравнение:

а) $\frac{3}{x-3} = x - 5;$

б) $-\frac{4}{x} = \frac{6}{x+2} - 2;$

в) $2x - 6 = -\frac{6}{x+1};$

г) $\frac{3}{x} + 2 = -\frac{5}{x-2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для графического решения уравнения $\frac{3}{x-3} = x - 5$ необходимо построить графики двух функций: $y_1 = \frac{3}{x-3}$ и $y_2 = x - 5$ и найти абсциссы точек их пересечения.
1. График функции $y_1 = \frac{3}{x-3}$ — это гипербола. Она получена из графика функции $y = \frac{3}{x}$ сдвигом на 3 единицы вправо вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота: $x=3$. Горизонтальная асимптота: $y=0$. Для построения найдем несколько точек:
- при $x=2$, $y_1 = \frac{3}{2-3} = -3$;
- при $x=0$, $y_1 = \frac{3}{0-3} = -1$;
- при $x=4$, $y_1 = \frac{3}{4-3} = 3$;
- при $x=6$, $y_1 = \frac{3}{6-3} = 1$.
2. График функции $y_2 = x - 5$ — это прямая. Для построения достаточно двух точек:
- при $x=0$, $y_2 = -5$;
- при $x=5$, $y_2 = 0$.
Построив графики в одной системе координат, мы видим, что они пересекаются в двух точках: $(2, -3)$ и $(6, 1)$.
Абсциссы этих точек являются решениями исходного уравнения.
Ответ: $x_1=2$, $x_2=6$.

б) Чтобы решить уравнение $-\frac{4}{x} = \frac{6}{x+2} - 2$ графически, преобразуем его для удобства построения: $2 - \frac{4}{x} = \frac{6}{x+2}$. Построим графики функций $y_1 = 2 - \frac{4}{x}$ и $y_2 = \frac{6}{x+2}$.
1. График функции $y_1 = 2 - \frac{4}{x}$ — это гипербола. Она получена из графика $y = -\frac{4}{x}$ сдвигом на 2 единицы вверх вдоль оси Oy. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота: $y=2$. Точки для построения:
- при $x=-1$, $y_1 = 2 - \frac{4}{-1} = 6$;
- при $x=1$, $y_1 = 2 - 4 = -2$;
- при $x=2$, $y_1 = 2 - 2 = 0$;
- при $x=4$, $y_1 = 2 - 1 = 1$.
2. График функции $y_2 = \frac{6}{x+2}$ — это гипербола. Она получена из графика $y = \frac{6}{x}$ сдвигом на 2 единицы влево вдоль оси Ox. Вертикальная асимптота: $x=-2$. Горизонтальная асимптота: $y=0$. Точки для построения:
- при $x=-1$, $y_2 = \frac{6}{-1+2} = 6$;
- при $x=0$, $y_2 = \frac{6}{0+2} = 3$;
- при $x=1$, $y_2 = \frac{6}{1+2} = 2$;
- при $x=4$, $y_2 = \frac{6}{4+2} = 1$.
Графики пересекаются в точках с координатами $(-1, 6)$ и $(4, 1)$.
Абсциссы этих точек являются решениями.
Ответ: $x_1=-1$, $x_2=4$.

в) Для графического решения уравнения $2x - 6 = -\frac{6}{x+1}$ построим графики функций $y_1 = 2x - 6$ и $y_2 = -\frac{6}{x+1}$.
1. График функции $y_1 = 2x - 6$ — это прямая. Точки для построения:
- при $x=0$, $y_1 = -6$;
- при $x=3$, $y_1 = 0$.
2. График функции $y_2 = -\frac{6}{x+1}$ — это гипербола, полученная сдвигом графика $y = -\frac{6}{x}$ на 1 единицу влево. Вертикальная асимптота: $x=-1$. Горизонтальная асимптота: $y=0$. Точки для построения:
- при $x=0$, $y_2 = -\frac{6}{0+1} = -6$;
- при $x=1$, $y_2 = -\frac{6}{1+1} = -3$;
- при $x=2$, $y_2 = -\frac{6}{2+1} = -2$;
- при $x=-2$, $y_2 = -\frac{6}{-2+1} = 6$.
Построив графики, находим точки пересечения: $(0, -6)$ и $(2, -2)$.
Абсциссы этих точек и есть решения уравнения.
Ответ: $x_1=0$, $x_2=2$.

г) Для решения уравнения $\frac{3}{x} + 2 = -\frac{5}{x-2}$ графическим методом построим графики двух функций: $y_1 = \frac{3}{x} + 2$ и $y_2 = -\frac{5}{x-2}$.
1. График функции $y_1 = \frac{3}{x} + 2$ — гипербола. Получена из графика $y = \frac{3}{x}$ сдвигом на 2 единицы вверх. Вертикальная асимптота: $x=0$. Горизонтальная асимптота: $y=2$. Точки для построения:
- при $x=-3$, $y_1 = \frac{3}{-3} + 2 = 1$;
- при $x=-1$, $y_1 = \frac{3}{-1} + 2 = -1$;
- при $x=1$, $y_1 = \frac{3}{1} + 2 = 5$;
- при $x=3$, $y_1 = \frac{3}{3} + 2 = 3$.
2. График функции $y_2 = -\frac{5}{x-2}$ — гипербола. Получена из графика $y = -\frac{5}{x}$ сдвигом на 2 единицы вправо. Вертикальная асимптота: $x=2$. Горизонтальная асимптота: $y=0$. Точки для построения:
- при $x=-3$, $y_2 = -\frac{5}{-3-2} = 1$;
- при $x=1$, $y_2 = -\frac{5}{1-2} = 5$;
- при $x=3$, $y_2 = -\frac{5}{3-2} = -5$;
- при $x=7$, $y_2 = -\frac{5}{7-2} = -1$.
Графики пересекаются в точках $(-3, 1)$ и $(1, 5)$.
Абсциссы этих точек являются решениями уравнения.
Ответ: $x_1=-3$, $x_2=1$.