Номер 22, страница 221, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 22, страница 221.

Условие.

22 Постройте график функции $y = \frac{3}{x}$. По графику определите:

а) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке $[1; 6];

б) значения аргумента, при которых $y > 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Для построения графика функции $y = \frac{3}{x}$ составим таблицу значений. Данная функция является обратной пропорциональностью, ее график — гипербола, состоящая из двух ветвей, расположенных в I и III координатных четвертях. Ось Ox и ось Oy являются асимптотами графика.

Составим таблицу значений для нескольких точек:

$x$	-6	-3	-1	-0.5	0.5	1	3	6
$y$	-0.5	-1	-3	-6	6	3	1	0.5

На основе этих точек строим график (гиперболу). Теперь, используя график, ответим на вопросы.

а) наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [1; 6];

Рассмотрим часть графика, соответствующую отрезку $x \in [1; 6]$. Это часть ветви гиперболы в первой четверти. На этом отрезке функция монотонно убывает. Следовательно, наибольшее значение функция принимает в левой границе отрезка, а наименьшее — в правой.

При $x = 1$, значение функции $y(1) = \frac{3}{1} = 3$. Это наибольшее значение.

При $x = 6$, значение функции $y(6) = \frac{3}{6} = 0.5$. Это наименьшее значение.

Ответ: наибольшее значение функции на отрезке $[1; 6]$ равно 3, наименьшее значение равно 0.5.

б) значения аргумента, при которых y > 1.

Чтобы найти значения аргумента, при которых $y > 1$, начертим на графике прямую $y = 1$. Нам нужно найти те значения $x$, для которых график функции $y = \frac{3}{x}$ расположен выше этой прямой.

Найдем точку пересечения графика функции и прямой $y=1$:
$\frac{3}{x} = 1 \implies x = 3$.

Из графика видно, что ветвь гиперболы в I четверти находится выше прямой $y=1$ при значениях $x$ от 0 до 3. Ветвь в III четверти полностью лежит ниже оси Ox, то есть все её значения $y$ отрицательны и не могут быть больше 1.

Таким образом, условие $y > 1$ выполняется при $0 < x < 3$.

Ответ: $y > 1$ при $x \in (0; 3)$.