Номер 35, страница 224, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 35, страница 224.

Условие.

35 Решите графически неравенство:

a) $ \frac{2}{x+2} + 1 \leq 0; $

б) $ -\frac{5}{x+1} < 1; $

в) $ \frac{4}{x-1} + 2 > 0; $

г) $ -\frac{3}{x-3} \geq 1. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Для решения неравенства $ \frac{2}{x+2} + 1 \le 0 $ графически, построим график функции $ y = \frac{2}{x+2} + 1 $. Это гипербола, полученная из графика $ y = \frac{2}{x} $ сдвигом на 2 единицы влево по оси Ox и на 1 единицу вверх по оси Oy.
Асимптоты графика:
Вертикальная асимптота: $ x + 2 = 0 \implies x = -2 $.
Горизонтальная асимптота: $ y = 1 $.
Найдем точку пересечения графика с осью Ox (то есть, где $ y = 0 $):
$ \frac{2}{x+2} + 1 = 0 $
$ \frac{2}{x+2} = -1 $
$ 2 = -(x+2) \implies 2 = -x - 2 \implies x = -4 $.
Точка пересечения с осью Ox: $(-4, 0)$.
Графически, нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y(x)$ находится на оси Ox или ниже нее ($y \le 0$).
Ветвь гиперболы при $x < -2$ пересекает ось Ox в точке $x = -4$ и уходит в минус бесконечность при приближении к асимптоте $x = -2$. Следовательно, на промежутке от точки пересечения до асимптоты, то есть при $x \in [-4, -2)$, значения функции неположительны. Ветвь при $x > -2$ полностью лежит выше горизонтальной асимптоты $y=1$, поэтому там $y>0$.
Ответ: $ x \in [-4, -2) $.

б) Для решения неравенства $ -\frac{5}{x+1} < 1 $ графически, построим в одной системе координат графики функций $ y = -\frac{5}{x+1} $ и $ y = 1 $.
График $ y = -\frac{5}{x+1} $ — это гипербола, полученная из $ y = -\frac{5}{x} $ сдвигом на 1 единицу влево.
Вертикальная асимптота: $ x = -1 $.
Горизонтальная асимптота: $ y = 0 $.
График $ y = 1 $ — это прямая, параллельная оси Ox.
Найдем точку их пересечения:
$ -\frac{5}{x+1} = 1 $
$ -5 = x+1 \implies x = -6 $.
Точка пересечения: $(-6, 1)$.
Нам нужно найти значения $x$, при которых график гиперболы $y = -\frac{5}{x+1}$ лежит ниже прямой $y=1$.
Рассмотрим ветви гиперболы:
- При $x > -1$, ветвь гиперболы находится ниже оси Ox ($y < 0$), поэтому она вся лежит ниже прямой $y=1$. Таким образом, весь интервал $x \in (-1, +\infty)$ является решением.
- При $x < -1$, ветвь гиперболы находится выше оси Ox. Она пересекает прямую $y=1$ в точке $x = -6$. Слева от точки пересечения ($x < -6$) график гиперболы находится между асимптотой $y=0$ и прямой $y=1$, то есть $0 < y < 1$. Значит, на этом интервале неравенство выполняется. Справа от точки пересечения ($-6 < x < -1$) график гиперболы уходит вверх, то есть $y>1$, и неравенство не выполняется.
Объединяя найденные интервалы, получаем решение.
Ответ: $ x \in (-\infty, -6) \cup (-1, +\infty) $.

в) Для решения неравенства $ \frac{4}{x-1} + 2 > 0 $ графически, построим график функции $ y = \frac{4}{x-1} + 2 $. Это гипербола, полученная из графика $ y = \frac{4}{x} $ сдвигом на 1 единицу вправо по оси Ox и на 2 единицы вверх по оси Oy.
Вертикальная асимптота: $ x = 1 $.
Горизонтальная асимптота: $ y = 2 $.
Найдем точку пересечения графика с осью Ox ($y = 0$):
$ \frac{4}{x-1} + 2 = 0 $
$ \frac{4}{x-1} = -2 $
$ 4 = -2(x-1) \implies 4 = -2x + 2 \implies 2x = -2 \implies x = -1 $.
Точка пересечения с осью Ox: $(-1, 0)$.
Нам нужно найти значения $x$, при которых график функции $y(x)$ находится выше оси Ox ($y > 0$).
Рассмотрим ветви гиперболы:
- При $x > 1$, ветвь гиперболы полностью лежит выше горизонтальной асимптоты $y=2$, поэтому $y > 2$, и, следовательно, $y>0$. Весь интервал $x \in (1, +\infty)$ является решением.
- При $x < 1$, ветвь гиперболы пересекает ось Ox в точке $x=-1$. Левее этой точки ($x < -1$), график находится между осью Ox и асимптотой $y=2$, то есть $0 < y < 2$. Таким образом, на интервале $x \in (-\infty, -1)$ неравенство выполняется. Между точкой пересечения и асимптотой ($-1 < x < 1$) график находится ниже оси Ox ($y < 0$), и неравенство не выполняется.
Объединяя найденные интервалы, получаем решение.
Ответ: $ x \in (-\infty, -1) \cup (1, +\infty) $.

г) Для решения неравенства $ -\frac{3}{x-3} \ge 1 $ графически, построим в одной системе координат графики функций $ y = -\frac{3}{x-3} $ и $ y = 1 $.
График $ y = -\frac{3}{x-3} $ — это гипербола, полученная из $ y = -\frac{3}{x} $ сдвигом на 3 единицы вправо.
Вертикальная асимптота: $ x = 3 $.
Горизонтальная асимптота: $ y = 0 $.
График $ y = 1 $ — это прямая, параллельная оси Ox.
Найдем точку их пересечения:
$ -\frac{3}{x-3} = 1 $
$ -3 = x-3 \implies x = 0 $.
Точка пересечения: $(0, 1)$.
Нам нужно найти значения $x$, при которых график гиперболы $y = -\frac{3}{x-3}$ лежит на прямой $y=1$ или выше нее.
Рассмотрим ветви гиперболы:
- При $x > 3$, ветвь гиперболы находится ниже оси Ox ($y < 0$), поэтому она всегда ниже прямой $y=1$. Этот интервал не является решением.
- При $x < 3$, ветвь гиперболы находится выше оси Ox. Она пересекает прямую $y=1$ в точке $x=0$. Справа от точки пересечения ($0 < x < 3$) график гиперболы уходит вверх к вертикальной асимптоте, то есть $y>1$. В самой точке пересечения $x=0$, $y=1$. Таким образом, на промежутке $x \in [0, 3)$ неравенство $y \ge 1$ выполняется. Слева от точки пересечения ($x<0$) график гиперболы находится ниже прямой $y=1$.
Решением является промежуток от точки пересечения (включительно) до вертикальной асимптоты (не включительно).
Ответ: $ x \in [0, 3) $.