Номер 15, страница 219, часть 2 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мордкович, Александрова

Итоговое повторение. Часть 2 - номер 15, страница 219.

Условие.

15 Квадратичная функция задана уравнением:

а) $y = 12 - 3x^2$;

б) $y = 0,5(x - 2)^2$;

в) $y = -(x - 1)^2 + 4$;

г) $y = 2x^2 - 4x + 5$.

Не выполняя построения графика, определите:

1) координаты вершины параболы;

2) ось симметрии параболы;

3) промежутки возрастания и убывания функции;

4) наибольшее либо наименьшее значение функции;

5) множество значений функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

а) $y = 12 - 3x^2$

1) координаты вершины параболы: Уравнение параболы можно представить в вершинной форме $y = a(x-x_v)^2 + y_v$, где $(x_v, y_v)$ — координаты вершины. Перепишем данное уравнение в виде $y = -3(x - 0)^2 + 12$. Отсюда видно, что координаты вершины параболы — $(0, 12)$. Ответ: $(0, 12)$.

2) ось симметрии параболы: Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через ее вершину. Уравнение оси симметрии имеет вид $x = x_v$. Для данной функции это $x=0$. Ответ: $x=0$.

3) промежутки возрастания и убывания функции: Коэффициент при $x^2$ равен $a = -3$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз. Следовательно, функция возрастает на промежутке слева от вершины и убывает справа. Промежуток возрастания: $(-\infty, 0]$. Промежуток убывания: $[0, +\infty)$. Ответ: функция возрастает на $(-\infty, 0]$ и убывает на $[0, +\infty)$.

4) наибольшее либо наименьшее значение функции: Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в своей вершине. Это значение равно ординате вершины $y_v=12$. Наименьшего значения у функции не существует. Ответ: наибольшее значение функции $y_{наиб.} = 12$.

5) множество значений функции: Поскольку наибольшее значение функции равно 12, а ветви направлены вниз, функция принимает все значения от $-\infty$ до 12 включительно. Множество значений функции (область значений) $E(y) = (-\infty, 12]$. Ответ: $(-\infty, 12]$.

б) $y = 0,5(x - 2)^2$

1) координаты вершины параболы: Уравнение уже представлено в вершинной форме $y = a(x-x_v)^2 + y_v$. В данном случае $y = 0,5(x - 2)^2 + 0$. Координаты вершины $(x_v, y_v)$ равны $(2, 0)$. Ответ: $(2, 0)$.

2) ось симметрии параболы: Уравнение оси симметрии $x = x_v$. Для данной функции это $x=2$. Ответ: $x=2$.

3) промежутки возрастания и убывания функции: Коэффициент $a = 0,5 > 0$, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Функция убывает на промежутке до вершины и возрастает после. Промежуток убывания: $(-\infty, 2]$. Промежуток возрастания: $[2, +\infty)$. Ответ: функция убывает на $(-\infty, 2]$ и возрастает на $[2, +\infty)$.

4) наибольшее либо наименьшее значение функции: Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в вершине. Наименьшее значение функции равно $y_v=0$. Наибольшего значения не существует. Ответ: наименьшее значение функции $y_{наим.} = 0$.

5) множество значений функции: Поскольку наименьшее значение функции равно 0, а ветви направлены вверх, множество значений функции $E(y)$ — это все числа, большие либо равные 0. Ответ: $[0, +\infty)$.

в) $y = -(x - 1)^2 + 4$

1) координаты вершины параболы: Уравнение представлено в вершинной форме $y = a(x-x_v)^2 + y_v$. Координаты вершины $(x_v, y_v)$ равны $(1, 4)$. Ответ: $(1, 4)$.

2) ось симметрии параболы: Уравнение оси симметрии $x = x_v$. Для данной функции это $x=1$. Ответ: $x=1$.

3) промежутки возрастания и убывания функции: Коэффициент $a = -1 < 0$, следовательно, ветви параболы направлены вниз. Функция возрастает до вершины и убывает после. Промежуток возрастания: $(-\infty, 1]$. Промежуток убывания: $[1, +\infty)$. Ответ: функция возрастает на $(-\infty, 1]$ и убывает на $[1, +\infty)$.

4) наибольшее либо наименьшее значение функции: Так как ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в вершине. $y_{наиб.} = 4$. Наименьшего значения не существует. Ответ: наибольшее значение функции $y_{наиб.} = 4$.

5) множество значений функции: Поскольку наибольшее значение функции равно 4, а ветви направлены вниз, множество значений $E(y) = (-\infty, 4]$. Ответ: $(-\infty, 4]$.

г) $y = 2x^2 - 4x + 5$

1) координаты вершины параболы: Функция задана в стандартном виде $y = ax^2 + bx + c$. Найдем координаты вершины $(x_v, y_v)$. Абсцисса вершины вычисляется по формуле $x_v = -b / (2a)$. Здесь $a=2, b=-4$. $x_v = -(-4) / (2 \cdot 2) = 4 / 4 = 1$. Ординату вершины найдем, подставив $x_v=1$ в уравнение функции: $y_v = 2(1)^2 - 4(1) + 5 = 2 - 4 + 5 = 3$. Координаты вершины — $(1, 3)$. Ответ: $(1, 3)$.

2) ось симметрии параболы: Уравнение оси симметрии $x = x_v$. Для данной функции это $x=1$. Ответ: $x=1$.

3) промежутки возрастания и убывания функции: Коэффициент $a = 2 > 0$, ветви параболы направлены вверх. Функция убывает до вершины и возрастает после. Промежуток убывания: $(-\infty, 1]$. Промежуток возрастания: $[1, +\infty)$. Ответ: функция убывает на $(-\infty, 1]$ и возрастает на $[1, +\infty)$.

4) наибольшее либо наименьшее значение функции: Так как ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в вершине, равное $y_v=3$. Наибольшего значения не существует. Ответ: наименьшее значение функции $y_{наим.} = 3$.

5) множество значений функции: Поскольку наименьшее значение функции равно 3, а ветви направлены вверх, множество значений $E(y)$ — это все числа, большие либо равные 3. Ответ: $[3, +\infty)$.