Номер 31, страница 223, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 31, страница 223.

Условие.

31 Используя свойство монотонности, определите наибольшее и наименьшее значения данной функции на указанном промежутке:

а) $y = -\frac{6}{x} + 1$ на отрезке $\left[\frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{\sqrt{3}}{2}\right];$

б) $y = -1,5x^2 + 6x$ на отрезке $\left[\sqrt{5}; \sqrt{6}\right];$

в) $y = \frac{4}{x + 1}$ на отрезке $\left[0; \sqrt{3}\right];$

г) $y = (x + 3)^2 - 5$ на отрезке $\left[-3; -\sqrt{6}\right].$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) Функция $y = -\frac{6}{x} + 1$ является обратной пропорциональностью, смещенной на 1 единицу вверх. Функция $y_1 = -\frac{6}{x}$ монотонно возрастает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$, так как коэффициент $k=-6 < 0$ и функция $y = k/x$ при $k<0$ возрастающая. Добавление константы не меняет характер монотонности. Указанный отрезок $[\frac{1}{\sqrt{3}}; \frac{\sqrt{3}}{2}]$ принадлежит промежутку $(0; +\infty)$, на котором функция монотонно возрастает. Следовательно, наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(\frac{1}{\sqrt{3}}) = -\frac{6}{\frac{1}{\sqrt{3}}} + 1 = -6\sqrt{3} + 1$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}} + 1 = -\frac{12}{\sqrt{3}} + 1 = -\frac{12\sqrt{3}}{3} + 1 = -4\sqrt{3} + 1$.
Ответ: $y_{наим} = 1 - 6\sqrt{3}$, $y_{наиб} = 1 - 4\sqrt{3}$.

б) Функция $y = -1,5x^2 + 6x$ — квадратичная, её график — парабола, ветви которой направлены вниз (коэффициент при $x^2$ равен $-1,5 < 0$). Найдём абсциссу вершины параболы: $x_в = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot (-1,5)} = -\frac{6}{-3} = 2$. Функция возрастает на промежутке $(-\infty; 2]$ и убывает на промежутке $[2; +\infty)$. Рассмотрим отрезок $[\sqrt{5}; \sqrt{6}]$. Так как $5 > 4$, то $\sqrt{5} > \sqrt{4} = 2$. Следовательно, весь отрезок $[\sqrt{5}; \sqrt{6}]$ находится на промежутке убывания функции. Таким образом, на отрезке $[\sqrt{5}; \sqrt{6}]$ функция монотонно убывает. Наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(\sqrt{5}) = -1,5(\sqrt{5})^2 + 6\sqrt{5} = -1,5 \cdot 5 + 6\sqrt{5} = -7,5 + 6\sqrt{5}$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(\sqrt{6}) = -1,5(\sqrt{6})^2 + 6\sqrt{6} = -1,5 \cdot 6 + 6\sqrt{6} = -9 + 6\sqrt{6}$.
Ответ: $y_{наим} = 6\sqrt{6} - 9$, $y_{наиб} = 6\sqrt{5} - 7,5$.

в) Функция $y = \frac{4}{x+1}$ является смещенной гиперболой. Функция $y_1 = \frac{4}{x}$ монотонно убывает на каждом из промежутков $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$. Функция $y = \frac{4}{x+1}$ получается из $y_1$ сдвигом на 1 влево, поэтому она монотонно убывает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; +\infty)$. Отрезок $[0; \sqrt{3}]$ целиком принадлежит промежутку $(-1; +\infty)$, на котором функция монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наименьшее — на правом.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(0) = \frac{4}{0+1} = 4$.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(\sqrt{3}) = \frac{4}{\sqrt{3}+1} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{3-1} = \frac{4(\sqrt{3}-1)}{2} = 2(\sqrt{3}-1) = 2\sqrt{3}-2$.
Ответ: $y_{наим} = 2\sqrt{3}-2$, $y_{наиб} = 4$.

г) Функция $y = (x+3)^2 - 5$ — квадратичная, её график — парабола, ветви которой направлены вверх (коэффициент при $x^2$ равен $1 > 0$). Абсцисса вершины параболы $x_в = -3$. Функция убывает на промежутке $(-\infty; -3]$ и возрастает на промежутке $[-3; +\infty)$. Рассмотрим отрезок $[-3; -\sqrt{6}]$. Так как $\sqrt{6} \approx 2,45$, то $-\sqrt{6} \approx -2,45$. Поскольку $-3 < -2,45$, то отрезок $[-3; -\sqrt{6}]$ целиком принадлежит промежутку возрастания функции. Таким образом, на отрезке $[-3; -\sqrt{6}]$ функция монотонно возрастает. Наименьшее значение функция принимает на левом конце отрезка, а наибольшее — на правом.
Наименьшее значение: $y_{наим} = y(-3) = (-3+3)^2 - 5 = 0^2 - 5 = -5$.
Наибольшее значение: $y_{наиб} = y(-\sqrt{6}) = (-\sqrt{6}+3)^2 - 5 = (3-\sqrt{6})^2 - 5 = (9 - 6\sqrt{6} + 6) - 5 = 15 - 6\sqrt{6} - 5 = 10 - 6\sqrt{6}$.
Ответ: $y_{наим} = -5$, $y_{наиб} = 10 - 6\sqrt{6}$.