Номер 36, страница 224, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 36, страница 224.

Условие.

36 Постройте и задайте уравнениями оси симметрии данной гиперболы:

а) $y = \frac{4}{x}$;

б) $y = \frac{4}{x - 2}$;

в) $y = \frac{4}{x} + 3;

г) $y = \frac{4}{x + 2} - 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Общий вид уравнения гиперболы, полученной сдвигом графика функции $y = \frac{k}{x}$, — это $y = \frac{k}{x-a} + b$. Центр симметрии такой гиперболы находится в точке пересечения ее асимптот $x=a$ и $y=b$, то есть в точке $(a, b)$.

У любой такой гиперболы есть две оси симметрии. Это перпендикулярные прямые, которые проходят через центр симметрии $(a, b)$ и имеют угловые коэффициенты $1$ и $-1$.

Уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0)$ с угловым коэффициентом $m$, имеет вид $y - y_0 = m(x - x_0)$. Используя эту формулу, мы можем найти уравнения осей симметрии для каждой данной гиперболы.

---

а) $y = \frac{4}{x}$

Это каноническое уравнение гиперболы. Его можно представить в виде $y = \frac{4}{x-0} + 0$. Отсюда видно, что параметры сдвига равны $a=0$ и $b=0$.

Центр симметрии находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.

Найдем уравнения осей симметрии, проходящих через точку $(0, 0)$:

1. Для углового коэффициента $m=1$: $y - 0 = 1 \cdot (x - 0) \implies y = x$.
2. Для углового коэффициента $m=-1$: $y - 0 = -1 \cdot (x - 0) \implies y = -x$.

Для построения графика нужно изобразить гиперболу $y = \frac{4}{x}$ и провести через начало координат прямые $y=x$ и $y=-x$.

Ответ: $y=x$ и $y=-x$.

---

б) $y = \frac{4}{x-2}$

Данное уравнение можно представить в виде $y = \frac{4}{x-2} + 0$. Параметры сдвига: $a=2$, $b=0$.

Центр симметрии находится в точке $(2, 0)$.

Найдем уравнения осей симметрии, проходящих через точку $(2, 0)$:

1. Для углового коэффициента $m=1$: $y - 0 = 1 \cdot (x - 2) \implies y = x - 2$.
2. Для углового коэффициента $m=-1$: $y - 0 = -1 \cdot (x - 2) \implies y = -x + 2$.

Для построения необходимо сдвинуть гиперболу $y=\frac{4}{x}$ на 2 единицы вправо, ее асимптотами будут прямые $x=2$ и $y=0$. Оси симметрии $y=x-2$ и $y=-x+2$ пройдут через новый центр симметрии $(2, 0)$.

Ответ: $y=x-2$ и $y=-x+2$.

---

в) $y = \frac{4}{x} + 3$

Данное уравнение можно представить в виде $y = \frac{4}{x-0} + 3$. Параметры сдвига: $a=0$, $b=3$.

Центр симметрии находится в точке $(0, 3)$.

Найдем уравнения осей симметрии, проходящих через точку $(0, 3)$:

1. Для углового коэффициента $m=1$: $y - 3 = 1 \cdot (x - 0) \implies y = x + 3$.
2. Для углового коэффициента $m=-1$: $y - 3 = -1 \cdot (x - 0) \implies y = -x + 3$.

Для построения необходимо сдвинуть гиперболу $y=\frac{4}{x}$ на 3 единицы вверх, ее асимптотами будут прямые $x=0$ и $y=3$. Оси симметрии $y=x+3$ и $y=-x+3$ пройдут через новый центр симметрии $(0, 3)$.

Ответ: $y=x+3$ и $y=-x+3$.

---

г) $y = \frac{4}{x+2} - 1$

Данное уравнение можно представить в виде $y = \frac{4}{x-(-2)} + (-1)$. Параметры сдвига: $a=-2$, $b=-1$.

Центр симметрии находится в точке $(-2, -1)$.

Найдем уравнения осей симметрии, проходящих через точку $(-2, -1)$:

1. Для углового коэффициента $m=1$: $y - (-1) = 1 \cdot (x - (-2)) \implies y + 1 = x + 2 \implies y = x + 1$.
2. Для углового коэффициента $m=-1$: $y - (-1) = -1 \cdot (x - (-2)) \implies y + 1 = - (x + 2) \implies y + 1 = -x - 2 \implies y = -x - 3$.

Для построения необходимо сдвинуть гиперболу $y=\frac{4}{x}$ на 2 единицы влево и на 1 единицу вниз. Ее асимптотами будут прямые $x=-2$ и $y=-1$. Оси симметрии $y=x+1$ и $y=-x-3$ пройдут через новый центр симметрии $(-2, -1)$.

Ответ: $y=x+1$ и $y=-x-3$.