Номер 30, страница 223, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 30, страница 223.

Условие.

30 а) Докажите, что функция $y = x^2 - 6x - 7$ убывает на отрезке $[-1; 2]$ и возрастает на отрезке $[4; 6]$.

б) Докажите, что функция $y = -x^2 + 2x + 5$ убывает на отрезке $[1; 4]$ и возрастает на отрезке $[-3; 0]$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для доказательства того, что функция $y = x^2 - 6x - 7$ убывает на отрезке $[-1; 2]$ и возрастает на отрезке $[4; 6]$, исследуем ее с помощью производной.

1. Найдем производную функции:
$y' = (x^2 - 6x - 7)' = 2x - 6$.

2. Исследуем знак производной на отрезке $[-1; 2]$.
Для любого $x$ из этого отрезка выполняется неравенство $-1 \le x \le 2$.
Поскольку производная $y' = 2x - 6$ является линейной возрастающей функцией, ее наибольшее значение на этом отрезке будет при $x=2$:
$y'(2) = 2(2) - 6 = 4 - 6 = -2$.
Так как наибольшее значение производной на отрезке $[-1; 2]$ отрицательно, то $y' < 0$ для всех $x \in [-1; 2]$.
Если производная функции отрицательна на промежутке, то функция на этом промежутке убывает. Таким образом, функция $y = x^2 - 6x - 7$ убывает на отрезке $[-1; 2]$.

3. Исследуем знак производной на отрезке $[4; 6]$.
Для любого $x$ из этого отрезка выполняется неравенство $4 \le x \le 6$.
Поскольку производная $y' = 2x - 6$ является возрастающей функцией, ее наименьшее значение на этом отрезке будет при $x=4$:
$y'(4) = 2(4) - 6 = 8 - 6 = 2$.
Так как наименьшее значение производной на отрезке $[4; 6]$ положительно, то $y' > 0$ для всех $x \in [4; 6]$.
Если производная функции положительна на промежутке, то функция на этом промежутке возрастает. Таким образом, функция $y = x^2 - 6x - 7$ возрастает на отрезке $[4; 6]$.

Ответ: Что и требовалось доказать.

б) Для доказательства того, что функция $y = -x^2 + 2x + 5$ убывает на отрезке $[1; 4]$ и возрастает на отрезке $[-3; 0]$, также используем производную.

1. Найдем производную функции:
$y' = (-x^2 + 2x + 5)' = -2x + 2$.

2. Исследуем знак производной на отрезке $[1; 4]$.
Для любого $x$ из этого отрезка выполняется неравенство $1 \le x \le 4$.
Производная $y' = -2x + 2$ является линейной убывающей функцией. Найдем ее значения на концах отрезка:
$y'(1) = -2(1) + 2 = 0$.
$y'(4) = -2(4) + 2 = -6$.
На всем отрезке $[1; 4]$ значения производной находятся в промежутке $[-6; 0]$. Следовательно, $y' \le 0$ для всех $x \in [1; 4]$ (причем равенство нулю достигается только в одной точке $x=1$).
Это означает, что функция $y = -x^2 + 2x + 5$ убывает на отрезке $[1; 4]$.

3. Исследуем знак производной на отрезке $[-3; 0]$.
Для любого $x$ из этого отрезка выполняется неравенство $-3 \le x \le 0$.
Производная $y' = -2x + 2$ является линейной убывающей функцией. Найдем ее значения на концах отрезка:
$y'(-3) = -2(-3) + 2 = 6 + 2 = 8$.
$y'(0) = -2(0) + 2 = 2$.
На всем отрезке $[-3; 0]$ значения производной находятся в промежутке $[2; 8]$. Следовательно, $y' > 0$ для всех $x \in [-3; 0]$.
Если производная функции положительна на промежутке, то функция на этом промежутке возрастает. Таким образом, функция $y = -x^2 + 2x + 5$ возрастает на отрезке $[-3; 0]$.

Ответ: Что и требовалось доказать.