Номер 24, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Часть 2. Итоговое повторение - номер 24, страница 221.

Условие.

24 Постройте график функции $y = -\frac{4}{x} + 3$. С помощью графика найдите:

а) асимптоты гиперболы;

б) множество значений функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = -\frac{4}{x} + 3$ выполним следующие шаги:

1. Определим тип функции. Это обратная пропорциональность, график которой — гипербола. Функция имеет вид $y = \frac{k}{x} + b$, где $k=-4$ и $b=3$.

2. Найдем базовую функцию. График данной функции можно получить из графика базовой функции $y = -\frac{4}{x}$ путем сдвига.

3. Проанализируем базовую функцию. Поскольку коэффициент $k=-4$ отрицателен, ветви гиперболы $y = -\frac{4}{x}$ расположены во II и IV координатных четвертях. Асимптотами для этой базовой функции служат оси координат: $x=0$ (вертикальная) и $y=0$ (горизонтальная).

4. Применим преобразование. Функция $y = -\frac{4}{x} + 3$ получается из $y = -\frac{4}{x}$ сдвигом всего графика на 3 единицы вверх вдоль оси Oy. При этом вертикальная асимптота $x=0$ остается на месте, а горизонтальная асимптота смещается на 3 единицы вверх и становится прямой $y=3$.

5. Найдем координаты точек для построения. Составим таблицу значений, выбирая удобные значения $x$ (делители числа 4):

• при $x = -4$, $y = -\frac{4}{-4} + 3 = 1 + 3 = 4$. Точка $(-4; 4)$.
• при $x = -2$, $y = -\frac{4}{-2} + 3 = 2 + 3 = 5$. Точка $(-2; 5)$.
• при $x = -1$, $y = -\frac{4}{-1} + 3 = 4 + 3 = 7$. Точка $(-1; 7)$.
• при $x = 1$, $y = -\frac{4}{1} + 3 = -4 + 3 = -1$. Точка $(1; -1)$.
• при $x = 2$, $y = -\frac{4}{2} + 3 = -2 + 3 = 1$. Точка $(2; 1)$.
• при $x = 4$, $y = -\frac{4}{4} + 3 = -1 + 3 = 2$. Точка $(4; 2)$.

Построив в системе координат асимптоты (пунктирными линиями) и отметив вычисленные точки, можно провести через них две ветви гиперболы.

а) асимптоты гиперболы;

Асимптоты — это прямые, к которым неограниченно приближаются ветви графика функции. Для функции вида $y = \frac{k}{x-a} + b$ асимптотами являются прямые $x=a$ и $y=b$.В нашем случае функция $y = -\frac{4}{x} + 3$ может быть записана как $y = \frac{-4}{x-0} + 3$.Вертикальная асимптота определяется из условия, что знаменатель дроби равен нулю: $x-0=0$, то есть $x=0$.Горизонтальная асимптота определяется значением, к которому стремится функция при $x \to \pm\infty$. В этом случае дробь $-\frac{4}{x}$ стремится к 0, а вся функция стремится к 3. Таким образом, горизонтальная асимптота — это прямая $y=3$.
Ответ: $x=0$ и $y=3$.

б) множество значений функции.

Множество значений функции — это совокупность всех значений, которые может принимать $y$.Из графика видно, что он существует при любых значениях $y$, кроме значения, соответствующего горизонтальной асимптоте. Ветви гиперболы бесконечно приближаются к прямой $y=3$, но никогда её не достигают.Алгебраически, чтобы найти множество значений, можно выразить $x$ через $y$ из уравнения функции:$y = -\frac{4}{x} + 3$$y - 3 = -\frac{4}{x}$$x(y - 3) = -4$$x = -\frac{4}{y-3}$Данное выражение определено для всех $y$, кроме тех, что обращают знаменатель в ноль. То есть, $y-3 \neq 0$, откуда $y \neq 3$.Следовательно, функция может принимать любые действительные значения, кроме 3.
Ответ: $E(y) = (-\infty; 3) \cup (3; +\infty)$.