Номер 34, страница 223, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 34, страница 223.

Условие.

34 Используя график данной функции, определите, при каких значениях $x$ выполняется условие $y = m, y > m, y < m$, если:

а) $y = \frac{4}{x-1} - 4, m = 0$;

б) $y = -\frac{6}{x-2}, m = 3$;

в) $y = \frac{3}{x} + 3, m = 0$;

г) $y = -\frac{8}{x+2} + 2, m = -2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для функции $y = \frac{4}{x-1} - 4$ и $m = 0$ найдем значения $x$, при которых выполняются условия $y = m$, $y > m$ и $y < m$.

Чтобы найти значения $x$, при которых $y=m$, нужно найти абсциссы точек пересечения графика функции с прямой $y=m$. Чтобы найти, при каких $x$ выполняется $y>m$ (или $y<m$), нужно найти интервалы, на которых график функции лежит выше (или ниже) прямой $y=m$. В данном случае $m=0$, поэтому мы сравниваем положение графика относительно оси абсцисс ($y=0$).

1. Решим уравнение $y = 0$:

$\frac{4}{x-1} - 4 = 0$

$\frac{4}{x-1} = 4$

При условии, что $x-1 \neq 0$ (т.е. $x \neq 1$), имеем:

$4 = 4(x-1)$

$1 = x-1$

$x = 2$

Итак, график функции пересекает ось $x$ в точке $x=2$.

2. Решим неравенство $y > 0$:

$\frac{4}{x-1} - 4 > 0$

$\frac{4 - 4(x-1)}{x-1} > 0$

$\frac{4 - 4x + 4}{x-1} > 0$

$\frac{8 - 4x}{x-1} > 0$

$\frac{4(2 - x)}{x-1} > 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Критические точки (нули числителя и знаменателя): $x=2$ и $x=1$. Эти точки разбивают числовую прямую на интервалы $(-\infty, 1)$, $(1, 2)$ и $(2, \infty)$. Проверяя знак выражения в каждом интервале, получаем, что неравенство выполняется при $x \in (1, 2)$.

3. Решим неравенство $y < 0$:

$\frac{4(2 - x)}{x-1} < 0$

Используя результаты предыдущего пункта, получаем, что неравенство выполняется, когда выражение отрицательно. Это происходит на интервалах $x \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$.

Ответ: $y=0$ при $x=2$; $y>0$ при $x \in (1, 2)$; $y<0$ при $x \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$.

б) Для функции $y = -\frac{6}{x-2}$ и $m = 3$ найдем значения $x$, при которых выполняются условия $y = m$, $y > m$ и $y < m$.

Здесь мы ищем точки пересечения и положение графика относительно прямой $y=3$.

1. Решим уравнение $y = 3$:

$-\frac{6}{x-2} = 3$

При условии $x-2 \neq 0$ (т.е. $x \neq 2$):

$-6 = 3(x-2)$

$-2 = x-2$

$x = 0$

График функции пересекает прямую $y=3$ в точке $x=0$.

2. Решим неравенство $y > 3$:

$-\frac{6}{x-2} > 3$

$-\frac{6}{x-2} - 3 > 0$

$\frac{-6 - 3(x-2)}{x-2} > 0$

$\frac{-6 - 3x + 6}{x-2} > 0$

$\frac{-3x}{x-2} > 0$

Умножим на $-1$ и сменим знак неравенства: $\frac{3x}{x-2} < 0$.

Критические точки: $x=0$ и $x=2$. Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при $x \in (0, 2)$.

3. Решим неравенство $y < 3$:

$\frac{3x}{x-2} > 0$

Из метода интервалов следует, что это неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$.

Ответ: $y=3$ при $x=0$; $y>3$ при $x \in (0, 2)$; $y<3$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$.

в) Для функции $y = \frac{3}{x} + 3$ и $m = 0$ найдем значения $x$, при которых выполняются условия $y = m$, $y > m$ и $y < m$.

Сравниваем положение графика функции относительно оси абсцисс ($y=0$).

1. Решим уравнение $y = 0$:

$\frac{3}{x} + 3 = 0$

$\frac{3}{x} = -3$

При условии $x \neq 0$:

$3 = -3x$

$x = -1$

График функции пересекает ось $x$ в точке $x=-1$.

2. Решим неравенство $y > 0$:

$\frac{3}{x} + 3 > 0$

$\frac{3 + 3x}{x} > 0$

$\frac{3(1 + x)}{x} > 0$

Критические точки: $x=-1$ и $x=0$. Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

3. Решим неравенство $y < 0$:

$\frac{3(1 + x)}{x} < 0$

Из метода интервалов следует, что это неравенство выполняется при $x \in (-1, 0)$.

Ответ: $y=0$ при $x=-1$; $y>0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (0, \infty)$; $y<0$ при $x \in (-1, 0)$.

г) Для функции $y = -\frac{8}{x+2} + 2$ и $m = -2$ найдем значения $x$, при которых выполняются условия $y = m$, $y > m$ и $y < m$.

Ищем точки пересечения и положение графика относительно прямой $y=-2$.

1. Решим уравнение $y = -2$:

$-\frac{8}{x+2} + 2 = -2$

$-\frac{8}{x+2} = -4$

$\frac{8}{x+2} = 4$

При условии $x+2 \neq 0$ (т.е. $x \neq -2$):

$8 = 4(x+2)$

$2 = x+2$

$x = 0$

График функции пересекает прямую $y=-2$ в точке $x=0$.

2. Решим неравенство $y > -2$:

$-\frac{8}{x+2} + 2 > -2$

$-\frac{8}{x+2} + 4 > 0$

$\frac{-8 + 4(x+2)}{x+2} > 0$

$\frac{-8 + 4x + 8}{x+2} > 0$

$\frac{4x}{x+2} > 0$

Критические точки: $x=0$ и $x=-2$. Методом интервалов находим, что неравенство выполняется при $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$.

3. Решим неравенство $y < -2$:

$\frac{4x}{x+2} < 0$

Из метода интервалов следует, что это неравенство выполняется при $x \in (-2, 0)$.

Ответ: $y=-2$ при $x=0$; $y>-2$ при $x \in (-\infty, -2) \cup (0, \infty)$; $y<-2$ при $x \in (-2, 0)$.