Номер 33, страница 223, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 33, страница 223.

Условие.

33 Решите графически систему уравнений:

a) $\begin{cases} y = -0.5x^2 + 2x + 1, \\ y = \frac{5}{x + 1}; \end{cases}$

б) $\begin{cases} y = -\frac{6}{x} + 1, \\ y = x^2 - 2x - 4. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а)

Для графического решения системы уравнений необходимо построить графики функций $y = -0,5x^2 + 2x + 1$ и $y = \frac{5}{x+1}$ в одной системе координат. Координаты точек пересечения этих графиков будут являться решением системы.

1. Построение графика функции $y = -0,5x^2 + 2x + 1$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $-0,5$ (отрицателен), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-0,5)} = -\frac{2}{-1} = 2$.
$y_в = -0,5 \cdot (2)^2 + 2 \cdot 2 + 1 = -0,5 \cdot 4 + 4 + 1 = -2 + 4 + 1 = 3$.
Вершина параболы находится в точке $(2; 3)$.

Для более точного построения найдем еще несколько точек, принадлежащих графику.
При $x = 0, y = 1$.
При $x = 4, y = -0,5 \cdot 16 + 2 \cdot 4 + 1 = -8 + 8 + 1 = 1$.
При $x = -2, y = -0,5 \cdot 4 + 2 \cdot (-2) + 1 = -2 - 4 + 1 = -5$.

2. Построение графика функции $y = \frac{5}{x+1}$

Это дробно-рациональная функция, график которой — гипербола. График получен из графика $y = \frac{5}{x}$ сдвигом на 1 единицу влево по оси $Ox$.
Асимптоты графика: вертикальная $x = -1$ и горизонтальная $y=0$.

Найдем несколько точек, принадлежащих графику.
При $x = 0, y = \frac{5}{0+1} = 5$.
При $x = 4, y = \frac{5}{4+1} = 1$.
При $x = -2, y = \frac{5}{-2+1} = -5$.

3. Поиск решения

Построив оба графика в одной системе координат, находим их точки пересечения. Из вычисленных точек видно, что графики пересекаются в точках с координатами $(-2; -5)$ и $(4; 1)$.

Ответ: $(-2; -5), (4; 1)$.

б)

Для графического решения системы уравнений построим графики функций $y = -\frac{6}{x} + 1$ и $y = x^2 - 2x - 4$ в одной системе координат и найдем координаты точек их пересечения.

1. Построение графика функции $y = -\frac{6}{x} + 1$

Это дробно-рациональная функция, график которой — гипербола. График получен из графика $y = -\frac{6}{x}$ сдвигом на 1 единицу вверх по оси $Oy$. Ветви расположены во II и IV координатных четвертях относительно асимптот.
Асимптоты графика: вертикальная $x = 0$ и горизонтальная $y=1$.

Найдем несколько точек, принадлежащих графику.
При $x = -2, y = -\frac{6}{-2} + 1 = 3 + 1 = 4$.
При $x = 1, y = -\frac{6}{1} + 1 = -6 + 1 = -5$.
При $x = 3, y = -\frac{6}{3} + 1 = -2 + 1 = -1$.

2. Построение графика функции $y = x^2 - 2x - 4$

Это квадратичная функция, график которой — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ равен $1$ (положителен), ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$:
$x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$.
$y_в = (1)^2 - 2 \cdot 1 - 4 = 1 - 2 - 4 = -5$.
Вершина параболы находится в точке $(1; -5)$.

Найдем несколько точек, принадлежащих графику.
При $x = -2, y = (-2)^2 - 2(-2) - 4 = 4 + 4 - 4 = 4$.
При $x = 3, y = 3^2 - 2 \cdot 3 - 4 = 9 - 6 - 4 = -1$.
При $x = -1, y = (-1)^2 - 2(-1) - 4 = 1 + 2 - 4 = -1$.

3. Поиск решения

Построив оба графика в одной системе координат, находим их точки пересечения. Из вычисленных точек видно, что графики пересекаются в точках с координатами $(-2; 4)$, $(1; -5)$ и $(3; -1)$.

Ответ: $(-2; 4), (1; -5), (3; -1)$.